Método de prueba de la convergencia de una serie infinita.
En matemáticas , la prueba de comparación de límites (LCT) (en contraste con la prueba de comparación directa relacionada ) es un método para probar la convergencia de una serie infinita .
Declaración
Supongamos que tenemos dos series y con para todos . Entonces, si con , entonces ambas series convergen o ambas series divergen. [1]![{\displaystyle \Sigma _ {n}a_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Sigma _ {n}b_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a_{n}\geq 0,b_{n}>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_ {n}}{b_ {n}}}=c}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 0<c<\infty}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Prueba
Porque sabemos que para cada existe un número entero positivo tal que para todos tenemos eso , o equivalentemente![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_ {n}}{b_ {n}}}=c}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varepsilon >0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle n_ {0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle n \ geq n_ {0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c\right|<\varepsilon }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle -\varepsilon <{\frac {a_ {n}}{b_ {n}}}-c<\varepsilon }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle c-\varepsilon <{\frac {a_ {n}}{b_ {n}}}<c+\varepsilon }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (c-\varepsilon )b_{n}<a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Como podemos elegir que sea lo suficientemente pequeño como para que sea positivo. Así y por la prueba de comparación directa , si converge entonces también lo hace .![{\displaystyle c>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varepsilon }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle c-\varepsilon }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle b_{n}<{\frac {1}{c-\varepsilon }}a_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _ {n}a_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _ {n}b_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
De manera similar , si diverge, nuevamente según la prueba de comparación directa, también lo hace .![{\ Displaystyle a_ {n} <(c + \ varepsilon) b_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _ {n}a_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _ {n}b_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Es decir, ambas series convergen o ambas series divergen.
Ejemplo
Queremos determinar si la serie converge. Para ello la comparamos con la serie convergente.![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Como tenemos, la serie original también converge.![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}{\frac {n^{2}}{1}}=1>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Versión unilateral
Se puede establecer una prueba de comparación unilateral utilizando el límite superior . Vamos para todos . Entonces si con y converge, necesariamente converge.![{\displaystyle a_{n},b_{n}\geq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \limsup _ {n\to \infty }{\frac {a_ {n}}{b_ {n}}}=c}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 0\leq c<\infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Sigma _ {n}b_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Sigma _ {n}a_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ejemplo
Sea y para todos los números naturales . Ahora no existe, por lo que no podemos aplicar la prueba de comparación estándar. Sin embargo, y dado que converge, la prueba de comparación unilateral implica que converge.![{\displaystyle a_{n}={\frac {1-(-1)^{n}}{n^{2}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle b_{n}={\frac {1}{n^{2}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }(1-(-1)^{n })}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\limsup _{n\to \infty }(1-(-1)^{n })=2\en [0,\infty )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1-(-1)^{n}}{n^{2}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Inverso de la prueba de comparación unilateral
Vamos para todos . Si diverge y converge, entonces necesariamente , es decir, . El contenido esencial aquí es que, en cierto sentido, los números son mayores que los números .![{\displaystyle a_{n},b_{n}\geq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Sigma _ {n}a_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Sigma _ {n}b_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_ {n}}{b_ {n}}}=\infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \liminf _ {n\to \infty }{\frac {b_ {n}}{a_ {n}}}=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle a_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle b_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ejemplo
Seamos analíticos en el disco unitario y tengamos imagen de área finita. Según la fórmula de Parseval, el área de la imagen de es proporcional a . Además, diverge. Por lo tanto, por el recíproco de la prueba de comparación, tenemos , es decir, .![{\displaystyle f(z)=\sum _ {n=0}^{\infty }a_ {n}z^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle D=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _ {n=1}^{\infty }n|a_ {n}|^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1/n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {n|a_{n}|^{2}}{1/n}}=\liminf _{n\to \infty }(n|a_ {n}|)^{2}=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \liminf _ {n\to \infty }n|a_ {n}|=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Referencias
- ^ Swokowski, Earl (1983), Cálculo con geometría analítica (edición alternativa), Prindle, Weber & Schmidt, p. 516, ISBN 0-87150-341-7
Otras lecturas
- Rinaldo B. Schinazi: del cálculo al análisis . Springer, 2011, ISBN 9780817682897 , págs.50
- Michele Longo y Vincenzo Valori: la prueba de comparación: no solo para series no negativas . Revista de Matemáticas, vol. 79, núm. 3 (junio de 2006), págs. 205–210 (JSTOR)
- J. Marshall Ash: La prueba de comparación de límites necesita positividad . Revista de Matemáticas, vol. 85, núm. 5 (diciembre de 2012), págs. 374–375 (JSTOR)
enlaces externos
- Notas en línea de Pauls sobre la prueba de comparación