Construcción de los números reales

En matemáticas , existen varias formas equivalentes de definir los números reales . Una de ellas es que forman un cuerpo completo ordenado que no contiene ningún cuerpo completo ordenado menor. Tal definición no prueba que tal cuerpo completo ordenado exista, y la prueba de existencia consiste en construir una estructura matemática que satisfaga la definición.

El artículo presenta varias construcciones de este tipo. ^[1] Son equivalentes en el sentido de que, dado el resultado de dos construcciones cualesquiera de este tipo, existe un isomorfismo único de cuerpo ordenado entre ellas. Esto resulta de la definición anterior y es independiente de construcciones particulares. Estos isomorfismos permiten identificar los resultados de las construcciones y, en la práctica, olvidar qué construcción se ha elegido.

Definiciones axiomáticas

Una definición axiomática de los números reales consiste en definirlos como los elementos de un cuerpo ordenado completo. ^{[2] [3] [4]} Esto significa lo siguiente: Los números reales forman un conjunto , comúnmente denotado , que contiene dos elementos distinguidos denotados 0 y 1, y sobre el cual se definen dos operaciones binarias y una relación binaria ; las operaciones se llaman adición y multiplicación de números reales y se denotan respectivamente con + y × ; la relación binaria es desigualdad , denotada Además, deben cumplirse las siguientes propiedades llamadas axiomas . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \leq .}$

La existencia de una estructura de este tipo es un teorema que se demuestra construyendo dicha estructura. Una consecuencia de los axiomas es que esta estructura es única salvo un isomorfismo y, por lo tanto, los números reales pueden utilizarse y manipularse sin recurrir al método de construcción.

Axiomas

1. ${\displaystyle \mathbb {R} }$es un campo bajo adición y multiplicación. En otras palabras,
   • Para todos los x , y y z en , x + ( y + z ) = ( x + y ) + z y x × ( y × z ) = ( x × y ) × z . ( asociatividad de la adición y la multiplicación) ${\displaystyle \mathbb {R} }$
   • Para todos los x e y en , x + y = y + x y x × y = y × x . ( conmutatividad de la suma y la multiplicación) ${\displaystyle \mathbb {R} }$
   • Para todos los x , y y z en , x × ( y + z ) = ( x × y ) + ( x × z ). ( distributividad de la multiplicación sobre la suma) ${\displaystyle \mathbb {R} }$
   • Para todo x en , x + 0 = x . (existencia de identidad aditiva ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$
   • 0 no es igual a 1, y para todo x en , x × 1 = x . (existencia de identidad multiplicativa) ${\displaystyle \mathbb {R} }$
   • Para cada x en , existe un elemento − x en , tal que x + (− x ) = 0. (existencia de inversos aditivos ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
   • Para cada x ≠ 0 en , existe un elemento x ⁻¹ en , tal que x × x ⁻¹ = 1. (existencia de inversos multiplicativos) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
2. ${\displaystyle \mathbb {R} }$está totalmente ordenado para . En otras palabras, ${\displaystyle \leq }$
   • Para todo x en , x ≤ x . ( reflexividad ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$
   • Para todos los x e y en , si x ≤ y e y ≤ x , entonces x = y . ( antisimetría ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$
   • Para todos los x , y y z en , si x ≤ y e y ≤ z , entonces x ≤ z . ( transitividad ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$
   • Para todos los x e y en , x ≤ y o y ≤ x . ( totalidad ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$
3. La suma y la multiplicación son compatibles con el orden. En otras palabras,
   • Para todos los x , y y z en , si x ≤ y , entonces x + z ≤ y + z . (preservación del orden bajo adición) ${\displaystyle \mathbb {R} }$
   • Para todos los x e y en , si 0 ≤ x y 0 ≤ y , entonces 0 ≤ x × y (preservación del orden bajo multiplicación) ${\displaystyle \mathbb {R} }$
4. El orden ≤ es completo en el siguiente sentido: todo subconjunto no vacío de aquel que está acotado por encima tiene un límite superior mínimo . En otras palabras, ${\displaystyle \mathbb {R} }$
   • Si A es un subconjunto no vacío de , y si A tiene un límite superior en , entonces A tiene un límite superior mínimo u , tal que para cada límite superior v de A , u ≤ v . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

En la propiedad del límite superior más bajo

El axioma 4, que requiere que el orden sea Dedekind-completo , implica la propiedad arquimediana .

