Serie convergente

Series matemáticas con suma finita.

En matemáticas , una serie es la suma de los términos de una secuencia infinita de números. Más precisamente, una secuencia infinita define una serie S que se denota ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}$

${\displaystyle S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots =\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}.}$

La n- ésima suma parcial S _n es la suma de los primeros n términos de la secuencia; eso es,

${\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}.}$

Una serie es convergente (o converge ) si y sólo si la secuencia de sus sumas parciales tiende a un límite ; eso significa que, al sumar uno tras otro en el orden dado por los índices , se obtienen sumas parciales que se acercan cada vez más a un número determinado. Más precisamente, una serie converge si y sólo si existe un número tal que para cada número positivo arbitrariamente pequeño , hay un número entero (suficientemente grande) tal que para todos , ${\displaystyle (S_{1},S_{2},S_{3},\dots )}$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq N}$

${\displaystyle \left|S_{n}-\ell \right|<\varepsilon .}$

Si la serie es convergente, el número (necesariamente único) se llama suma de la serie . ${\displaystyle \ell }$

La misma notación

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$

se utiliza para la serie y, si es convergente, a su suma. Esta convención es similar a la que se utiliza para la suma: a + b denota la operación de sumar a y b así como el resultado de esta suma , que se llama suma de a y b .

Cualquier serie que no sea convergente se dice que es divergente o divergente.

Ejemplos de series convergentes y divergentes

• Los recíprocos de los números enteros positivos producen una serie divergente ( serie armónica ):

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots \rightarrow \infty .}$

• La alternancia de los signos de los recíprocos de números enteros positivos produce una serie convergente ( serie armónica alterna ):

  ${\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\ln(2)}$

• Los recíprocos de los números primos producen una serie divergente (por lo que el conjunto de los primos es " grande "; ver divergencia de la suma de los recíprocos de los primos ):

  ${\displaystyle {1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+{1 \over 13}+\cdots \rightarrow \infty .}$

• Los recíprocos de números triangulares producen una serie convergente:

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+{1 \over 21}+\cdots =2.}$

• Los recíprocos de factoriales producen una serie convergente (ver e ):

  ${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\cdots =e.}$

• Los recíprocos de números cuadrados producen una serie convergente (el problema de Basilea ):

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots ={\pi ^{2} \over 6}.}$

• Los recíprocos de potencias de 2 producen una serie convergente (por lo que el conjunto de potencias de 2 es " pequeño "):

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots =2.}$

• Los recíprocos de potencias de cualquier n>1 producen una serie convergente:

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over n}+{1 \over n^{2}}+{1 \over n^{3}}+{1 \over n^{4}}+{1 \over n^{5}}+\cdots ={n \over n-1}.}$

• La alternancia de signos de recíprocos de potencias de 2 también produce una serie convergente:

  ${\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 4}-{1 \over 8}+{1 \over 16}-{1 \over 32}+\cdots ={2 \over 3}.}$

• Alternar los signos de los recíprocos de potencias de cualquier n>1 produce una serie convergente:

  ${\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over n}+{1 \over n^{2}}-{1 \over n^{3}}+{1 \over n^{4}}-{1 \over n^{5}}+\cdots ={n \over n+1}.}$

• Los recíprocos de los números de Fibonacci producen una serie convergente (ver ψ ):

  ${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =\psi .}$

Pruebas de convergencia

Existen varios métodos para determinar si una serie converge o diverge .

Si se puede demostrar que la serie azul converge, entonces la serie más pequeña debe converger. Por el contrario, si se demuestra que la serie roja diverge, entonces también debe divergir. ${\displaystyle \Sigma b_{n}}$ ${\displaystyle \Sigma a_{n}}$ ${\displaystyle \Sigma a_{n}}$ ${\displaystyle \Sigma b_{n}}$

Prueba de comparación . Los términos de la secuenciase comparan con los de otra secuencia. Si, para todo n ,, yconverge, entonces también lo hace ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}$ ${\displaystyle 0\leq \ a_{n}\leq \ b_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$

Sin embargo, si, para todo n , y diverge, entonces también lo hace ${\displaystyle 0\leq \ b_{n}\leq \ a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$

Prueba de razón . Supongamos que para todo n ,no es cero. Supongamos que existetal que ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.}$

Si r < 1, entonces la serie es absolutamente convergente. Si r > 1, entonces la serie diverge. Si r = 1, la prueba de razón no es concluyente y la serie puede converger o divergir.

