Medida estrictamente positiva

En matemáticas , la positividad estricta es un concepto de la teoría de la medida . Intuitivamente, una medida estrictamente positiva es aquella que no es cero en ningún punto o que es cero "solo en puntos".

Definición

Sea un espacio topológico de Hausdorff y sea un -álgebra en que contiene la topología (de modo que todo conjunto abierto es un conjunto medible y es al menos tan fino como el -álgebra de Borel en ). Entonces una medida en se llama estrictamente positiva si cada subconjunto abierto no vacío de tiene medida estrictamente positiva. ${\displaystyle (X,T)}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle X}$

Más concisamente, es estrictamente positivo si y sólo si para todos los que ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle U\in T}$ ${\displaystyle U\neq \varnothing ,\mu (U)>0.}$

Ejemplos

• La medida de conteo en cualquier conjunto (con cualquier topología) es estrictamente positiva. ${\displaystyle X}$
• La medida de Dirac no suele ser estrictamente positiva a menos que la topología sea particularmente "basura" (contenga "pocos" conjuntos). Por ejemplo, en la línea real con su topología de Borel habitual y -álgebra no es estrictamente positiva; sin embargo, si está equipada con la topología trivial, entonces es estrictamente positiva. Este ejemplo ilustra la importancia de la topología para determinar la positividad estricta. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \delta _{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T=\{\varnothing ,\mathbb {R} \},}$ ${\displaystyle \delta _{0}}$
• La medida gaussiana en el espacio euclidiano (con su topología de Borel y su álgebra) es estrictamente positiva. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \sigma }$
  • La medida de Wiener en el espacio de caminos continuos es una medida estrictamente positiva: la medida de Wiener es un ejemplo de una medida gaussiana en un espacio de dimensión infinita. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• La medida de Lebesgue (con su topología de Borel y -álgebra) es estrictamente positiva. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \sigma }$
• La medida trivial nunca es estrictamente positiva, independientemente del espacio o la topología utilizada, excepto cuando está vacía. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Propiedades

• Si y son dos medidas en un espacio topológico medible con estrictamente positivo y también absolutamente continuo con respecto a entonces es estrictamente positivo también. La prueba es sencilla: sea un conjunto abierto arbitrario; ya que es estrictamente positivo, por continuidad absoluta, también. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma ),}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu ,}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (U)>0;}$ ${\displaystyle \nu (U)>0}$
• Por lo tanto, la positividad estricta es invariante con respecto a la equivalencia de medidas .

Véase también

• Soporte (teoría de la medida)  – Concepto en matemáticas: una medida es estrictamente positiva si y sólo si su soporte es todo el espacio.

Referencias