El axioma es crucial en la caracterización de los números reales. Por ejemplo, el cuerpo totalmente ordenado de los números racionales Q satisface los tres primeros axiomas, pero no el cuarto. En otras palabras, los modelos de los números racionales son también modelos de los tres primeros axiomas.

Obsérvese que el axioma no es ordenable en primer orden , ya que expresa una afirmación sobre conjuntos de números reales y no solo sobre números individuales de ese tipo. Por lo tanto, los números reales no están dados por una teoría lógica de primer orden .

Sobre los modelos

Un modelo de números reales es una estructura matemática que satisface los axiomas anteriores. A continuación se ofrecen varios modelos. Cualquier par de modelos es isomorfo; por lo tanto, los números reales son únicos salvo isomorfismos.

Decir que dos modelos cualesquiera son isomorfos significa que para dos modelos cualesquiera y existe una biyección que preserva tanto las operaciones de campo como el orden. Explícitamente, ${\displaystyle (\mathbb {R} ,0_{\mathbb {R} },1_{\mathbb {R} },+_{\mathbb {R} },\times _{\mathbb {R} },\leq _{\mathbb {R} })}$ ${\displaystyle (S,0_{S},1_{S},+_{S},\times _{S},\leq _{S}),}$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to S}$

• f es a la vez inyectiva y sobreyectiva .
• f (0 _ℝ ) = 0 _S y f (1 _ℝ ) = 1 _S .
• f ( x + _ℝ y ) = f ( x ) + _S f ( y ) y f ( x × _ℝ y ) = f ( x ) × _S f ( y ) , para todos los x e y en ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• x ≤ _ℝ y si y sólo si f ( x ) ≤ _S f ( y ) , para todos los x e y en ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

La axiomatización de los reales de Tarski

Una axiomatización sintética alternativa de los números reales y su aritmética fue propuesta por Alfred Tarski , que constaba únicamente de los 8 axiomas que se muestran a continuación y de sólo cuatro nociones primitivas : un conjunto llamado números reales , denotado , una relación binaria sobre llamada orden , denotado por el operador infijo <, una operación binaria sobre llamada adición , denotada por el operador infijo +, y la constante 1. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Axiomas de orden (primitivos: , <): ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Axioma 1. Si x < y , entonces no y < x . Es decir, "<" es una relación asimétrica .

Axioma 2. Si x  <  z , existe un y tal que x  <  y e y  <  z . En otras palabras, "<" es denso en . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Axioma 3. "<" es Dedekind-completo . Más formalmente, para todo X ,  Y  ⊆  , si para todo x  ∈  X e y  ∈  Y , x  <  y , entonces existe un z tal que para todo x  ∈  X e y  ∈  Y , si z  ≠  x y z  ≠  y , entonces x  <  z y z  <  y . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Para aclarar un poco la afirmación anterior, sean X  ⊆  e Y  ⊆  . Ahora definimos dos verbos comunes en inglés de una manera particular que se adapta a nuestro propósito: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

X precede a Y si y sólo si para cada x  ∈  X y cada y  ∈  Y , x  <  y .

El número real z separa X e Y si y sólo si para cada x  ∈  X con x  ≠  z y cada y  ∈  Y con y  ≠  z , x  <  z y z  <  y .

El axioma 3 puede entonces enunciarse como:

"Si un conjunto de números reales precede a otro conjunto de números reales, entonces existe al menos un número real que separa los dos conjuntos".

Axiomas de adición (primitivos: , <, +): ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Axioma 4 . x  + ( y  +  z ) = ( x  +  z ) +  y .

Axioma 5. Para todo x , y , existe un z tal que x  +  z  =  y .

Axioma 6. Si x  +  y  <  z  +  w , entonces x  <  z o y  <  w .

Axiomas para uno (primitivos: , <, +, 1): ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Axioma 7 . 1 ∈  . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Axioma 8. 1 < 1 + 1.

