Función radonificante

En la teoría de la medida , una función radonificante (denominada en última instancia en honor a Johann Radon ) entre espacios mensurables es aquella que convierte una medida de conjunto de cilindros (CSM) en el primer espacio en una medida verdadera en el segundo espacio. Recibió su nombre porque la medida de empuje hacia adelante en el segundo espacio se consideraba históricamente una medida de Radon .

Definición

Dados dos espacios de Banach separables y , un CSM en y una función lineal continua , decimos que es radonificante si el CSM de empuje hacia adelante (ver más abajo) en "es" una medida, es decir, hay una medida en tal que ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{\mu _{T}|T\in {\mathcal {A}}(E)\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \theta \in \mathrm {Lin} (E;G)}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \left\{\left.\left(\theta _{*}(\mu _{\cdot })\right)_{S}\right|S\in {\mathcal {A}}(G)\right\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \left(\theta _{*}(\mu _{\cdot })\right)_{S}=S_{*}(\nu )}$

para cada , donde es el avance habitual de la medida por el mapa lineal . ${\displaystyle S\in {\mathcal {A}}(G)}$ ${\displaystyle S_{*}(\nu )}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle S:G\to F_{S}}$

Impulso de un CSM

Debido a que la definición de un CSM en requiere que los mapas en sean sobreyectivos , la definición del empuje hacia adelante para un CSM requiere una atención cuidadosa. El CSM ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}(G)}$

${\displaystyle \left\{\left.\left(\theta _{*}(\mu _{\cdot })\right)_{S}\right|S\in {\mathcal {A}}(G)\right\}}$

se define por

${\displaystyle \left(\theta _{*}(\mu _{\cdot })\right)_{S}=\mu _{S\circ \theta }}$

Si la composición es sobreyectiva. Si no es sobreyectiva, sea la imagen de , sea la función de inclusión y defina ${\displaystyle S\circ \theta :E\to F_{S}}$ ${\displaystyle S\circ \theta }$ ${\displaystyle {\tilde {F}}}$ ${\displaystyle S\circ \theta }$ ${\displaystyle i:{\tilde {F}}\to F_{S}}$

${\displaystyle \left(\theta _{*}(\mu _{\cdot })\right)_{S}=i_{*}\left(\mu _{\Sigma }\right)}$,

donde (entonces ) es tal que . ${\displaystyle \Sigma :E\to {\tilde {F}}}$ ${\displaystyle \Sigma \in {\mathcal {A}}(E)}$ ${\displaystyle i\circ \Sigma =S\circ \theta }$

Véase también

• Espacio de Wiener abstracto  – Construcción matemática relativa a espacios de dimensión infinita.
• Espacio clásico de Wiener
• Teorema de Sazonov

Referencias