En matemáticas , una función càdlàg ( francés : continue à droite, limite à gauche ), RCLL ("derecha continua con límites izquierdos") o corlol ("continua a (la) derecha, límite a (la) izquierda") es una función definida en los números reales (o un subconjunto de ellos) que es continua por la derecha en todas partes y tiene límites por la izquierda en todas partes. Las funciones de Càdlàg son importantes en el estudio de procesos estocásticos que admiten (o incluso requieren) saltos, a diferencia del movimiento browniano , que tiene trayectorias de muestra continuas. La colección de funciones càdlàg en un dominio determinado se conoce como espacio Skorokhod .
Dos términos relacionados son càglàd , que significa " continuar à gauche, limite à droite ", la inversión izquierda-derecha de càdlàg, y càllàl para " continuar à l'un, limite à l'autre " (continuo en un lado, límite en el otro lado), para una función que en cada punto del dominio es càdlàg o càglàd.
Definición
Sea un espacio métrico y sea . Una función se llama función càdlàg si, para cada ,
Es decir, es continuo por la derecha con límites por la izquierda.
Ejemplos
Todas las funciones continuas en un subconjunto de números reales son funciones càdlàg en ese subconjunto.
Como consecuencia de su definición, todas las funciones de distribución acumulativa son funciones càdlàg. Por ejemplo, el acumulado en el punto corresponde a la probabilidad de ser menor o igual que , es decir , . En otras palabras, el intervalo semiabierto de interés para una distribución de dos colas está cerrado a la derecha.
La derivada derecha de cualquier función convexa definida en un intervalo abierto es una función cadlag creciente.
Espacio Skorokhod
El conjunto de todas las funciones càdlàg desde hasta a menudo se denota por (o simplemente ) y se llama espacio Skorokhod en honor al matemático ucraniano Anatoliy Skorokhod . Al espacio de Skorokhod se le puede asignar una topología que, intuitivamente, nos permite "mover un poco el espacio y el tiempo" (mientras que la topología tradicional de convergencia uniforme sólo nos permite "mover un poco el espacio"). [1] Para simplificar, tome y - consulte Billingsley [2] para una construcción más general.
Primero debemos definir un análogo del módulo de continuidad , . Para cualquiera , establezca
y, para , defina el módulo càdlàg como
donde el mínimo recorre todas las particiones , con . Esta definición tiene sentido para funciones no càdlàg (al igual que el módulo de continuidad habitual tiene sentido para funciones discontinuas). es càdlàg si y sólo si .
Ahora denotemos el conjunto de todas las biyecciones continuas y estrictamente crecientes desde hacia sí mismo (estos son "movimientos en el tiempo"). Dejar
denotamos la norma uniforme sobre funciones en . Defina la métrica de Skorokhod por
¿Dónde está la función identidad? En términos de la intuición del "meneo", mide el tamaño del "meneo en el tiempo" y mide el tamaño del "meneo en el espacio".
La métrica de Skorokhod es de hecho una métrica. La topología generada por se llama topología Skorokhod en .
Una métrica equivalente,
se introdujo de forma independiente y se utilizó en la teoría de control para el análisis de sistemas de conmutación. [3]
Propiedades del espacio Skorokhod
Generalización de la topología uniforme.
El espacio de funciones continuas en es un subespacio de . La topología de Skorokhod relativizada coincide con la topología uniforme allí.
Según la topología de Skorokhod y la suma puntual de funciones, no es un grupo topológico, como puede verse en el siguiente ejemplo:
Sea un intervalo medio abierto y supongamos una secuencia de funciones características. A pesar de que en la topología de Skorokhod la secuencia no converge a 0.
^ "Espacio Skorokhod - Enciclopedia de Matemáticas".
^ Billingsley, P. Convergencia de medidas de probabilidad . Nueva York: Wiley.
^ Georgiou, TT y Smith, MC (2000). "Robustez de un oscilador de relajación". Revista internacional de control robusto y no lineal . 10 (11-12): 1005-1024. doi :10.1002/1099-1239(200009/10)10:11/12<1005::AID-RNC536>3.0.CO;2-Q.{{cite journal}}: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace )
^ Billingsley, P. Convergencia de medidas de probabilidad . Nueva York: Wiley.
Otras lecturas
Billingsley, Patricio (1995). Probabilidad y Medida . Nueva York, Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2.
Billingsley, Patricio (1999). Convergencia de medidas de probabilidad . Nueva York, Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-19745-9.