Estos axiomas implican que es un grupo abeliano ordenado linealmente bajo adición con el elemento distinguido 1. también es Dedekind-completo y divisible . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Construcciones explícitas de modelos

No probaremos que todos los modelos de los axiomas sean isomorfos. Se puede encontrar una prueba de este tipo en cualquier cantidad de libros de texto de análisis o teoría de conjuntos modernos. Sin embargo, esbozaremos las definiciones y propiedades básicas de varias construcciones, porque cada una de ellas es importante por razones matemáticas e históricas. Las tres primeras, debidas a Georg Cantor / Charles Méray , Richard Dedekind / Joseph Bertrand y Karl Weierstrass, ocurrieron todas con pocos años de diferencia entre sí. Cada una tiene ventajas y desventajas. Una motivación importante en los tres casos fue la instrucción de estudiantes de matemáticas.

Construcción a partir de secuencias de Cauchy

Un procedimiento estándar para forzar la convergencia de todas las secuencias de Cauchy en un espacio métrico es agregar nuevos puntos al espacio métrico en un proceso llamado finalización .

${\displaystyle \mathbb {R} }$se define como la completitud del conjunto de los números racionales con respecto a la métrica | x − y | Normalmente, las métricas se definen con números reales como valores, pero esto no hace que la construcción/definición sea circular, ya que todos los números que están implícitos (incluso implícitamente) son números racionales. ^[5] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Sea R el conjunto de sucesiones de Cauchy de números racionales. Es decir, sucesiones

( x1 , x2 _, x3 _, ... )_​

de números racionales tales que para cada racional ε > 0 , existe un entero N tal que para todos los números naturales m , n > N , se tiene | x _m − x _n | < ε . Aquí las barras verticales indican el valor absoluto.

Las secuencias de Cauchy ( x _n ) e ( y _n ) se pueden sumar y multiplicar de la siguiente manera:

( x _norte ) + ( y _norte ) = ( x _norte + y _norte )

( x _norte ) × ( y _norte ) = ( x _norte × y _norte ) .

Dos sucesiones de Cauchy ( x _n ) e ( y _n ) se llaman equivalentes si y sólo si la diferencia entre ellas tiende a cero; es decir, para cada número racional ε > 0 , existe un entero N tal que para todos los números naturales n > N , se tiene | x _n − y _n | < ε .

Esto define una relación de equivalencia que es compatible con las operaciones definidas anteriormente, y se puede demostrar que el conjunto R de todas las clases de equivalencia satisface todos los axiomas de los números reales. se puede considerar como un subconjunto de identificando un número racional r con la clase de equivalencia de la secuencia de Cauchy ( r , r , r , ...) . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

La comparación entre números reales se obtiene definiendo la siguiente comparación entre sucesiones de Cauchy: ( x _n ) ≥ ( y _n ) si y sólo si x es equivalente a y o existe un entero N tal que x _n ≥ y _n para todo n > N .

Por construcción, cada número real x se representa mediante una secuencia de Cauchy de números racionales. Esta representación está lejos de ser única; cada secuencia racional que converge a x es una secuencia de Cauchy que representa a x . Esto refleja la observación de que a menudo se pueden utilizar diferentes secuencias para aproximar el mismo número real. ^[6]

El único axioma de número real que no se sigue fácilmente de las definiciones es la completitud de ≤ , es decir, la propiedad de límite superior mínimo . Puede demostrarse de la siguiente manera: Sea S un subconjunto no vacío de y U un límite superior para S . Sustituyendo un valor mayor si es necesario, podemos suponer que U es racional. Como S no es vacío, podemos elegir un número racional L tal que L < s para algún s en S . Ahora definamos sucesiones de racionales ( u _n ) y ( l _n ) de la siguiente manera: ${\displaystyle \mathbb {R} '}$

Sea u ₀ = U y l ₀ = L . Para cada n, considere el número m _n = ( u _n + l _n )/2 . Si m _n es un límite superior para S , sea u _{n +1} = m _n y l _{n +1} = l _n . De lo contrario, sea l _{n +1} = m _n y u _{n +1} = u _n .

