Significado de Lehmer

Fórmula matemática para obtener una media

En matemáticas, la media de Lehmer de una tupla de números reales positivos , llamada así en honor a Derrick Henry Lehmer , ^[1] se define como: ${\displaystyle x}$

${\displaystyle L_{p}(\mathbf {x} )={\frac {\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{p}}{\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{p-1}}}.}$

La media ponderada de Lehmer con respecto a una tupla de pesos positivos se define como: ${\displaystyle w}$

${\displaystyle L_{p,w}(\mathbf {x} )={\frac {\sum _{k=1}^{n}w_{k}\cdot x_{k}^{p}}{\sum _{k=1}^{n}w_{k}\cdot x_{k}^{p-1}}}.}$

La media de Lehmer es una alternativa a la media de potencia para interpolar entre el mínimo y el máximo a través de la media aritmética y la media armónica .

Propiedades

La derivada de no es negativa ${\displaystyle p\mapsto L_{p}(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial p}}L_{p}(\mathbf {x} )={\frac {\left(\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=j+1}^{n}\left[x_{j}-x_{k}\right]\cdot \left[\ln(x_{j})-\ln(x_{k})\right]\cdot \left[x_{j}\cdot x_{k}\right]^{p-1}\right)}{\left(\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{p-1}\right)^{2}}},}$

Por lo tanto, esta función es monótona y la desigualdad

${\displaystyle p\leq q\Longrightarrow L_{p}(\mathbf {x} )\leq L_{q}(\mathbf {x} )}$

sostiene.

La derivada de la media ponderada de Lehmer es:

${\displaystyle {\frac {\partial L_{p,w}(\mathbf {x} )}{\partial p}}={\frac {(\sum wx^{p-1})(\sum wx^{p}\ln {x})-(\sum wx^{p})(\sum wx^{p-1}\ln {x})}{(\sum wx^{p-1})^{2}}}}$

Casos especiales

• ${\displaystyle \lim _{p\to -\infty }L_{p}(\mathbf {x} )}$es el mínimo de los elementos de . ${\displaystyle \mathbf {x} }$
• ${\displaystyle L_{0}(\mathbf {x} )}$es la media armónica .
• ${\displaystyle L_{\frac {1}{2}}\left((x_{1},x_{2})\right)}$es la media geométrica de los dos valores y . ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$
• ${\displaystyle L_{1}(\mathbf {x} )}$es la media aritmética .
• ${\displaystyle L_{2}(\mathbf {x} )}$es la media contraarmónica .
• ${\displaystyle \lim _{p\to \infty }L_{p}(\mathbf {x} )}$es el máximo de los elementos de . ${\displaystyle \mathbf {x} }$
  Esquema de una prueba: Sin pérdida de generalidad, sean los valores que son iguales al máximo. Entonces ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$ ${\displaystyle L_{p}(\mathbf {x} )=x_{1}\cdot {\frac {k+\left({\frac {x_{k+1}}{x_{1}}}\right)^{p}+\cdots +\left({\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)^{p}}{k+\left({\frac {x_{k+1}}{x_{1}}}\right)^{p-1}+\cdots +\left({\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)^{p-1}}}}$

Aplicaciones

Procesamiento de señales

Al igual que una media de potencia , una media de Lehmer sirve como promedio móvil no lineal que se desplaza hacia valores de señal pequeños para valores pequeños y enfatiza los valores de señal grandes para valores grandes . Dada una implementación eficiente de una media aritmética móvil llamada se puede implementar una media de Lehmer móvil de acuerdo con el siguiente código Haskell . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$smooth

lehmerSmooth :: Flotante a => ([ a ] ​​-> [ a ]) -> a -> [ a ] ​​-> [ a ] ​​lehmerSmooth suavizar p xs = zipWith ( / ) ( suavizar ( mapa ( ** p ) xs )) ( suavizar ( mapa ( ** ( p - 1 )) xs ))                           

• Para grandes dimensiones puede servir como detector de envolvente en una señal rectificada . ${\displaystyle p}$
• Para los pequeños puede servir como detector de base en un espectro de masas . ${\displaystyle p}$

González y Woods lo denominan " filtro de media contraarmónica ", descrito para valores variables de p (sin embargo, como se indicó anteriormente, la media contraarmónica puede referirse al caso específico ). Su convención es sustituir p por el orden del filtro Q : ${\displaystyle p=2}$

${\displaystyle f(x)={\frac {\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{Q+1}}{\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{Q}}}.}$

Q = 0 es la media aritmética. Una Q positiva puede reducir el ruido de la pimienta y una Q negativa puede reducir el ruido de la sal . ^[2]

Véase también

• Significar
• Media de potencia

Notas

1. PS Bullen. Manual de medias y sus desigualdades . Springer, 1987.
2. Gonzalez, Rafael C.; Woods, Richard E. (2008). "Capítulo 5 Restauración y reconstrucción de imágenes". Procesamiento de imágenes digitales (3.ª ed.). Prentice Hall. ISBN 9780131687288.

Enlaces externos

• Media de Lehmer en MathWorld