Completitud de los números reales

Concepto en matemáticas

La completitud es una propiedad de los números reales que, intuitivamente, implica que no existen "huecos" (en la terminología de Dedekind) o "puntos faltantes" en la recta numérica real . Esto contrasta con los números racionales , cuya recta numérica correspondiente tiene un "hueco" en cada valor irracional . En el sistema numérico decimal , la completitud es equivalente a la afirmación de que cualquier cadena infinita de dígitos decimales es en realidad una representación decimal de algún número real.

Dependiendo de la construcción de los números reales utilizados, la completitud puede tomar la forma de un axioma (el axioma de completitud ), o puede ser un teorema demostrado a partir de la construcción. Existen muchas formas equivalentes de completitud, siendo las más destacadas la completitud de Dedekind y la completitud de Cauchy ( la completitud como espacio métrico ).

Formas de completitud

Los números reales pueden definirse sintéticamente como un cuerpo ordenado que satisface alguna versión del axioma de completitud . Las diferentes versiones de este axioma son todas equivalentes en el sentido de que cualquier cuerpo ordenado que satisfaga una forma de completitud satisface todas ellas, excepto la completitud de Cauchy y el teorema de intervalos anidados, que son estrictamente más débiles en el sentido de que hay cuerpos no arquimedianos que son ordenados y completos de Cauchy. Cuando los números reales se construyen, en cambio, utilizando un modelo, la completitud se convierte en un teorema o conjunto de teoremas.

Propiedad de límite superior mínimo

La propiedad del límite superior mínimo establece que cada subconjunto no vacío de números reales que tenga un límite superior (o acotado por encima) debe tener un límite superior mínimo (o supremo) en el conjunto de números reales.

La recta numérica racional Q no tiene la propiedad de límite superior mínimo. Un ejemplo es el subconjunto de números racionales

${\displaystyle S=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\}.}$

Este conjunto tiene un límite superior. Sin embargo, este conjunto no tiene un límite superior mínimo en Q : el límite superior mínimo como subconjunto de los números reales sería √2 , pero no existe en Q . Para cualquier límite superior x ∈ Q , existe otro límite superior y ∈ Q con y < x .

Por ejemplo, tome x = 1.5 , entonces x es ciertamente un límite superior de S , ya que x es positivo y x ² = 2.25 ≥ 2 ; es decir, ningún elemento de S es mayor que x . Sin embargo, podemos elegir un límite superior más pequeño, digamos y = 1.45 ; este también es un límite superior de S por las mismas razones, pero es menor que x , por lo que x no es un límite superior mínimo de S . Podemos proceder de manera similar para encontrar un límite superior de S que sea menor que y , digamos z = 1.42 , etc., de modo que nunca encontremos un límite superior mínimo de S en Q .

La propiedad del límite superior mínimo se puede generalizar al contexto de conjuntos parcialmente ordenados . Véase completitud (teoría del orden) .

Completitud de Dedekind

Véase la completitud de Dedekind para conceptos más generales que llevan este nombre.

La completitud de Dedekind es la propiedad de que cada corte de Dedekind de los números reales es generado por un número real. En un enfoque sintético de los números reales, esta es la versión de completitud que se incluye con más frecuencia como axioma.

La recta de números racionales Q no es una recta Dedekind completa. Un ejemplo es el corte de Dedekind

${\displaystyle L=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}\leq 2\vee x<0\}.}$

${\displaystyle R=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}\geq 2\wedge x>0\}.}$

L no tiene máximo y R no tiene mínimo, por lo que este corte no está generado por un número racional.

Existe una construcción de los números reales basada en la idea de utilizar cortes de Dedekind de números racionales para nombrar números reales; por ejemplo, el corte (L,R) descrito anteriormente nombraría . Si uno repitiera la construcción de números reales con cortes de Dedekind (es decir, "cerrar" el conjunto de números reales sumando todos los cortes de Dedekind posibles), no obtendría números adicionales porque los números reales ya son Dedekind completos. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

La completitud de Cauchy

La completitud de Cauchy es la afirmación de que toda secuencia de Cauchy de números reales converge a un número real.

La recta de números racionales Q no es completa de Cauchy. Un ejemplo es la siguiente secuencia de números racionales:

${\displaystyle 3,\quad 3.1,\quad 3.14,\quad 3.142,\quad 3.1416,\quad \ldots }$

Aquí, el término n -ésimo de la secuencia es la aproximación decimal n -ésima de pi . Aunque se trata de una secuencia de Cauchy de números racionales, no converge a ningún número racional. (En esta línea de números reales, esta secuencia converge a pi).

La completitud de Cauchy está relacionada con la construcción de números reales mediante sucesiones de Cauchy. Básicamente, este método define un número real como el límite de una sucesión de Cauchy de números racionales.

En el análisis matemático , la completitud de Cauchy se puede generalizar a una noción de completitud para cualquier espacio métrico . Véase espacio métrico completo .