Esto define dos sucesiones de Cauchy de racionales, y por lo tanto los números reales l = ( l _n ) y u = ( u _n ) . Es fácil demostrar, por inducción sobre n, que u _n es un límite superior para S para todo n y que l _n nunca es un límite superior para S para ningún n

Por lo tanto, u es un límite superior para S . Para ver que es un límite superior mínimo, observe que el límite de ( u _n − l _n ) es 0 , y por lo tanto l = u . Ahora suponga que b < u = l es un límite superior más pequeño para S . Como ( l _n ) es monótona creciente, es fácil ver que b < l _n para algún n . Pero l _n no es un límite superior para S y, por lo tanto, tampoco lo es b . Por lo tanto, u es un límite superior mínimo para S y ≤ es completo.

La notación decimal habitual se puede traducir a sucesiones de Cauchy de forma natural. Por ejemplo, la notación π = 3,1415... significa que π es la clase de equivalencia de la sucesión de Cauchy (3, 3,1, 3,14, 3,141, 3,1415, ...) . La ecuación 0,999... = 1 establece que las sucesiones (0, 0,9, 0,99, 0,999,...) y (1, 1, 1, 1,...) son equivalentes, es decir, su diferencia converge a 0 .

Una ventaja de construir como terminación es que esta construcción se puede utilizar para cualquier otro espacio métrico. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Construcción por Dedekind recorta

Dedekind utilizó su corte para construir los números reales irracionales .

Un corte de Dedekind en un cuerpo ordenado es una partición del mismo, ( A , B ), tal que A no está vacío y está cerrado hacia abajo, B no está vacío y está cerrado hacia arriba, y A no contiene ningún elemento mayor . Los números reales pueden construirse como cortes de Dedekind de números racionales. ^{[7] [8]}

Por conveniencia, podemos tomar el conjunto inferior como representante de cualquier corte de Dedekind dado , ya que determina completamente . Al hacer esto, podemos pensar intuitivamente en un número real como representado por el conjunto de todos los números racionales más pequeños. En más detalle, un número real es cualquier subconjunto del conjunto de números racionales que cumple las siguientes condiciones: ^[9] ${\displaystyle A\,}$ ${\displaystyle (A,B)\,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\textbf {Q}}}$

1. ${\displaystyle r}$no esta vacio
2. ${\displaystyle r\neq {\textbf {Q}}}$
3. ${\displaystyle r}$está cerrado hacia abajo. En otras palabras, para todos los que , si entonces ${\displaystyle x,y\in {\textbf {Q}}}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle y\in r}$ ${\displaystyle x\in r}$
4. ${\displaystyle r}$no contiene ningún elemento mayor. En otras palabras, no existe tal cosa para todo , ${\displaystyle x\in r}$ ${\displaystyle y\in r}$ ${\displaystyle y\leq x}$

• Formamos el conjunto de números reales como el conjunto de todos los cortes de Dedekind de , y definimos un ordenamiento total en los números reales de la siguiente manera: ${\displaystyle {\textbf {R}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\textbf {Q}}}$ ${\displaystyle x\leq y\Leftrightarrow x\subseteq y}$
• Incorporamos los números racionales en los reales identificando el número racional con el conjunto de todos los números racionales más pequeños . [ ^9] Dado que los números racionales son densos , dicho conjunto no puede tener ningún elemento mayor y, por lo tanto, cumple las condiciones para ser un número real expuestas anteriormente. ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \{x\in {\textbf {Q}}:x<q\}}$
• Adición . ^[9] ${\displaystyle A+B:=\{a+b:a\in A\land b\in B\}}$
• Resta . donde denota el complemento relativo de en , ${\displaystyle A-B:=\{a-b:a\in A\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}}$ ${\displaystyle {\textbf {Q}}\setminus B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\textbf {Q}}}$ ${\displaystyle \{x:x\in {\textbf {Q}}\land x\notin B\}}$
• La negación es un caso especial de resta: ${\displaystyle -B:=\{a-b:a<0\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}}$
• Definir la multiplicación es menos sencillo. ^[9]
  • Si entonces ${\displaystyle A,B\geq 0}$ ${\displaystyle A\times B:=\{a\times b:a\geq 0\land a\in A\land b\geq 0\land b\in B\}\cup \{x\in \mathrm {Q} :x<0\}}$
  • Si o es negativo, usamos las identidades para convertir y/o en números positivos y luego aplicamos la definición anterior. ${\displaystyle A\,}$ ${\displaystyle B\,}$ ${\displaystyle A\times B=-(A\times -B)=-(-A\times B)=(-A\times -B)\,}$ ${\displaystyle A\,}$ ${\displaystyle B\,}$
• Definimos la división de manera similar:
  • Si entonces ${\displaystyle A\geq 0{\mbox{ and }}B>0}$ ${\displaystyle A/B:=\{a/b:a\in A\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}}$
  • Si o es negativo, usamos las identidades para convertir a un número no negativo y/o a un número positivo y luego aplicamos la definición anterior. ${\displaystyle A\,}$ ${\displaystyle B\,}$ ${\displaystyle A/B=-(A/{-B})=-(-A/B)=-A/{-B}\,}$ ${\displaystyle A\,}$ ${\displaystyle B\,}$
• Supremo . Si un conjunto no vacío de números reales tiene un límite superior en , entonces tiene un límite superior mínimo en que es igual a . ^[9] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\textbf {R}}}$ ${\displaystyle {\textbf {R}}}$ ${\displaystyle \bigcup S}$

