Prueba M de Weierstrass

Criterio sobre la convergencia de series

En matemáticas , la prueba M de Weierstrass es una prueba para determinar si una serie infinita de funciones converge de manera uniforme y absoluta . Se aplica a series cuyos términos son funciones acotadas con valores reales o complejos , y es análoga a la prueba de comparación para determinar la convergencia de series de números reales o complejos. Recibe su nombre en honor al matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897).

Declaración

Prueba M de Weierstrass. Supóngase que ( f _n ) es una secuencia de funciones reales o complejas definidas en un conjunto A , y que existe una secuencia de números no negativos ( M _n ) que satisfacen las condiciones

• ${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}}$para todos y todas , y ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle x\in A}$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}}$converge.

Luego la serie

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}$

converge absoluta y uniformemente en A .

Una serie que satisface la hipótesis se denomina normalmente convergente . El resultado se utiliza a menudo en combinación con el teorema del límite uniforme . Juntos dicen que si, además de las condiciones anteriores, el conjunto A es un espacio topológico y las funciones f _n son continuas en A , entonces la serie converge a una función continua.

Prueba

Considere la secuencia de funciones

${\displaystyle S_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x).}$

Dado que la serie converge y M _n ≥ 0 para cada n , entonces por el criterio de Cauchy , ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}}$

${\displaystyle \forall \varepsilon >0:\exists N:\forall m>n>N:\sum _{k=n+1}^{m}M_{k}<\varepsilon .}$

Para el N elegido ,

${\displaystyle \forall x\in A:\forall m>n>N}$

${\displaystyle \left|S_{m}(x)-S_{n}(x)\right|=\left|\sum _{k=n+1}^{m}f_{k}(x)\right|{\overset {(1)}{\leq }}\sum _{k=n+1}^{m}|f_{k}(x)|\leq \sum _{k=n+1}^{m}M_{k}<\varepsilon .}$

(La desigualdad (1) se deriva de la desigualdad triangular .)

La secuencia S _n ( x ) es entonces una secuencia de Cauchy en R o C , y por completitud , converge a algún número S ( x ) que depende de x . Para n  >  N podemos escribir

${\displaystyle \left|S(x)-S_{n}(x)\right|=\left|\lim _{m\to \infty }S_{m}(x)-S_{n}(x)\right|=\lim _{m\to \infty }\left|S_{m}(x)-S_{n}(x)\right|\leq \varepsilon .}$

Como N no depende de x , esto significa que la secuencia S _n de sumas parciales converge uniformemente a la función S. Por lo tanto, por definición, la serie converge uniformemente. ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }f_{k}(x)}$

De manera análoga, se puede demostrar que converge uniformemente. ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|f_{k}(x)|}$

Generalización

Una versión más general de la prueba M de Weierstrass se cumple si el codominio común de las funciones ( f _n ) es un espacio de Banach , en cuyo caso la premisa

${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}}$

se reemplazará por

${\displaystyle \|f_{n}(x)\|\leq M_{n}}$,

donde es la norma en el espacio de Banach. Para ver un ejemplo del uso de esta prueba en un espacio de Banach, consulte el artículo Derivada de Fréchet . ${\displaystyle \|\cdot \|}$

Véase también

• Ejemplo de prueba M de Weierstrass

Referencias

• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .
• Rudin, Walter (mayo de 1986). Análisis real y complejo . McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 0-07-054234-1.
• Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . McGraw-Hill Science/Engineering/Math.
• Whittaker, ET ; Watson, GN (1927). Un curso de análisis moderno (cuarta edición). Cambridge University Press. pág. 49.