Espacio en cañón

Tipo de espacio vectorial topológico

En análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , un espacio de barril (también escrito espacio de barril ) es un espacio vectorial topológico (TVS) para el cual cada conjunto de barril en el espacio es una vecindad del vector cero . Un conjunto de barriles o un barril en un espacio vectorial topológico es un conjunto convexo , equilibrado , absorbente y cerrado . Los espacios en cañón se estudian porque una forma del teorema de Banach-Steinhaus todavía se cumple para ellos. Bourbaki (1950) introdujo los espacios en cañón  .

barriles

Un subconjunto convexo y equilibrado de un espacio vectorial real o complejo se llama disco y se dice que es discoidal , absolutamente convexo o convexo equilibrado .

Abarril o unel conjunto de barriles en unespacio vectorial topológico(TVS) es un subconjunto que es undiscoabsorbentecerrado es decir, un barril es un subconjunto convexo, equilibrado, cerrado y absorbente.

Cada barril debe contener el origen. Si y si es cualquier subconjunto de entonces es un conjunto convexo, equilibrado y absorbente de si y solo si todo esto es cierto para todo subespacio vectorial dimensional , por lo tanto, si entonces el requisito de que un barril sea un subconjunto cerrado de es el único propiedad que define que no depende únicamente de subespacios vectoriales de dimensiones (o inferiores) de ${\displaystyle \dim X\geq 2}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\cap Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle Y;}$ ${\displaystyle \dim X>2}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle X.}$

Si hay algún TVS, entonces cada vecindad cerrada, convexa y equilibrada del origen es necesariamente un barril (porque cada vecindad del origen es necesariamente un subconjunto absorbente). De hecho, todo espacio vectorial topológico localmente convexo tiene una base de vecindad en su origen que consta enteramente de barriles. Sin embargo, en general, pueden existir barricas que no sean vecinas del origen; Los "espacios con barriles" son exactamente aquellos TVS en los que cada barril es necesariamente una vecindad del origen. Cada espacio vectorial topológico de dimensión finita es un espacio de barril, por lo que ejemplos de barriles que no son vecindades del origen solo se pueden encontrar en espacios de dimensión infinita. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Ejemplos de barriles y no barriles

El cierre de cualquier subconjunto convexo, equilibrado y absorbente es un barril. Esto se debe a que el cierre de cualquier subconjunto convexo (respectivamente, cualquier subconjunto equilibrado o absorbente) tiene esta misma propiedad.

Una familia de ejemplos : Supongamos que es igual a (si se considera un espacio vectorial complejo) o igual a (si se considera un espacio vectorial real). Independientemente de si se trata de un espacio vectorial real o complejo, cada barril es necesariamente una vecindad del origen (al igual que un ejemplo de espacio de barril). Sea cualquier función y para cada ángulo denotemos el segmento de recta cerrada desde el origen hasta el punto. Sea entonces siempre un subconjunto absorbente de (un espacio vectorial real) pero es un subconjunto absorbente de (un espacio vectorial complejo) si y sólo si es un barrio del origen. Además, es un subconjunto equilibrado de si y sólo si para cada (si este es el caso entonces y están completamente determinados por los valores de ) pero es un subconjunto equilibrado de si y sólo si es una bola abierta o cerrada centrada en el origen (de radio ). En particular, los barriles en son exactamente esas bolas cerradas centradas en el origen con radio en Si entonces es un subconjunto cerrado que absorbe pero no absorbe y que no es convexo, ni está equilibrado, ni es vecino del origen en Por una elección apropiada de la función también es posible que sea un subconjunto equilibrado y absorbente que no sea ni cerrado ni convexo. Para ser un subconjunto equilibrado, absorbente y cerrado de that no es convexo ni vecino del origen, defina on de la siguiente manera: for let (alternativamente, puede ser cualquier función positiva de on que sea continuamente diferenciable, lo que garantiza eso y eso es cerrado, y que también satisface lo que impide ser vecindad del origen) para luego extenderse definiendo qué garantías de que está equilibrado en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R:[0,2\pi )\to (0,\infty ]}$ ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ),}$ ${\displaystyle S_{\theta }}$ ${\displaystyle R(\theta )e^{i\theta }\in \mathbb {C} .}$ ${\textstyle S:=\bigcup _{\theta \in [0,2\pi )}S_{\theta }.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle R(\theta )=R(\pi +\theta )}$ ${\displaystyle 0\leq \theta <\pi }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle [0,\pi )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle 0<r\leq \infty }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (0,\infty ].}$ ${\displaystyle R(\theta ):=2\pi -\theta }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle [0,\pi )}$ ${\displaystyle 0\leq \theta <\pi ,}$ ${\displaystyle R(\theta ):=\pi -\theta }$ ${\displaystyle [0,\pi )}$ ${\textstyle \lim _{\theta \searrow 0}R(\theta )=R(0)>0}$ ${\displaystyle S}$ ${\textstyle \lim _{\theta \nearrow \pi }R(\theta )=0,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle [\pi ,2\pi )}$ ${\displaystyle R(\theta ):=R(\theta -\pi ),}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Propiedades de las barricas