Como ejemplo de un corte de Dedekind que representa un número irracional , podemos tomar la raíz cuadrada positiva de 2 . Esto se puede definir por el conjunto . ^[10] Se puede ver a partir de las definiciones anteriores que es un número real, y que . Sin embargo, ninguna afirmación es inmediata. Demostrar que es real requiere demostrar que no tiene el mayor elemento, es decir, que para cualquier racional positivo con , hay un racional con y La elección funciona. Entonces, pero para demostrar la igualdad se requiere demostrar que si es cualquier número racional con , entonces hay positivo en con . ${\displaystyle A=\{x\in {\textbf {Q}}:x<0\lor x\times x<2\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\times A=2\,}$ ${\displaystyle A\,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x\,}$ ${\displaystyle x\times x<2\,}$ ${\displaystyle y\,}$ ${\displaystyle x<y\,}$ ${\displaystyle y\times y<2\,.}$ ${\displaystyle y={\frac {2x+2}{x+2}}\,}$ ${\displaystyle A\times A\leq 2}$ ${\displaystyle r\,}$ ${\displaystyle r<2\,}$ ${\displaystyle x\,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r<x\times x\,}$

Una ventaja de esta construcción es que cada número real corresponde a un corte único. Además, al relajar los dos primeros requisitos de la definición de corte, se puede obtener el sistema de números reales extendido mediante la asociación con el conjunto vacío y con todos los . ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle {\textbf {Q}}}$

Construcción utilizando números hiperreales

Al igual que en los números hiperreales , se construyen los hiperracionales a partir de los números racionales por medio de un ultrafiltro . ^[11] Aquí un hiperracional es por definición un cociente de dos hiperenteros . Considérese el anillo de todos los elementos limitados (es decir, finitos) en . Entonces tiene un ideal maximal único , los números hiperracionales infinitesimales . El anillo cociente da el cuerpo de los números reales. ^[12] Esta construcción utiliza un ultrafiltro no principal sobre el conjunto de números naturales, cuya existencia está garantizada por el axioma de elección . ${\displaystyle ^{*}\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle ^{*}\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle B/I}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Resulta que el ideal maximal respeta el orden en . Por lo tanto, el cuerpo resultante es un cuerpo ordenado. La completitud se puede demostrar de una manera similar a la construcción a partir de las sucesiones de Cauchy. ${\displaystyle ^{*}\mathbb {Q} }$

Construcción a partir de números surrealistas

Todo cuerpo ordenado puede ser incrustado en los números surrealistas . Los números reales forman un subcuerpo máximo que es arquimediano (es decir, ningún número real es infinitamente grande o infinitamente pequeño). Esta incrustación no es única, aunque puede elegirse de manera canónica.

