Convergencia absoluta uniforme

En matemáticas , la convergencia absoluta uniforme es un tipo de convergencia para series de funciones . Al igual que la convergencia absoluta , tiene la útil propiedad de que se conserva cuando se cambia el orden de la suma.

Motivación

Una serie convergente de números a menudo se puede reordenar de tal manera que la nueva serie diverja. Sin embargo, esto no es posible para series de números no negativos, por lo que la noción de convergencia absoluta excluye este fenómeno. Cuando se trata de series de funciones uniformemente convergentes , ocurre el mismo fenómeno: la serie puede potencialmente reordenarse en una serie no uniformemente convergente, o una serie que ni siquiera converge puntualmente. Esto es imposible para series de funciones no negativas, por lo que se puede utilizar la noción de convergencia absoluta uniforme para descartar estas posibilidades.

Definición

Dado un conjunto X y funciones (o cualquier espacio vectorial normado ), la serie ${\displaystyle f_{n}:X\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)}$

se llama uniformemente absolutamente convergente si la serie de funciones no negativas

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|f_{n}(x)|}$

es uniformemente convergente. ^[1]

Distinciones

Una serie puede ser uniformemente convergente y absolutamente convergente sin ser uniformemente absolutamente convergente. Por ejemplo, si ƒ _n ( x ) = x ⁿ / n en el intervalo abierto (−1,0), entonces la serie Σ f _n ( x ) converge uniformemente al comparar las sumas parciales con las de Σ(−1) ⁿ / n , y la serie Σ| f _norte ( x )| converge absolutamente en cada punto mediante la prueba de la serie geométrica, pero Σ| f _norte ( x )| no converge uniformemente. Intuitivamente, esto se debe a que la convergencia absoluta se vuelve cada vez más lenta a medida que x se acerca a −1, donde la convergencia se mantiene pero la convergencia absoluta falla.

Generalizaciones

Si una serie de funciones es uniformemente absolutamente convergente en alguna vecindad de cada punto de un espacio topológico, es localmente uniformemente absolutamente convergente . Si una serie es uniformemente absolutamente convergente en todos los subconjuntos compactos de un espacio topológico, es compacta (uniformemente) absolutamente convergente . Si el espacio topológico es localmente compacto , estas nociones son equivalentes.

Propiedades

• Si una serie de funciones en C (o cualquier espacio de Banach ) es uniformemente absolutamente convergente, entonces es uniformemente convergente.
• La convergencia absoluta uniforme es independiente del orden de una serie. Esto se debe a que, para una serie de funciones no negativas, la convergencia uniforme es equivalente a la propiedad de que, para cualquier ε > 0, hay un número finito de términos de la serie tales que al excluir estos términos se obtiene una serie con una suma total menor que la constante función ε, y esta propiedad no se refiere al ordenamiento.

Ver también

• Modos de convergencia (índice anotado)

Referencias

1. Kiyosi Itō (1987). Diccionario enciclopédico de matemáticas, MIT Press.