• En cualquier espacio vectorial topológico (TVS), cada barril absorbe cada subconjunto convexo compacto de ^[1] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• En cualquier TVS de Hausdorff localmente convexo , cada barril absorbe cada subconjunto completo acotado convexo de ^[1] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• Si es localmente convexo, entonces un subconjunto de está acotado si y sólo si existe un barril tal que ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq B^{\circ }.}$
• Sea un emparejamiento y sea una topología localmente convexa consistente con la dualidad. Entonces un subconjunto de es un barril si y sólo si es el polar de algún subconjunto acotado de ^[1] ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle Y.}$
• Supongamos que es un subespacio vectorial de codimensión finita en un espacio localmente convexo y si es un barril (resp. barril bornívoro , disco bornívoro) entonces existe un barril (resp. barril bornívoro, disco bornívoro) de tal manera que ^[2] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq M.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B=C\cap M.}$

Caracterizaciones de espacios con barriles.

Denota por el espacio de mapas lineales continuos desde dentro ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Si es un espacio vectorial topológico de Hausdorff (TVS) con espacio dual continuo, entonces lo siguiente es equivalente: ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

1. ${\displaystyle X}$está en cañón.
2. Definición : Cada barriles una vecindad del origen. ${\displaystyle X}$
   • Esta definición es similar a una caracterización de los TVS de Baire probada por Saxon [1974], quien demostró que un TVS con una topología que no es la topología indiscreta es un espacio de Baire si y sólo si cada subconjunto equilibrado absorbente es una vecindad de algún punto de (no necesariamente el origen). ^[2] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$
3. Para cualquier TVS de Hausdorff, cada subconjunto acotado puntualmente de es equicontinuo. ^[3] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$
4. Para cualquier espacio F, todo subconjunto de acotado puntualmente es equicontinuo. ^[3] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$
   • Un F-space es un TVS metrizable completo .
5. Cada operador lineal cerrado desde un TVS metrizable completo es continuo. ^[4] ${\displaystyle X}$
   • Una aplicación lineal se dice cerrada si su gráfica es un subconjunto cerrado de ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle X\times Y.}$
6. Cada topología de Hausdorff TVS que tiene una base de vecindad del origen que consta de un conjunto cerrado es, por supuesto, ^[5] ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau .}$

Si es un espacio localmente convexo , esta lista puede ampliarse añadiendo: ${\displaystyle (X,\tau )}$

7. Existe un TVS que no lleva la topología indiscreta (en particular, ) tal que cada subconjunto acotado puntualmente de es equicontinuo. ^[2] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y\neq \{0\}}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$
8. Para cualquier TVS localmente convexo, cada subconjunto de acotado puntualmente es equicontinuo. ^[2] ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$
   • De las dos caracterizaciones anteriores se deduce que en la clase de TVS localmente convexos, los espacios en forma de barril son exactamente aquellos para los cuales se cumple el principio de acotación uniforme.
9. Todo subconjunto acotado del espacio dual continuo es equicontinuo (esto proporciona una inversa parcial del teorema de Banach-Steinhaus ). ^{[2] [6]} ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X}$
10. ${\displaystyle X}$lleva la fuerte topología dual ^[2] ${\displaystyle \beta \left(X,X^{\prime }\right).}$
11. Cada seminorma semicontinua inferior es continua. ^[2] ${\displaystyle X}$
12. Cada aplicación lineal en un espacio localmente convexo es casi continua. ^[2] ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$
    • Un mapa lineal se llama ${\displaystyle F:X\to Y}$casi continuo si por cada barriodel origen enel cierre dehay un barrio del origen en ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle F^{-1}(V)}$ ${\displaystyle X.}$
13. Todo mapa lineal sobreyectivo de un espacio localmente convexo es casi abierto . ^[2] ${\displaystyle F:Y\to X}$ ${\displaystyle Y}$
    • Esto significa que por cada vecindad de 0 en el cierre de hay una vecindad de 0 en ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle F(V)}$ ${\displaystyle X.}$
14. Si es una topología localmente convexa tal que tiene una base de vecindad en el origen que consta de conjuntos cerrados, entonces es más débil que ^[2] ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \tau .}$