Construcción a partir de números enteros (Eudoxus reales)

Una construcción relativamente menos conocida permite definir números reales utilizando únicamente el grupo aditivo de los números enteros con diferentes versiones. ^{[13] [14] [15]} Arthan (2004), quien atribuye esta construcción al trabajo inédito de Stephen Schanuel , se refiere a esta construcción como los reales de Eudoxo , nombrándolos en honor al antiguo astrónomo y matemático griego Eudoxo de Cnido . Como señalaron Shenitzer (1987) y Arthan (2004), el tratamiento de Eudoxo de la cantidad utilizando el comportamiento de las proporciones se convirtió en la base de esta construcción. Esta construcción ha sido verificada formalmente para dar un cuerpo ordenado Dedekind-completo por el proyecto IsarMathLib. ^[16] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Sea un casi homomorfismo una función tal que el conjunto es finito. (Obsérvese que es un casi homomorfismo para cada .) Los casi homomorfismos forman un grupo abeliano bajo adición puntual. Decimos que dos casi homomorfismos son casi iguales si el conjunto es finito. Esto define una relación de equivalencia en el conjunto de casi homomorfismos. Los números reales se definen como las clases de equivalencia de esta relación. Alternativamente, los casi homomorfismos que toman solo un número finito de valores forman un subgrupo, y el grupo aditivo subyacente del número real es el grupo cociente. Para sumar números reales definidos de esta manera, sumamos los casi homomorfismos que los representan. La multiplicación de números reales corresponde a la composición funcional de los casi homomorfismos. Si denota el número real representado por un casi homomorfismo, decimos que si está acotado o toma un número infinito de valores positivos en . Esto define la relación de orden lineal en el conjunto de números reales construido de esta manera. ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \{f(n+m)-f(m)-f(n):n,m\in \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle f(n)=\lfloor \alpha n\rfloor }$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle \{f(n)-g(n):n\in \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle [f]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0\leq [f]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$

Otras construcciones

Faltin et al. (1975) escriben: “Pocas estructuras matemáticas han sufrido tantas revisiones o se han presentado en tantas formas como los números reales. Cada generación reexamina los números reales a la luz de sus valores y objetivos matemáticos”. ^[17]

Se han dado otras construcciones, por:

• de Bruijn (1976), de Bruijn (1977)
• Rieger (1982)
• Knopfmacher y Knopfmacher (1987), Knopfmacher y Knopfmacher (1988)

Para una descripción general, consulte Weiss (2015).

Como señaló un crítico de uno de ellos: "Todos los detalles están incluidos, pero como es habitual, son tediosos y no demasiado instructivos". ^[18]

Véase también

• Constructivismo (matemáticas)#Ejemplo de análisis real  – Punto de vista matemático de que las pruebas de existencia deben ser constructivasPages displaying short descriptions of redirect targets
• Decidibilidad de las teorías de primer orden de los números reales

Referencias

1. Blanco 2015.
2. "Números reales" (PDF) . Universidad de Colorado en Boulder .
3. Saunders, Bonnie (21 de agosto de 2015). "Notas interactivas para análisis real" (PDF) . Universidad de Illinois en Chicago .
4. "Axiomas del sistema de números reales" (PDF) . Universidad de California, Irvine . Archivado desde el original (PDF) el 26 de diciembre de 2010.
5. Para compleciones con respecto a otras métricas, consulte números p -ádicos ). ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
6. Kemp 2016.
7. Ejercicios de Matemáticas 25 ucdavis.edu
8. 1.2–Cortes furman.edu
9. Pugh 2002.
10. Hersh 1997.
11. Krakoff, Gianni (8 de junio de 2015). "Hiperreales y una breve introducción al análisis no estándar" (PDF) . Departamento de Matemáticas, Universidad de Washington .
12. Goldblatt, Robert (1998). "Ejercicio 5.7 (4)". Lecciones sobre los hiperreales: una introducción al análisis no estándar . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 188. Nueva York: Springer-Verlag. p. 54. doi :10.1007/978-1-4612-0615-6. ISBN . 0-387-98464-X.Señor 1643950  .
13. Arthan 2004.
14. A'Campo 2003.
15. Calle 2003.
16. IsarMathLib.
17. Faltin y otros 1975.
18. MR 693180 (84j:26002) revisión de Rieger1982.

Bibliografía

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• Arthan, RD (2004). "Los números reales de Eudoxo". arXiv : math/0405454 .

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