Convergencia normal

En matemáticas, la convergencia normal es un tipo de convergencia para series de funciones . Al igual que la convergencia absoluta , tiene la útil propiedad de que se conserva cuando se cambia el orden de la suma.

Historia

El concepto de convergencia normal fue introducido por primera vez por René Baire en 1908 en su libro Leçons sur les théories générales de l'analyse .

Definición

Dado un conjunto S y funciones (o cualquier espacio vectorial normado ), la serie ${\displaystyle f_{n}:S\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)}$

se llama normalmente convergente si la serie de normas uniformes de los términos de la serie converge, ^[1] es decir,

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\|f_{n}\|:=\sum _{n=0}^{\infty }\sup _{x\in S}|f_{n}(x)|<\infty .}$

Distinciones

La convergencia normal implica convergencia absoluta uniforme , es decir, convergencia uniforme de la serie de funciones no negativas ; este hecho es esencialmente la prueba M de Weierstrass . Sin embargo, no deben confundirse; Para ilustrar esto, considere ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|f_{n}(x)|}$

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}1/n,&x=n,\\0,&x\neq n.\end{cases}}}$

Entonces la serie es uniformemente convergente (para cualquier ε, tome n ≥ 1/ ε ), pero la serie de normas uniformes es la serie armónica y, por tanto, diverge. Se puede hacer un ejemplo que utiliza funciones continuas reemplazando estas funciones con funciones de relieve de altura 1/ n y ancho 1 centradas en cada número natural  n . ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|f_{n}(x)|}$

Además, la convergencia normal de una serie es diferente de la convergencia de topología norma , es decir, la convergencia de la secuencia de suma parcial en la topología inducida por la norma uniforme. La convergencia normal implica convergencia norma-topología si y sólo si el espacio de funciones considerado es completo con respecto a la norma uniforme. (Lo contrario no se cumple ni siquiera para espacios funcionales completos: por ejemplo, considere la serie armónica como una secuencia de funciones constantes).

Generalizaciones

Convergencia normal local

Una serie puede denominarse "localmente normalmente convergente en X " si cada punto x en X tiene una vecindad U tal que la serie de funciones ƒ _n restringida al dominio U

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}\mid _{U}}$

es normalmente convergente, es decir, tal que

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\|f_{n}\|_{U}<\infty }$

donde la norma es el supremo sobre el dominio  U . ${\displaystyle \|\cdot \|_{U}}$

Convergencia normal compacta

Se dice que una serie es "normalmente convergente en subconjuntos compactos de X " o "compactamente normalmente convergente en X " si para cada subconjunto compacto K de X , la serie de funciones ƒ _n restringida a K

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}\mid _{K}}$

normalmente es convergente en  K .

Nota : si X es localmente compacto (incluso en el sentido más débil), la convergencia normal local y la convergencia normal compacta son equivalentes.

Propiedades

• Toda serie convergente normal es uniformemente convergente, localmente uniformemente convergente y compactamente uniformemente convergente. Esto es muy importante, ya que asegura que cualquier reordenamiento de la serie, cualquier derivada o integral de la serie y sumas y productos con otras series convergentes convergerán al valor "correcto".
• Si normalmente converge a , entonces cualquier reordenamiento de la secuencia ( ƒ ₁ , ƒ ₂ , ƒ ₃ ... ) también converge normalmente a la misma ƒ . Es decir, para cada biyección , normalmente es convergente a . ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \tau :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{\tau (n)}(x)}$ ${\displaystyle f}$

Ver también

• Modos de convergencia (índice anotado)

Referencias

1. Solomentsev, ED (2001) [1994], "Convergencia normal", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , ISBN 1402006098