Prueba de convergencia en serie
En matemáticas , la prueba de Dirichlet es un método para comprobar la convergencia de una serie . Recibe su nombre en honor a su autor, Peter Gustav Lejeune Dirichlet , y se publicó póstumamente en el Journal de Mathématiques Pures et Appliquées en 1862. [1]
Declaración
La prueba establece que si es una secuencia de números reales y una secuencia de números complejos que satisfacen
- es monótono
- para cada entero positivo N
donde M es alguna constante, entonces la serie
converge.
Prueba
Sea y .
De la suma por partes , tenemos que . Como está acotado por M y , el primero de estos términos tiende a cero, ya que .
Tenemos, para cada k , .
Como es monótona, es decreciente o creciente:
- Si es decreciente,
lo cual es una suma telescópica que es igual a y, por lo tanto, se aproxima a . Por lo tanto, converge.
- Si es creciente,
lo que nuevamente es una suma telescópica que es igual a y, por lo tanto, se aproxima a . Por lo tanto, nuevamente, converge.
Por lo tanto, la serie converge, según la prueba de convergencia absoluta . Por lo tanto, converge.
Aplicaciones
Un caso particular de la prueba de Dirichlet es la prueba de series alternadas, más comúnmente utilizada para el caso
Otro corolario es que converge siempre que es una sucesión decreciente que tiende a cero. Para ver que
está acotada, podemos utilizar la fórmula de suma [2]
Integrales impropias
Se demuestra una afirmación análoga para la convergencia de integrales impropias utilizando la integración por partes . Si la integral de una función f está uniformemente acotada en todos los intervalos y g es una función monótonamente decreciente no negativa , entonces la integral de fg es una integral impropia convergente.
Notas
- ^ Demostración de un teoría de Abel. Journal de mathématiques pures et appliquées 2.ª serie, tomo 7 (1862), págs. 253–255 Archivado el 21 de julio de 2011 en Wayback Machine . Véase también [1].
- ^ "¿De dónde viene la fórmula de la suma de $\sin(n)$?".
Referencias
- Hardy, GH, Un curso de matemáticas puras , Novena edición, Cambridge University Press, 1946. (págs. 379–380).
- Voxman, William L., Cálculo avanzado: una introducción al análisis moderno , Marcel Dekker, Inc., Nueva York, 1981. (§8.B.13–15) ISBN 0-8247-6949-X .
Enlaces externos