En matemáticas , el problema del sofá móvil o problema del sofá es una idealización bidimensional de los problemas de movimiento de muebles de la vida real y pide la forma bidimensional rígida del área más grande que se puede maniobrar a través de una región plana en forma de L con patas de ancho unitario. [1] El área así obtenida se conoce como la constante del sofá . El valor exacto de la constante del sofá es un problema abierto . La solución principal, de Joseph L. Gerver, tiene un valor de aproximadamente 2,2195 y se cree que está cerca del óptimo, según el estudio posterior y los límites teóricos.
La primera publicación formal fue realizada por el matemático austro-canadiense Leo Moser en 1966, [2] aunque había habido muchas menciones informales antes de esa fecha. [1]
Se ha trabajado para demostrar que la constante del sofá (A) no puede estar por debajo o por encima de valores específicos ( límites inferiores y límites superiores ).
Se puede demostrar un límite inferior para la constante del sofá encontrando una forma específica de un área alta y una ruta para moverla a través de la esquina. es un límite inferior obvio. Esto proviene de un sofá que es un medio disco de radio unitario, que puede deslizarse hacia arriba por un pasaje hacia la esquina, girar dentro de la esquina alrededor del centro del disco y luego deslizarse hacia afuera por el otro pasaje.
En 1968, John Hammersley estableció un límite inferior de . [3] Esto se puede lograr utilizando una forma parecida a un auricular de teléfono , que consiste en dos cuartos de disco de radio 1 a cada lado de un rectángulo de 1 por del cual se ha eliminado medio disco de radio . [4] [5]
En 1992, Joseph L. Gerver, de la Universidad Rutgers, describió un sofá con 18 secciones de curvas, cada una de las cuales adopta una forma analítica suave. Esto aumentó aún más el límite inferior de la constante del sofá a aproximadamente 2,2195 (secuencia A128463 en la OEIS ). [6] [7]
Hammersley estableció un límite superior para la constante del sofá de como máximo . [3] [1] [8] Yoav Kallus y Dan Romik publicaron un nuevo límite superior en 2018, que limita la constante del sofá a . Su enfoque implica rotar el pasillo (en lugar del sofá) a través de una secuencia finita de ángulos distintos (en lugar de hacerlo de forma continua) y usar una búsqueda por computadora para encontrar traslaciones para cada copia rotada de modo que la intersección de todas las copias tenga un componente conectado con un área lo más grande posible. Como muestran, esto proporciona un límite superior válido para el sofá óptimo, que se puede hacer más preciso usando más ángulos de rotación. Cinco ángulos de rotación cuidadosamente elegidos conducen al límite superior establecido. [9]
Una variante del problema del sofá plantea la pregunta de cuál es la forma del área más grande que puede rodear las esquinas de 90 grados, tanto izquierda como derecha, en un corredor de ancho unitario (donde las esquinas izquierda y derecha están lo suficientemente separadas como para que una se pueda sortear por completo antes de que se encuentre la otra). Dan Romik ha descrito un límite inferior de área de aproximadamente 1,64495521 . Las secciones de 18 curvas también describen su sofá. [10] [11]
