Conjunto grande (combinatoria)

Conjunto de números enteros cuya suma de recíprocos diverge

En matemáticas combinatorias , un gran conjunto de números enteros positivos.

${\displaystyle S=\{s_{0},s_{1},s_{2},s_{3},\dots \}}$

es uno tal que la suma infinita de los recíprocos

${\displaystyle {\frac {1}{s_{0}}}+{\frac {1}{s_{1}}}+{\frac {1}{s_{2}}}+{\frac {1}{s_{3}}}+\cdots }$

diverge . Un conjunto pequeño es cualquier subconjunto de los números enteros positivos que no es grande; es decir, aquel cuya suma de recíprocos converge.

Los conjuntos grandes aparecen en el teorema de Müntz-Szász y en la conjetura de Erdős sobre progresiones aritméticas .

Ejemplos

• Todo subconjunto finito de los números enteros positivos es pequeño.
• El conjunto de todos los números enteros positivos es un conjunto grande; esta afirmación es equivalente a la divergencia de la serie armónica . En términos más generales, cualquier progresión aritmética (es decir, un conjunto de todos los números enteros de la forma an  +  b con a  ≥ 1, b  ≥ 1 y n  = 0, 1, 2, 3, ...) es un conjunto grande. ${\displaystyle \{1,2,3,4,5,\dots \}}$
• El conjunto de los números cuadrados es pequeño (véase el problema de Basilea ). También lo es el conjunto de los números cúbicos , el conjunto de las potencias 4, etc. En términos más generales, el conjunto de valores enteros positivos de cualquier polinomio de grado 2 o mayor forma un conjunto pequeño.
• El conjunto {1, 2, 4, 8, ...} de potencias de 2 es un conjunto pequeño, y también lo es cualquier progresión geométrica (es decir, un conjunto de números de la forma ab ⁿ con a  ≥ 1, b  ≥ 2 y n  = 0, 1, 2, 3, ...).
• El conjunto de números primos es grande . El conjunto de primos gemelos es pequeño (véase la constante de Brun ).
• El conjunto de potencias primos que no son primos (es decir, todos los números de la forma p ⁿ con n  ≥ 2 y p primo) es pequeño aunque los primos sean grandes. Esta propiedad se utiliza con frecuencia en la teoría analítica de números . En términos más generales, el conjunto de potencias perfectas es pequeño; incluso el conjunto de números potentes es pequeño.
• El conjunto de números cuyas expansiones en una base dada excluyen un dígito dado es pequeño. Por ejemplo, el conjunto

${\displaystyle \{1,2,\dots ,5,6,8,9,\dots ,15,16,18,19,\dots ,65,66,68,69,80,81,\dots \}}$

de números enteros cuya expansión decimal no incluye el dígito 7 es pequeña. Tales series se denominan series de Kempner .

• Cualquier conjunto cuya densidad asintótica superior no sea cero es grande.
• El conjunto de todos los números primos en una progresión aritmética an+b donde a y b son coprimos es grande (véase el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas ).

Propiedades

• Cada subconjunto de un conjunto pequeño es pequeño.
• La unión de un número finito de conjuntos pequeños es pequeña, porque la suma de dos series convergentes es una serie convergente. (En la terminología de la teoría de conjuntos, los conjuntos pequeños forman un ideal ).
• El complemento de cada pequeño conjunto es grande.
• El teorema de Müntz-Szász establece que un conjunto es grande si y solo si el conjunto de polinomios generados por es denso en la topología de norma uniforme de funciones continuas en un intervalo cerrado en los números reales positivos. Esta es una generalización del teorema de Stone-Weierstrass . ${\displaystyle S=\{s_{1},s_{2},s_{3},\dots \}}$ $${\displaystyle \{1,x^{s_{1}},x^{s_{2}},x^{s_{3}},\dots \}}$$

Problemas abiertos que involucran conjuntos grandes

Paul Erdős conjeturó que todos los conjuntos grandes contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas . Ofreció un premio de 3000 dólares por una demostración, más que por cualquiera de sus otras conjeturas , y bromeó diciendo que esta oferta de premio violaba la ley del salario mínimo. ^[1] La cuestión sigue abierta.

No se sabe cómo identificar si un conjunto dado es grande o pequeño en general. Como resultado, hay muchos conjuntos que no se sabe si son grandes o pequeños.

Véase también

• Lista de sumas de recíprocos

Notas

1. Carl Pomerance , Paul Erdős, teórico de números extraordinario. (Parte del artículo Las matemáticas de Paul Erdős ), en Notices of the AMS , enero de 1998.

Referencias

• AD Wadhwa (1975). Una subserie interesante de la serie armónica. American Mathematical Monthly 82 (9) 931–933. JSTOR  2318503