Prueba de raíz o prueba de raíz enésima . Supongamos que los términos de la secuencia en cuestión no son negativos . Defina r de la siguiente manera:

${\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

donde "lim sup" denota el límite superior (posiblemente ∞; si el límite existe es el mismo valor).

Si r < 1, entonces la serie converge. Si r > 1, entonces la serie diverge. Si r = 1, la prueba de la raíz no es concluyente y la serie puede converger o divergir.

Tanto la prueba de razón como la prueba de raíz se basan en la comparación con una serie geométrica y, como tales, funcionan en situaciones similares. De hecho, si la prueba de razón funciona (lo que significa que el límite existe y no es igual a 1), entonces también funciona la prueba de raíz; lo contrario, sin embargo, no es cierto. Por lo tanto, la prueba de la raíz es aplicable de manera más general, pero como cuestión práctica, el límite suele ser difícil de calcular para tipos de series que se ven comúnmente.

Prueba integral . La serie se puede comparar con una integral para establecer convergencia o divergencia. Sea una función positiva y. Si ${\displaystyle f(n)=a_{n}}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,}$

entonces la serie converge. Pero si la integral diverge, entonces la serie también lo hace.

Prueba de comparación de límites . Siy el límiteexiste y no es cero, entoncesconverge si y sólo si converge. ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}>0}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$

Prueba de series alternas . También conocido como criterio de Leibniz , la prueba de series alternas establece que para una serie alterna de la forma, sies monótonamente decreciente y tiene un límite de 0 en el infinito, entonces la serie converge. ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(-1)^{n}}$ ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$

Prueba de condensación de Cauchy . Sies una secuencia positiva monótona decreciente, entonces converge si y sólo siconverge. ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }2^{k}a_{2^{k}}}$

prueba de dirichlet

la prueba de abel

Convergencia condicional y absoluta

Para cualquier secuencia , para todos los n . Por lo tanto, ${\displaystyle \left\{a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\dots \right\}}$ ${\displaystyle a_{n}\leq \left|a_{n}\right|}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\leq \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|.}$

Esto significa que si converge, entonces también converge (pero no al revés). ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

Si la serie converge, entonces la serie es absolutamente convergente . La serie de Maclaurin de la función exponencial es absolutamente convergente para todo valor complejo de la variable. ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

Si la serie converge pero diverge, entonces la serie es condicionalmente convergente . La serie de Maclaurin de la función logaritmo es condicionalmente convergente para x = 1 . ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \ln(1+x)}$

El teorema de la serie de Riemann establece que si una serie converge condicionalmente, es posible reordenar los términos de la serie de tal manera que la serie converja a cualquier valor, o incluso diverja.

Convergencia uniforme

Sea una secuencia de funciones. Se dice que la serie converge uniformemente a f si la secuencia de sumas parciales definida por ${\displaystyle \left\{f_{1},\ f_{2},\ f_{3},\dots \right\}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$ ${\displaystyle \{s_{n}\}}$

${\displaystyle s_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x)}$

converge uniformemente a f .

Existe un análogo de la prueba de comparación para series infinitas de funciones llamada prueba M de Weierstrass .

Criterio de convergencia de Cauchy

El criterio de convergencia de Cauchy establece que una serie

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

converge si y sólo si la secuencia de sumas parciales es una secuencia de Cauchy . Esto significa que para cada existe un número entero positivo tal que para todos tenemos ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq m\geq N}$

${\displaystyle \left|\sum _{k=m}^{n}a_{k}\right|<\varepsilon .}$

Esto es equivalente a

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\left(\sup _{n>m}\left|\sum _{k=m}^{n}a_{k}\right|\right)=0.}$

Ver también

• Convergencia normal
• Lista de series matemáticas

enlaces externos

• "Serie", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric (2005). Teorema de la serie de Riemann. Consultado el 16 de mayo de 2005.