La prueba de convergencia de Cauchy es un método utilizado para comprobar la convergencia de series infinitas . Se basa en sumas acotadas de los términos de la serie. Este criterio de convergencia recibe su nombre de Augustin-Louis Cauchy , quien lo publicó en su libro de texto Cours d'Analyse 1821. [1]
Una serie es convergente si y sólo si para cada hay un número natural tal que
se aplica a todos y cada uno . [2]
La prueba funciona porque el espacio de los números reales y el espacio de los números complejos (con la métrica dada por el valor absoluto ) son ambos completos . A partir de aquí, la serie es convergente si y solo si las sumas parciales
son una secuencia de Cauchy .
La prueba de convergencia de Cauchy solo se puede utilizar en espacios métricos completos (como y ), que son espacios donde convergen todas las sucesiones de Cauchy. Esto se debe a que solo necesitamos demostrar que sus elementos se vuelven arbitrariamente cercanos entre sí después de una progresión finita en la sucesión para demostrar que la serie converge.
Podemos utilizar los resultados sobre la convergencia de la secuencia de sumas parciales de la serie infinita y aplicarlos a la convergencia de la serie infinita misma. La prueba del criterio de Cauchy es una de esas aplicaciones. Para cualquier secuencia real , los resultados anteriores sobre la convergencia implican que la serie infinita
converge si y sólo si para cada hay un número N , tal que m ≥ n ≥ N implica
Probablemente la parte más interesante de este teorema es que la condición de Cauchy implica la existencia del límite: esto está relacionado con la completitud de la línea real. El criterio de Cauchy se puede generalizar a una variedad de situaciones, que pueden resumirse en líneas generales como "una condición de oscilación que se desvanece es equivalente a la convergencia". [4]
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