Casi en todas partes

En todas partes excepto en un conjunto de medida cero

La función 1/x es diferenciable y continua casi en todas partes, más precisamente, en todas partes excepto en x = 0.

En la teoría de la medida (una rama del análisis matemático ), una propiedad se cumple casi en todas partes si, en un sentido técnico, el conjunto para el que se cumple la propiedad abarca casi todas las posibilidades. La noción de "casi en todas partes" es una noción complementaria del concepto de medida cero y es análoga a la noción de casi con seguridad en la teoría de la probabilidad .

Más específicamente, una propiedad se cumple casi en todas partes si se cumple para todos los elementos de un conjunto excepto un subconjunto de medida cero, ^{[1] [2]} o, equivalentemente, si el conjunto de elementos para los que se cumple la propiedad es conull . En los casos en que la medida no es completa , es suficiente que el conjunto esté contenido dentro de un conjunto de medida cero. Cuando se habla de conjuntos de números reales , se suele suponer la medida de Lebesgue a menos que se indique lo contrario.

El término casi en todas partes se abrevia ae ; ^[3] en la literatura más antigua se utiliza pp , para representar la frase equivalente en francés presque partout . ^[4]

Un conjunto con medida completa es aquel cuyo complemento es de medida cero. En teoría de la probabilidad, los términos casi con seguridad , casi cierto y casi siempre se refieren a eventos con probabilidad 1 que no necesariamente incluyen todos los resultados. Estos son exactamente los conjuntos de medida completa en un espacio de probabilidad.

Ocasionalmente, en lugar de decir que una propiedad se cumple casi en todas partes, se dice que la propiedad se cumple para casi todos los elementos (aunque el término casi todos también puede tener otros significados).

Definición

Si es un espacio de medida , se dice que una propiedad se cumple casi en todas partes en si existe un conjunto medible con , y todos tienen la propiedad . ^[5] Otra forma común de expresar lo mismo es decir que "casi todos los puntos satisfacen ", o que "para casi todos , se cumple". ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N\in \Sigma }$ ${\displaystyle \mu (N)=0}$ ${\displaystyle x\in X\setminus N}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P\,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P(x)}$

No es necesario que el conjunto tenga medida cero; puede que no sea medible. Según la definición anterior, es suficiente que esté contenido en algún conjunto que sea medible y tenga medida cero. Sin embargo, este tecnicismo desaparece cuando se considera un espacio de medida completo : si es completo, entonces existe con medida cero si y solo si es medible con medida cero. ${\displaystyle \{x\in X:\neg P(x)\}}$ ${\displaystyle \{x\in X:\neg P(x)\}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \{x\in X:\neg P(x)\}}$

Propiedades

• Si la propiedad se cumple en casi todas partes e implica propiedad , entonces la propiedad se cumple en casi todas partes. Esto se desprende de la monotonía de las medidas. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$
• Si es una secuencia finita o numerable de propiedades, cada una de las cuales se cumple casi en todas partes, entonces su conjunción se cumple casi en todas partes. Esto se desprende de la subaditividad numerable de las medidas. ${\displaystyle (P_{n})}$ ${\displaystyle \forall nP_{n}}$
• Por el contrario, si es una familia incontable de propiedades, cada una de las cuales se cumple casi en todas partes, entonces su conjunción no necesariamente se cumple en casi todas partes. Por ejemplo, si es una medida de Lebesgue en y es la propiedad de no ser igual a (es decir, es verdadera si y solo si ), entonces cada una se cumple en casi todas partes, pero la conjunción no se cumple en ninguna. ${\displaystyle (P_{x})_{x\in \mathbf {R} }}$ ${\displaystyle \forall xP_{x}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X=\mathbf {R} }$ ${\displaystyle P_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P_{x}(y)}$ ${\displaystyle y\neq x}$ ${\displaystyle P_{x}}$ ${\displaystyle \forall xP_{x}}$

Como consecuencia de las dos primeras propiedades, a menudo es posible razonar sobre "casi todos los puntos" de un espacio de medida como si fuera un punto ordinario en lugar de una abstracción. ^{[ cita requerida ]} Esto se hace a menudo de manera implícita en argumentos matemáticos informales. Sin embargo, hay que tener cuidado con este modo de razonamiento debido al tercer punto anterior: la cuantificación universal sobre innumerables familias de enunciados es válida para puntos ordinarios, pero no para "casi todos los puntos".

