Teorema del límite uniforme

Contraejemplo de un reforzamiento del teorema del límite uniforme, en el que se supone una convergencia puntual, en lugar de una convergencia uniforme. Las funciones verdes continuas convergen a la función roja no continua. Esto sólo puede ocurrir si la convergencia no es uniforme. ${\displaystyle \scriptstyle \scriptstyle \sin ^{n}(x)}$

En matemáticas , el teorema del límite uniforme establece que el límite uniforme de cualquier secuencia de funciones continuas es continuo.

Declaración

Más precisamente, sea X un espacio topológico , sea Y un espacio métrico y sea ƒ _n  :  X  →  Y una secuencia de funciones que convergen uniformemente a una función ƒ :  X  →  Y . Según el teorema del límite uniforme, si cada una de las funciones ƒ _n es continua, entonces el límite ƒ también debe ser continuo.

Este teorema no se cumple si la convergencia uniforme se reemplaza por convergencia puntual . Por ejemplo, sea ƒ _n  : [0, 1] →  R la secuencia de funciones ƒ _n ( x ) =  x ⁿ . Entonces cada función ƒ _n es continua, pero la secuencia converge puntualmente a la función discontinua ƒ que es cero en [0, 1) pero tiene ƒ(1) = 1. Otro ejemplo se muestra en la imagen adyacente.

En términos de espacios de funciones , el teorema del límite uniforme dice que el espacio C ( X ,  Y ) de todas las funciones continuas desde un espacio topológico X hasta un espacio métrico Y es un subconjunto cerrado de Y ^X bajo la métrica uniforme . En el caso en que Y es completo , se sigue que C ( X ,  Y ) es en sí mismo un espacio métrico completo. En particular, si Y es un espacio de Banach , entonces C ( X ,  Y ) es en sí mismo un espacio de Banach bajo la norma uniforme .

El teorema del límite uniforme también se cumple si la continuidad se reemplaza por continuidad uniforme . Es decir, si X e Y son espacios métricos y ƒ _n  :  X  →  Y es una secuencia de funciones uniformemente continuas que convergen uniformemente a una función ƒ, entonces ƒ debe ser uniformemente continua.

Prueba

Para demostrar la continuidad de f , tenemos que demostrar que para cada ε > 0, existe un entorno U de cualquier punto x de X tal que:

${\displaystyle d_{Y}(f(x),f(y))<\varepsilon ,\qquad \forall y\in U}$

Consideremos un ε > 0 arbitrario . Dado que la secuencia de funciones (f _n ) converge uniformemente a f por hipótesis, existe un número natural N tal que:

${\displaystyle d_{Y}(f_{N}(t),f(t))<{\frac {\varepsilon }{3}},\qquad \forall t\in X}$

Además, como f _N es continua en X por hipótesis, para cada x existe un entorno U tal que:

${\displaystyle d_{Y}(f_{N}(x),f_{N}(y))<{\frac {\varepsilon }{3}},\qquad \forall y\in U}$

En el paso final, aplicamos la desigualdad triangular de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{Y}(f(x),f(y))&\leq d_{Y}(f(x),f_{N}(x))+d_{Y}(f_{N}(x),f_{N}(y))+d_{Y}(f_{N}(y),f(y))\\&<{\frac {\varepsilon }{3}}+{\frac {\varepsilon }{3}}+{\frac {\varepsilon }{3}}=\varepsilon ,\qquad \forall y\in U\end{aligned}}}$

Por lo tanto, hemos demostrado que la primera desigualdad de la prueba se cumple, por lo que, por definición, f es continua en todas partes en X.

Teorema del límite uniforme en el análisis complejo

También existen variantes del teorema del límite uniforme que se utilizan en el análisis complejo, aunque con supuestos modificados.

Teorema. ^[1] Sea un subconjunto abierto y conexo de los números complejos . Supóngase que es una sucesión de funciones holomorfas que converge uniformemente a una función en cada subconjunto compacto de . Entonces es holomorfa en , y además, la sucesión de derivadas converge uniformemente a en cada subconjunto compacto de . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle (f_{n})_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle f_{n}:\Omega \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle (f'_{n})_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle \Omega }$

Teorema. ^[2] Sea un subconjunto abierto y conexo de los números complejos. Supóngase que es una sucesión de funciones univalentes ^[3] que converge uniformemente a una función . Entonces es holomorfa y, además, es univalente o constante en . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle (f_{n})_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle f_{n}:\Omega \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Omega }$

Notas

1. Teoremas 5.2 y 5.3, págs. 53-54 en Análisis complejo de EM Stein y R. Shakarachi.
2. Sección 6.44, págs. 200-201 en The Theory of Functions de EC Titchmarsh. Titchmarsh utiliza los términos "simple" y "schlicht" (función) en lugar de "univalente".
3. Univalente significa holomórfico e inyectivo.

Referencias

• James Munkres (1999). Topología (2.ª ed.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.

• EM Stein, R. Shakarachi (2003). Análisis complejo (Princeton Lectures in Analysis, n.º 2) , Princeton University Press.

• EC Titchmarsh (1939). La teoría de funciones , reimpresión de 2002, Oxford Science Publications.