Prueba de series alternas

Método utilizado para demostrar que una serie alterna es convergente.

En análisis matemático , la prueba de series alternas es el método utilizado para demostrar que una serie alterna es convergente cuando sus términos (1) disminuyen en valor absoluto y (2) se aproximan a cero en el límite. La prueba fue utilizada por Gottfried Leibniz y a veces se la conoce como prueba de Leibniz , regla de Leibniz o criterio de Leibniz . La prueba sólo es suficiente, no necesaria, por lo que algunas series alternas convergentes pueden no pasar la primera parte de la prueba.

Declaración formal

Prueba de series alternas

Una serie de la forma en la que todos an _son positivos o todos _an son negativos se llama serie alterna . $\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\cdots \!$

La prueba de series alternas garantiza que una serie alterna converge si se cumplen las dos condiciones siguientes:

1. ${\displaystyle |a_{n}|}$disminuye monótonamente ^[a] , es decir, , y ${\displaystyle |a_{n+1}|\leq |a_{n}|}$
2. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$

Teorema de estimación de series alternas

Además, si L denota la suma de la serie, entonces la suma parcial se aproxima a L con el error limitado por el siguiente término omitido: $S_{k}=\sum _{n=0}^{k}(-1)^{n}a_{n}\!$ $\left|S_{k}-L\right\vert \leq \left|S_{k}-S_{k+1}\right\vert =a_{k+1}.\!$

Prueba

Supongamos que se nos da una serie de la forma , donde y para todos los números naturales n . (El caso sigue tomando la negativa.) ^[2] ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}\!}$ ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0}$ ${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!}$

Prueba de la prueba de series alternas.

Demostraremos que tanto las sumas parciales con número impar de términos, como con número par de términos, convergen al mismo número L . Por tanto, la suma parcial habitual también converge a L . ${\displaystyle S_{2m+1}=\sum _{n=1}^{2m+1}(-1)^{n-1}a_{n}}$ ${\displaystyle S_{2m}=\sum _{n=1}^{2m}(-1)^{n-1}a_{n}}$ ${\displaystyle S_{k}=\sum _{n=1}^{k}(-1)^{n-1}a_{n}}$

Las sumas parciales impares disminuyen monótonamente: mientras que las sumas parciales pares aumentan monótonamente: ambas porque an disminuye monótonamente con _n . $S_{2(m+1)+1}=S_{2m+1}-a_{2m+2}+a_{2m+3}\leq S_{2m+1}$ $S_{2(m+1)}=S_{2m}+a_{2m+1}-a_{2m+2}\geq S_{2m}$

Además, dado que _an son positivos, . Así, podemos recopilar estos hechos para formar la siguiente desigualdad sugerente: ${\displaystyle S_{2m+1}-S_{2m}=a_{2m+1}\geq 0}$ $a_{1}-a_{2}=S_{2}\leq S_{2m}\leq S_{2m+1}\leq S_{1}=a_{1}.$

Ahora, observe que a ₁ − a ₂ es un límite inferior de la secuencia monótonamente decreciente S _2m+1 , el teorema de convergencia monótona implica entonces que esta secuencia converge cuando m tiende a infinito. De manera similar, la secuencia de sumas incluso parciales también converge.

Finalmente, deben converger al mismo número porque $\lim _{m\to \infty }(S_{2m+1}-S_{2m})=\lim _{m\to \infty }a_{2m+1}=0.$

Llame al límite L , entonces el teorema de convergencia monótona también nos brinda información adicional para cualquier m . Esto significa que las sumas parciales de una serie alterna también "se alternan" por encima y por debajo del límite final. Más precisamente, cuando hay un número impar (par) de términos, es decir, el último término es un término más (menos), entonces la suma parcial está por encima (por debajo) del límite final. $S_{2m}\leq L\leq S_{2m+1}$

Esta comprensión conduce inmediatamente a un límite de error de sumas parciales, como se muestra a continuación.