Ejemplos

• Si f  : R → R es una función integrable de Lebesgue y en casi todas partes, entonces para todos los números reales con igualdad si y solo si en casi todas partes. ${\displaystyle f(x)\geq 0}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\geq 0}$$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle f(x)=0}$
• Si f  : [ a , b ] → R es una función monótona , entonces f es diferenciable casi en todas partes.
• Si f  : R → R es medible según el método de Lebesgue y para todos los números reales , entonces existe un conjunto E (que depende de f ) tal que, si x está en E , la media de Lebesgue converge a f ( x ) cuando decrece hasta cero. El conjunto E se denomina conjunto de Lebesgue de f . Se puede demostrar que su complemento tiene medida cero. En otras palabras, la media de Lebesgue de f converge a f casi en todas partes. $${\displaystyle \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx<\infty }$$ ${\displaystyle a<b}$ $${\displaystyle {\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{x-\varepsilon }^{x+\varepsilon }f(t)\,dt}$$ ${\displaystyle \epsilon }$
• Una función acotada f  : [ a , b ] → R es integrable según Riemann si y sólo si es continua casi en todas partes.
• Como curiosidad, la expansión decimal de casi todos los números reales en el intervalo [0, 1] contiene el texto completo de las obras de Shakespeare , codificado en ASCII ; de manera similar, para cualquier otra secuencia de dígitos finitos, consulte Número normal .

Definición utilizando ultrafiltros

Fuera del contexto del análisis real, la noción de una propiedad que es verdadera casi en todas partes se define a veces en términos de un ultrafiltro . Un ultrafiltro en un conjunto X es una colección máxima F de subconjuntos de X tales que:

1. Si U ∈ F y U ⊆ V entonces V ∈ F
2. La intersección de dos conjuntos cualesquiera en F está en F
3. El conjunto vacío no está en F

Una propiedad P de puntos en X se cumple casi en todas partes, en relación con un ultrafiltro F , si el conjunto de puntos para los que P se cumple está en F .

Por ejemplo, una construcción del sistema de números hiperreales define un número hiperreal como una clase de equivalencia de secuencias que son iguales casi en todas partes según lo definido por un ultrafiltro.

La definición de casi todas partes en términos de ultrafiltros está estrechamente relacionada con la definición en términos de medidas, porque cada ultrafiltro define una medida finitamente aditiva que toma solo los valores 0 y 1, donde un conjunto tiene medida 1 si y solo si está incluido en el ultrafiltro.

Véase también

• Función de Dirichlet , una función que es igual a 0 casi en todas partes.

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Casi en todas partes". mathworld.wolfram.com . Consultado el 19 de noviembre de 2019 .
2. Halmos, Paul R. (1974). Teoría de la medida. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90088-8.
3. "Definición de casi en todas partes | Dictionary.com". www.dictionary.com . Consultado el 19 de noviembre de 2019 .
4. Ursell, HD (1 de enero de 1932). "Sobre la convergencia casi en todas partes de las series de Rademacher y de las sumas de Bochnerfejér de una función casi periódica en el sentido de Stepanoff". Actas de la London Mathematical Society . s2-33 (1): 457–466. doi :10.1112/plms/s2-33.1.457. ISSN  0024-6115.
5. "Propiedades que se dan en casi todas partes - Mathonline". mathonline.wikidot.com . Consultado el 19 de noviembre de 2019 .

Bibliografía

• Billingsley, Patrick (1995). Probabilidad y medida (3.ª ed.). Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-00710-2.