Media heroniana

Número entre dos números dados

En matemáticas, la media heroniana H de dos números reales no negativos A y B se da mediante la fórmula $${\displaystyle H={\frac {1}{3}}\left(A+{\sqrt {AB}}+B\right).}$$

Recibe su nombre en honor a Herón de Alejandría . ^[1]

Propiedades

Al igual que todas las medias , la media heroniana es simétrica (no depende del orden en que se dan sus dos argumentos) e idempotente (la media de cualquier número consigo mismo es el mismo número).

La media heroniana de los números A y B es una media ponderada de sus medias aritmética y geométrica : ^[1] Por lo tanto, se encuentra entre estas dos medias y entre los dos números dados. ^[1] $${\displaystyle H={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {A+B}{2}}+{\frac {1}{3}}\cdot {\sqrt {AB}}.}$$

Aplicación en geometría sólida

Un tronco de cono cuadrado, con volumen igual a la altura por la media heroniana de las áreas cuadradas.

La media heroniana se puede utilizar para hallar el volumen de un tronco de pirámide o de un cono . El volumen es igual al producto de la altura del tronco y la media heroniana de las áreas de las caras paralelas opuestas. ^[2]

Una versión de esta fórmula, para el cuadrado frusta, aparece en el Papiro Matemático de Moscú de las matemáticas del Antiguo Egipto , cuyo contenido data aproximadamente de 1850 a. C. ^{[1] [3]}

Referencias

1. Bullen, PS (2003), "2.1.4 Medias heronianas, centroidales y neopitagóricas", Handbook of Means and Their Inequalities , Matemáticas y sus aplicaciones, Berlín, Nueva York: Springer Science+Business Media , pp. 399–401, doi :10.1007/978-94-017-0399-4, ISBN 978-1-4020-1522-9
2. Horatio N. Robinson (1860), "Teorema 22", Elementos de geometría y trigonometría plana y esférica, con numerosos problemas prácticos, Nueva York: Ivison, Phinney & Co., págs. 210-211
3. Eves, Howard Whitley (1980), Grandes momentos en las matemáticas (antes de 1650), Mathematical Association of America , págs. 11-13, ISBN 978-0-88385-310-8