Si es un espacio localmente convexo de Hausdorff, entonces esta lista puede ampliarse agregando: ${\displaystyle X}$

15. Teorema del grafo cerrado : Todo operador lineal cerrado en un espacio de Banach es continuo . ^[7] ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$
    • El operador lineal se llama cerrado si su gráfica es un subconjunto cerrado de ${\displaystyle X\times Y.}$
16. Para cada subconjunto del espacio dual continuo de las siguientes propiedades son equivalentes: es ^[6] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$
    1. equicontinuo;
    2. relativamente débilmente compacto;
    3. fuertemente delimitado;
    4. débilmente delimitado.
17. Las bases de vecindad 0 en y las familias fundamentales de conjuntos acotados en se corresponden entre sí por polaridad . ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}$

Si es un espacio vectorial topológico metrizable, entonces esta lista puede ampliarse agregando: ${\displaystyle X}$

18. Para cualquier TVS metrizable completo, cada secuencia delimitada puntualmente es equicontinua. ^[3] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$

Si es un espacio vectorial topológico metrizable localmente convexo , entonces esta lista puede ampliarse agregando: ${\displaystyle X}$

19. (Propiedad S ): Latopología débil* está secuencialmente completa . ^[8] ${\displaystyle X^{\prime }}$
20. (Propiedad C ): Todo subconjunto acotado débil* dees-relativamente contablemente compacto . ^[8] ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$
21. (𝜎-barriled ): Todo subconjunto acotado débil* contable dees equicontinuo. ^[8] ${\displaystyle X^{\prime }}$
22. (Tipo Baire ):no es la unión de una secuencia creciente de discos no densos . ^[8] ${\displaystyle X}$

Ejemplos y condiciones suficientes

Cada uno de los siguientes espacios vectoriales topológicos tiene un cañón:

1. TVS que son el espacio de Baire .
   • En consecuencia, todo espacio vectorial topológico que sea de segunda categoría en sí mismo está en barril.
2. Espacios F , espacios de Fréchet , espacios de Banach y espacios de Hilbert .
   • Sin embargo, existen espacios vectoriales normados que no están en barril. Por ejemplo, si el -espacio tiene una topología como un subespacio de entonces no está en barril. ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$ ${\displaystyle L^{1}([0,1]),}$
3. TVS completos pseudometrizables . ^[9]
   • En consecuencia, cada TVS de dimensión finita está disparado.
4. Espacios de Montel .
5. Fuertes espacios duales de espacios de Montel (ya que son necesariamente espacios de Montel).
6. Un espacio cuasi-barril localmente convexo que también es un espacio σ-barril . ^[10]
7. Un espacio cuasibarril secuencialmente completo .
8. "Un espacio infrabarrilado localmente convexo de Hausdorff casi completo ". ^[2]
   • Un TVS se denomina cuasicompleto si todos los subconjuntos cerrados y acotados están completos.
9. Un TVS con un subespacio vectorial denso y con forma de cañón. ^[2]
   • Así, la terminación de un espacio en forma de cañón es en forma de cañón.
10. Un TVS localmente convexo de Hausdorff con un subespacio vectorial denso infracañón . ^[2]
    • De este modo se completa la realización de un espacio localmente convexo de Hausdorff infrabarrilado. ^[2]
11. Un subespacio vectorial de un espacio en forma de barril que tiene codimensionalidad contable. ^[2]
    • En particular, un subespacio vectorial codimensional finito de un espacio en barril es en barril.
12. Un TVS ultrabarelado localmente convexo. ^[11]
13. Un TVS localmente convexo de Hausdorff tal que cada subconjunto débilmente acotado de su espacio dual continuo es equicontinuo. ^[12] ${\displaystyle X}$
14. Un TVS localmente convexo tal que para cada espacio de Banach un mapa lineal cerrado de es necesariamente continuo. ^[13] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$
15. Producto de una familia de espacios con forma de cañón. ^[14]
16. Una suma directa localmente convexa y el límite inductivo de una familia de espacios en forma de barril. ^[15]
17. Un cociente de un espacio de barril. ^{[16] [15]}
18. Un TVS de suma limitada , cuasibarril, secuencialmente completo de Hausdorff. ^[17]
19. Un espacio reflexivo de Hausdorff localmente convexo está en forma de cañón.