Para un cuerpo ordenado , la completitud de Cauchy es más débil que las otras formas de completitud de esta página. Pero la completitud de Cauchy y la propiedad de Arquímedes tomadas en conjunto son equivalentes a las otras.

Teorema de intervalos anidados

El teorema de intervalos anidados es otra forma de completitud. Sea I _n = [ a _n , b _n ] una secuencia de intervalos cerrados y supongamos que estos intervalos están anidados en el sentido de que

${\displaystyle I_{1}\;\supset \;I_{2}\;\supset \;I_{3}\;\supset \;\cdots }$

Además, supongamos que b _n − a _n → 0 cuando n → +∞ . El teorema del intervalo anidado establece que la intersección de todos los intervalos I _n contiene exactamente un punto.

La recta de números racionales no satisface el teorema de intervalos anidados. Por ejemplo, la sucesión (cuyos términos se derivan de los dígitos de pi de la manera sugerida)

${\displaystyle [3,4]\;\supset \;[3.1,3.2]\;\supset \;[3.14,3.15]\;\supset \;[3.141,3.142]\;\supset \;\cdots }$

es una secuencia anidada de intervalos cerrados en los números racionales cuya intersección está vacía. (En los números reales, la intersección de estos intervalos contiene el número pi ).

El teorema de intervalos anidados comparte el mismo estatus lógico que la completitud de Cauchy en este espectro de expresiones de completitud. En otras palabras, el teorema de intervalos anidados por sí mismo es más débil que otras formas de completitud, aunque tomado en conjunto con la propiedad de Arquímedes , es equivalente a las otras.

El principio de inducción abierta

El principio de inducción abierta establece que un subconjunto abierto no vacío del intervalo debe ser igual a todo el intervalo, si para cualquier , tenemos que implica . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle r\in [a,b]}$ ${\displaystyle [a,r)\subset S}$ ${\displaystyle [a,r]\subset S}$

Se puede demostrar que el principio de inducción abierta es equivalente a la completitud de Dedekind para conjuntos ordenados arbitrarios bajo la topología de orden, utilizando pruebas por contradicción. En fundamentos más débiles, como en el análisis constructivo donde la ley del medio excluido no se cumple, la forma completa de la propiedad del límite superior mínimo falla para los reales de Dedekind, mientras que la propiedad de inducción abierta sigue siendo válida en la mayoría de los modelos (siguiendo el teorema de la barra de Brouwer) y es lo suficientemente fuerte como para proporcionar pruebas breves de teoremas clave.

Teorema de convergencia monótona

El teorema de convergencia monótona (descrito como el axioma fundamental del análisis por Körner ^[1] ) establece que toda sucesión no decreciente y acotada de números reales converge. Esto puede considerarse un caso especial de la propiedad del límite superior mínimo, pero también puede utilizarse de manera bastante directa para demostrar la completitud de Cauchy de los números reales.

Teorema de Bolzano-Weierstrass

El teorema de Bolzano-Weierstrass establece que toda sucesión acotada de números reales tiene una subsucesión convergente . Nuevamente, este teorema es equivalente a las otras formas de completitud dadas anteriormente.

El teorema del valor intermedio

El teorema del valor intermedio establece que toda función continua que alcanza valores tanto negativos como positivos tiene una raíz. Esto es una consecuencia de la propiedad del límite superior mínimo, pero también se puede utilizar para demostrar la propiedad del límite superior mínimo si se trata como un axioma. (La definición de continuidad no depende de ninguna forma de completitud, por lo que no hay circularidad: lo que se quiere decir es que el teorema del valor intermedio y la propiedad del límite superior mínimo son enunciados equivalentes).

Véase también

• Lista de temas de análisis reales

Referencias

1. Körner, Thomas William (2004). Un compañero para el análisis: un segundo curso de análisis . AMS Chelsea. ISBN 9780821834473.

Lectura adicional

• Aliprantis, Charalambos D. ; Burkinshaw, Owen (1998). Principios del análisis real (3.ª ed.). Académico. ISBN 0-12-050257-7.
• Browder, Andrew (1996). Análisis matemático: una introducción . Textos de pregrado en matemáticas . Nueva York: Springer Verlag. ISBN 0-387-94614-4.
• Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2000). Introducción al análisis real (3.ª ed.). Nueva York: John Wiley and Sons. ISBN 0-471-32148-6.
• Abbott, Stephen (2001). Understanding Analysis [Comprender el análisis] . Textos de pregrado en matemáticas. Nueva York: Springer Verlag. ISBN. 0-387-95060-5.
• Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (3.ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 9780070542358.
• Dangello, Frank; Seyfried, Michael (1999). Introducción al análisis real . Brooks Cole. ISBN 9780395959336.
• Bressoud, David (2007). Un enfoque radical del análisis real . MAA . ISBN. 978-0-88385-747-2.