Manera de deducir la convergencia o divergencia de una serie infinita o una integral impropia
En matemáticas , la prueba de comparación , a veces llamada prueba de comparación directa para distinguirla de pruebas relacionadas similares (especialmente la prueba de comparación de límites ), proporciona una forma de deducir la convergencia o divergencia de una serie infinita o una integral impropia . En ambos casos, la prueba funciona comparando la serie o integral dada con una cuyas propiedades de convergencia se conocen.
Para series
En cálculo , la prueba de comparación de series normalmente consiste en un par de afirmaciones sobre series infinitas con términos no negativos (de valor real ): [1]
- Si la serie infinita converge y para todos n es suficientemente grande (es decir, para todos para algún valor fijo N ), entonces la serie infinita también converge.
![{\displaystyle \sum b_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 0\leq a_ {n}\leq b_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n>N}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum a_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si la serie infinita diverge y para todos n es suficientemente grande , entonces la serie infinita también diverge.
![{\displaystyle \sum b_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle 0 \ leq b_ {n} \ leq a_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum a_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Tenga en cuenta que a veces se dice que la serie que tiene términos más grandes domina (o eventualmente domina ) la serie con términos más pequeños. [2]
Alternativamente, la prueba puede expresarse en términos de convergencia absoluta , en cuyo caso también se aplica a series con términos complejos : [3]
- Si la serie infinita es absolutamente convergente y para todos n suficientemente grande , entonces la serie infinita también es absolutamente convergente.
![{\displaystyle \sum b_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum a_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si la serie infinita no es absolutamente convergente y para todos n es suficientemente grande , entonces la serie infinita tampoco es absolutamente convergente.
![{\displaystyle \sum b_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle |b_{n}|\leq |a_{n}|}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum a_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Nótese que en esta última afirmación, la serie aún podría ser condicionalmente convergente ; para series de valor real, esto podría suceder si los an no son todos no negativos.![{\displaystyle \sum a_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El segundo par de enunciados es equivalente al primero en el caso de series con valores reales porque converge absolutamente si y sólo si , una serie con términos no negativos, converge.![{\displaystyle \sum c_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum |c_{n}|}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Prueba
Las pruebas de todas las afirmaciones dadas anteriormente son similares. Aquí hay una prueba de la tercera afirmación.
Sea y una serie infinita tal que converge absolutamente (por lo tanto converge), y sin pérdida de generalidad supongamos que para todos los números enteros positivos n . Considere las sumas parciales.![{\displaystyle \sum a_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum b_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum b_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum |b_ {n}|}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+\ldots +|a_{n}|,\ T_{n}=|b_{1}|+|b_{2} |+\ldots +|b_{n}|.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Dado que converge absolutamente, para algún número real T . Para todo n ,![{\displaystyle \sum b_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }T_{n}=T}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 0\leq S_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+\ldots +|a_{n}|\leq |a_{1}|+\ldots +|a_{n }|+|b_{n+1}|+\ldots =S_{n}+(T-T_{n})\leq T.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es una secuencia no decreciente y no creciente. Dado entonces ambos pertenecen al intervalo , cuya longitud disminuye a cero a medida que se acerca al infinito. Esto demuestra que es una secuencia de Cauchy , por lo que debe converger a un límite. Por tanto, es absolutamente convergente.![{\ Displaystyle S_ {n} + (T-T_ {n})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle m,n>N}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle S_ {n}, S_ {m}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle [S_ {N}, S_ {N} + (T-T_ {N})]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle TT_{N}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle N}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (S_{n})_{n=1,2,\ldots }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum a_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para integrales
La prueba de comparación para integrales se puede expresar de la siguiente manera, asumiendo funciones continuas de valores reales f y g con b o un número real en el que f y g tienen cada una asíntota vertical: [ 4 ]![{\displaystyle [a,b)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle +\infty}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si la integral impropia converge y para , entonces la integral impropia también converge con
![{\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 0\leq f(x)\leq g(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a\leq x<b}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \int _ {a}^{b}f(x)\,dx}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si la integral impropia diverge y para , entonces la integral impropia también diverge.
![{\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 0\leq g(x)\leq f(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a\leq x<b}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \int _ {a}^{b}f(x)\,dx}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Prueba de comparación de proporciones
Otra prueba de convergencia de series de valores reales, similar a la prueba de comparación directa anterior y a la prueba de razón , se llama prueba de comparación de razón : [5]
- Si la serie infinita converge y , y para todos los n suficientemente grandes , entonces la serie infinita también converge.
![{\displaystyle \sum b_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a_{n}>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle b_{n}>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum a_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si la serie infinita diverge y , y para todos los n suficientemente grandes , entonces la serie infinita también diverge.
![{\displaystyle \sum b_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a_{n}>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle b_{n}>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geq {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum a_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Notas
- ^ Ayres y Mendelson (1999), pág. 401.
- ^ Munem y Foulis (1984), pág. 662.
- ^ Silverman (1975), pág. 119.
- ^ Dólar (1965), pág. 140.
- ^ Dólar (1965), pág. 161.
Referencias