Ejemplos de contador

• Un espacio en barril no tiene por qué ser Montel , completo , metrizable , desordenado tipo Baire, ni el límite inductivo de los espacios de Banach.
• No todos los espacios normados tienen barriles. Sin embargo, todos están infracañón. ^[2]
• Un subespacio cerrado de un espacio con cañón no necesariamente tiene un cuasi-cañón contable (y, por lo tanto, no necesariamente tiene un cañón). ^[18]
• Existe un subespacio vectorial denso del espacio de cañón de Fréchet que no tiene cañón. ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$
• Existen TVS completos localmente convexos que no tienen cañón. ^[2]
• La mejor topología localmente convexa en un espacio vectorial de dimensión infinita es un espacio de barril de Hausdorff que es un escaso subconjunto de sí mismo (y por lo tanto no es un espacio de Baire ). ^[2]

Propiedades de los espacios en forma de cañón

Generalización de Banach-Steinhaus

La importancia de los espacios con cañón se debe principalmente a los siguientes resultados.

Teorema ^[19]  -  Sea un TVS con cañón y un TVS localmente convexo. Sea un subconjunto del espacio de aplicaciones lineales continuas desde hacia . Los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

1. ${\displaystyle H}$está limitado por la topología de la convergencia puntual;
2. ${\displaystyle H}$está acotado por la topología de convergencia acotada;
3. ${\displaystyle H}$es equicontinuo .

El teorema de Banach-Steinhaus es un corolario del resultado anterior. ^[20] Cuando el espacio vectorial consta de números complejos, entonces también se cumple la siguiente generalización. ${\displaystyle Y}$

Teorema ^[21]  :  si es un TVS en forma de barril sobre los números complejos y es un subconjunto del espacio dual continuo de , entonces lo siguiente es equivalente: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle H}$está débilmente delimitado;
2. ${\displaystyle H}$está fuertemente delimitado;
3. ${\displaystyle H}$es equicontinuo;
4. ${\displaystyle H}$es relativamente compacto en la topología dual débil.

Recuerde que una aplicación lineal se llama cerrada si su gráfica es un subconjunto cerrado de ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle X\times Y.}$

Teorema del gráfico cerrado ^[22]  :  cada operador lineal cerrado desde un TVS con cañón de Hausdorff hasta un TVS metrizable completo es continuo.

Otras propiedades

• Cada espacio con cañón de Hausdorff es cuasi-con cañón . ^[23]
• Un mapa lineal desde un espacio en forma de barril hasta un espacio localmente convexo es casi continuo.
• Un mapa lineal desde un espacio localmente convexo hasta un espacio en forma de barril es casi abierto .
• Un mapa bilineal continuo por separado de un producto de espacios en forma de barril a un espacio localmente convexo es hipocontinuo . ^[24]
• Un mapa lineal con un gráfico cerrado desde un TVS en forma de barril hasta un TVS completo es necesariamente continuo. ^[13] ${\displaystyle B_{r}}$

Ver también

• Conjunto de cañón
• Espacio contablemente en barriles
• Espacio distinguido  – TVS cuyo fuerte dual está bloqueado
• Espacio cuasibarril
• Espacio ultrabarrilado
• Principio de acotación uniforme # Generalizaciones  : un teorema que establece que la acotación puntual implica acotación uniforme
• Teorema de Ursescu  : generalización de grafo cerrado, mapeo abierto y teorema de acotación uniforme
• Espacio palmeado  : espacio donde se mantienen los teoremas de mapeo abierto y gráfico cerrado

Referencias

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2. Narici y Beckenstein 2011, págs. 371–423.
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14. Schaefer y Wolff 1999, pág. 138.
15. Schaefer y Wolff 1999, pág. 61.
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17. Adasch, Ernst y Keim 1978, pág. 77.
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20. Tréves 2006, pag. 348.
21. Tréves 2006, pag. 349.
22. Adasch, Ernst y Keim 1978, pág. 41.
23. Adasch, Ernst y Keim 1978, págs. 70–73.
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