En matemáticas, particularmente en teoría del orden , un límite superior o mayor [1] de un subconjunto S de algún conjunto preordenado ( K , ≤) es un elemento de K que es mayor o igual a cada elemento de S. [2] [3] Dualmente , un límite inferior o menor de S se define como un elemento de K que es menor o igual a cada elemento de S. Se dice que un conjunto con un límite superior (respectivamente, inferior) está acotado desde arriba o mayorizado [1] (respectivamente acotado desde abajo o menorizado ) por ese límite. Los términos acotados arriba ( acotados abajo ) también se utilizan en la literatura matemática para conjuntos que tienen límites superiores (respectivamente inferiores). [4]
Por ejemplo, 5 es un límite inferior para el conjunto S = {5, 8, 42, 34, 13934} (como subconjunto de los números enteros o de los números reales , etc.), y también lo es 4 . Por otro lado, 6 no es un límite inferior para S ya que no es más pequeño que todos los elementos de S. 13934 y otros números x tales que x ≥ 13934 sería un límite superior para S .
El conjunto S = {42} tiene 42 como límite superior e inferior; todos los demás números son un límite superior o un límite inferior para ese S.
Cada subconjunto de números naturales tiene un límite inferior ya que los números naturales tienen un elemento mínimo (0 o 1, según la convención). Un subconjunto infinito de números naturales no puede estar acotado desde arriba. Un subconjunto infinito de números enteros puede estar acotado desde abajo o desde arriba, pero no ambos. Un subconjunto infinito de números racionales puede o no estar acotado desde abajo y puede o no estar acotado desde arriba.
Todo subconjunto finito de un conjunto totalmente ordenado no vacío tiene límites superior e inferior.
Las definiciones se pueden generalizar a funciones e incluso a conjuntos de funciones.
Dada una función f con dominio D y un conjunto preordenado ( K , ≤ ) como codominio , un elemento y de K es un límite superior de f si y ≥ f ( x ) para cada x en D . El límite superior se llama agudo si la igualdad se cumple para al menos un valor de x . Indica que la restricción es óptima y, por lo tanto, no se puede reducir más sin invalidar la desigualdad.
De manera similar, una función g definida en el dominio D y que tiene el mismo codominio ( K , ≤ ) es un límite superior de f , si g ( x ) ≥ f ( x ) para cada x en D . Se dice además que la función g es un límite superior de un conjunto de funciones, si es un límite superior de cada función de ese conjunto.
La noción de límite inferior para (conjuntos de) funciones se define de manera análoga, reemplazando ≥ por ≤.
Se dice que un límite superior es un límite superior estricto , un límite superior mínimo o un supremo , si ningún valor menor es un límite superior. De manera similar, se dice que un límite inferior es un límite inferior ajustado , un límite inferior máximo o un mínimo , si ningún valor mayor es un límite inferior.
Se dice que un límite superior u de un subconjunto S de un conjunto preordenado ( K , ≤) es un límite superior exacto para S si cada elemento de K que está estrictamente mayorizado por u también está mayorizado por algún elemento de S . Los límites superiores exactos de productos reducidos de órdenes lineales juegan un papel importante en la teoría PCF . [5]