Prueba del teorema de estimación de series alternas

Nos gustaría mostrarlo dividiéndolo en dos casos. ${\displaystyle \left|S_{k}-L\right|\leq a_{k+1}\!}$

Cuando k = 2 m +1, es decir, impar, entonces $\left|S_{2m+1}-L\right|=S_{2m+1}-L\leq S_{2m+1}-S_{2m+2}=a_{(2m+1)+1}$

Cuando k = 2 m , es decir, par, entonces como se desee. $\left|S_{2m}-L\right|=L-S_{2m}\leq S_{2m+1}-S_{2m}=a_{2m+1}$

Ambos casos se basan esencialmente en la última desigualdad derivada de la prueba anterior.

Para obtener una prueba alternativa utilizando la prueba de convergencia de Cauchy , consulte Series alternas .

Para una generalización, consulte la prueba de Dirichlet .

Ejemplos

Un ejemplo típico

La serie armónica alterna

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots }$$

Se necesita un ejemplo para mostrar la monotonía.

Todas las condiciones de la prueba, es decir, la convergencia a cero y la monotonicidad, deben cumplirse para que la conclusión sea verdadera. Por ejemplo, tomemos la serie Los signos se alternan y los términos tienden a cero. Sin embargo, la monotonicidad no está presente y no podemos aplicar la prueba. En realidad la serie es divergente. En efecto, para la suma parcial tenemos que es el doble de la suma parcial de la serie armónica, que es divergente. Por tanto, la serie original es divergente. ${\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}-{\frac {1}{{\sqrt {2}}+1}}+{\frac {1}{{\sqrt {3}}-1}}-{\frac {1}{{\sqrt {3}}+1}}+\cdots$ ${\displaystyle S_{2n}}$ ${\displaystyle S_{2n}={\frac {2}{1}}+{\frac {2}{2}}+{\frac {2}{3}}+\cdots +{\frac {2}{n-1}}}$

La prueba sólo es suficiente, no necesaria.

La monotonicidad de la prueba de Leibniz no es una condición necesaria, por lo que la prueba en sí es suficiente, pero no necesaria. (La segunda parte de la prueba es una condición necesaria de convergencia para todas las series). Ejemplos de series no monótonas que convergen son y ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}}{n+(-1)^{n}}}}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\dfrac {\cos ^{2}n}{n^{2}}}.}$

Ver también

• series alternas
• prueba de dirichlet

Notas

1. En la práctica, los primeros términos pueden aumentar. Lo importante es que para todos después de algún punto, ^[1] porque la primera cantidad finita de términos no cambiaría la convergencia/divergencia de una serie. ${\displaystyle b_{n}\geq b_{n+1}}$ ${\displaystyle n}$

Referencias

1. Dawkins, Pablo. "Cálculo II - Prueba de series alternas". Notas de matemáticas en línea de Paul . Universidad Lamar . Consultado el 1 de noviembre de 2019 .
2. La prueba sigue la idea dada por James Stewart (2012) “Calculus: Early Trascendentals, Seventh Edition”, págs. ISBN 0-538-49790-4 

• Konrad Knopp (1956) Secuencias y series infinitas , § 3.4, Publicaciones de Dover ISBN 0-486-60153-6 
• Konrad Knopp (1990) Teoría y aplicación de series infinitas , § 15, Publicaciones de Dover ISBN 0-486-66165-2 
• James Stewart , Daniel Clegg, Saleem Watson (2016) Cálculo de una sola variable: trascendentales tempranos (edición para el instructor) 9E , Cengage ISBN 978-0-357-02228-9
• ET Whittaker y GN Watson (1963) Un curso de análisis moderno , cuarta edición, §2.3, Cambridge University Press ISBN 0-521-58807-3 

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Criterio de Leibniz". MundoMatemático .
• Jeff Cruzán. "Series alternas"