Medida del juego de cilindros

En matemáticas , la medida del conjunto de cilindros (o promedida , o premedida , o cuasi-medida , o CSM ) es una especie de prototipo de una medida en un espacio vectorial de dimensión infinita . Un ejemplo es la medida del conjunto de cilindros gaussianos en el espacio de Hilbert .

Las medidas de conjuntos de cilindros en general no son medidas (y en particular no necesitan ser contablemente aditivas sino sólo finitamente aditivas ), pero pueden usarse para definir medidas, como la medida de Wiener clásica en el conjunto de caminos continuos que comienzan en el origen en el espacio euclidiano .

Definición

Sea un espacio vectorial topológico real separable . Denotemos la colección de todos los mapas lineales continuos sobreyectivos definidos en cuya imagen hay algún espacio vectorial real de dimensión finita : ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}(E)}$ ${\displaystyle T:E\to F_{T}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F_{T}}$

$${\displaystyle {\mathcal {A}}(E):=\left\{T\in \mathrm {Lin} (E;F_{T}):T{\mbox{ surjective and }}\dim _{\mathbb {R} }F_{T}<+\infty \right\}.}$$

Una medida establecida en un cilindro es una colección de medidas de probabilidad. ${\displaystyle E}$

$${\displaystyle \left\{\mu _{T}:T\in {\mathcal {A}}(E)\right\}.}$$

donde es una medida de probabilidad en Estas medidas deben satisfacer la siguiente condición de coherencia: si es una proyección sobreyectiva , entonces el avance de la medida es el siguiente: ${\displaystyle \mu _{T}}$ ${\displaystyle F_{T}.}$ ${\displaystyle \pi _{ST}:F_{S}\to F_{T}}$

$${\displaystyle \mu _{T}=\left(\pi _{ST}\right)_{*}\left(\mu _{S}\right).}$$

Observaciones

La condición de consistencia

$${\displaystyle \mu _{T}=\left(\pi _{ST}\right)_{*}(\mu _{S})}$$

Se puede entender intuitivamente que una medida de conjunto de cilindros define una función finitamente aditiva en los conjuntos de cilindros del espacio vectorial topológico. Los conjuntos de cilindros son las preimágenes de conjuntos medibles en : if denota el -álgebra on en la que se define, entonces ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F_{T}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{T}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle F_{T}}$ ${\displaystyle \mu _{T}}$

$${\displaystyle \mathrm {Cyl} (E):=\left\{T^{-1}(B):B\in {\mathcal {B}}_{T},T\in {\mathcal {A}}(E)\right\}.}$$

En la práctica, a menudo se toma como el álgebra de Borel. En este caso, se puede demostrar que cuando es un espacio de Banach separable , el álgebra σ generada por los conjuntos de cilindros es precisamente el álgebra de Borel de : ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{T}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle F_{T}.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle E}$

$${\displaystyle \mathrm {Borel} (E)=\sigma \left(\mathrm {Cyl} (E)\right).}$$

Medidas del juego de cilindros versus medidas

Una medida de conjunto de cilindros no es en realidad una medida de : es una colección de medidas definidas en todas las imágenes de dimensión finita de Si ya tiene una medida de probabilidad definida, entonces da lugar a una medida de conjunto de cilindros usando el empuje hacia adelante: encender​ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mu _{T}=T_{*}(\mu )}$ ${\displaystyle F_{T}.}$

Cuando hay una medida tal que de esta manera, se acostumbra abusar ligeramente de la notación y decir que la medida del conjunto del cilindro "es" la medida ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mu _{T}=T_{*}(\mu )}$ ${\displaystyle \left\{\mu _{T}:T\in {\mathcal {A}}(E)\right\}}$ ${\displaystyle \mu .}$

Medidas del conjunto de cilindros en espacios de Hilbert

Cuando el espacio de Banach es en realidad un espacio de Hilbert, existe una ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle H,}$medida canónica del conjunto de cilindros gaussianos que surge de ladel producto internoenEspecíficamente, sidenota el producto interno endenotael producto interno cociente enLa medidaense define entonces como lamedida gaussianaen: ${\displaystyle \gamma ^{H}}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{T}}$ ${\displaystyle F_{T}.}$ ${\displaystyle \gamma _{T}^{H}}$ ${\displaystyle F_{T}}$ ${\displaystyle F_{T}}$

$${\displaystyle \gamma _{T}^{H}:=i_{*}\left(\gamma ^{\dim F_{T}}\right),}$$

isometríaeuclidianomedida gaussiana ${\displaystyle i:\mathbb {R} ^{\dim(F_{T})}\to F_{T}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\dim(F_{T})}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{T}}$ ${\displaystyle F_{T},}$ ${\displaystyle \gamma ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

La medida canónica del conjunto de cilindros gaussianos en un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita no corresponde a una medida verdadera en La prueba es bastante simple: la bola de radio (y centro 0) tiene una medida como máximo igual a la de la bola de radio en un espacio de Hilbert -dimensional, y este tiende a 0 cuando tiende al infinito. Entonces la bola de radio tiene medida 0; como el espacio de Hilbert es una unión contable de tales bolas, también tiene medida 0, lo cual es una contradicción. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r}$

Una prueba alternativa de que la medida del conjunto de cilindros gaussianos no es una medida utiliza el teorema de Cameron-Martin y un resultado sobre la cuasiinvariancia de las medidas . Si realmente fuera una medida, entonces la función de identidad radonificaría esa medida , convirtiéndola así en un espacio Wiener abstracto . Según el teorema de Cameron-Martin, sería entonces cuasi invariante bajo traducción por cualquier elemento que implique que es de dimensión finita o que es la medida cero. En cualquier caso, tenemos una contradicción. ${\displaystyle \gamma ^{H}=\gamma }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {id} :H\to H}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \gamma }$

El teorema de Sazonov proporciona condiciones bajo las cuales el avance de una medida canónica de conjunto de cilindros gaussianos puede convertirse en una medida verdadera.

Espacios nucleares y medidas de conjuntos de cilindros.

Una medida de conjunto de cilindros en el dual de un espacio nuclear de Fréchet se extiende automáticamente a una medida si su transformada de Fourier es continua.

Ejemplo : Sea el espacio de funciones de Schwartz en un espacio vectorial de dimensión finita; es nuclear. Está contenido en el espacio de funciones de Hilbert , que a su vez está contenido en el espacio de distribuciones templadas el dual del espacio nuclear de Fréchet : ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle S^{\prime },}$ ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle S\subseteq H\subseteq S^{\prime }.}$$

La medida del cilindro gaussiano da una medida del cilindro en el espacio de distribuciones templadas, que se extiende a una medida en el espacio de distribuciones templadas, ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S^{\prime }.}$

El espacio de Hilbert tiene medida 0 según el primer argumento utilizado anteriormente para mostrar que el cilindro gaussiano canónico establecido en no se extiende a una medida en ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S^{\prime },}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H.}$

Ver también

• Espacio Wiener abstracto  : espacio de Banach separable equipado con un subespacio de Hilbert tal que la medida del conjunto de cilindros estándar en el subespacio de Hilbert induce una medida gaussiana en todo el espacio de BanachPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• σ-álgebra cilíndrica
• Función radonificadora
• Teorema de estructura para medidas gaussianas  – Teorema matemático

Referencias

• IM Gel'fand, N.Ya. Vilenkin, Funciones generalizadas. Aplicaciones del análisis armónico , Vol 4, Acad. Prensa (1968)
• RA Minlos (2001) [1994], "medida cilíndrica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• RA Minlos (2001) [1994], "juego de cilindros", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• L. Schwartz, Medidas del radón .