Fuerte espacio dual

Espacio dual continuo dotado de la topología de convergencia uniforme en conjuntos acotados

En análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , el espacio dual fuerte de un espacio vectorial topológico (TVS) es el espacio dual continuo equipado con la topología fuerte ( dual ) o la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados de donde se denota esta topología. por o La topología polar más gruesa se llama topología débil . El espacio dual fuerte juega un papel tan importante en el análisis funcional moderno, que generalmente se supone que el espacio dual continuo tiene una topología dual fuerte a menos que se indique lo contrario. Para enfatizar que el espacio dual continuo tiene una topología dual fuerte o puede escribirse. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle \beta \left(X^{\prime },X\right).}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}$

Fuerte topología dual

En todo momento, se supondrá que todos los espacios vectoriales están sobre el campo de los números reales o de los números complejos. ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Definición a partir de un sistema dual

Sea un par dual de espacios vectoriales sobre el campo de números reales o números complejos. Para cualquier definición ${\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle y\in Y,}$

$${\displaystyle |y|_{B}=\sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |.}$$

Ninguno de los dos tiene una topología, por lo que se dice que un subconjunto está acotado por un subconjunto si es para todos. Entonces un subconjunto se llama acotado si y sólo si ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle C\subseteq Y}$ ${\displaystyle |y|_{B}<\infty }$ ${\displaystyle y\in C.}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$

$${\displaystyle \sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |<\infty \quad {\text{ for all }}y\in Y.}$$

subconjuntos acotadoslocalmente convexa de Hausdorff. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$

Denotemos la familia de todos los subconjuntos delimitados por elementos de ; es decir, es el conjunto de todos los subconjuntos tal que para cada ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle y\in Y,}$

$${\displaystyle |y|_{B}=\sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |<\infty .}$$

topología fuertelocalmente convexa ${\displaystyle \beta (Y,X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle b(Y,X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle \beta (Y,X)}$ ${\displaystyle b(Y,X)}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle |y|_{B}=\sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |,\qquad y\in Y,\qquad B\in {\mathcal {B}}.}$$

La definición de la topología dual fuerte se realiza ahora como en el caso de un TVS. Tenga en cuenta que si es un TVS cuyo espacio dual continuo separa el punto entonces es parte de un sistema dual canónico donde. En el caso especial de que sea un espacio localmente convexo , la topología fuerte en el espacio dual (continuo) (es decir, en el espacio de todos los funcionales lineales continuos ) se define como la topología fuerte y coincide con la topología de convergencia uniforme en conjuntos acotados , es decir, con la topología generada por las seminormas de la forma ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\prime },\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}$ ${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \beta \left(X^{\prime },X\right),}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

$${\displaystyle |f|_{B}=\sup _{x\in B}|f(x)|,\qquad {\text{ where }}f\in X^{\prime },}$$

los conjuntos acotadosespacio dual fuerte ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }.}$

Definición en un televisor

Supongamos que es un espacio vectorial topológico (TVS) sobre el campo. Sea cualquier sistema fundamental de conjuntos acotados de ; es decir, es una familia de subconjuntos acotados de tal que cada subconjunto acotado de es un subconjunto de alguno ; el conjunto de todos los subconjuntos acotados de forma un sistema fundamental de conjuntos acotados de Una base de vecindades cerradas del origen en está dada por los polares : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} .}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

$${\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{x\in B}\left|x^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}}$$

seminormas ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left|x^{\prime }\right|_{B}:=\sup _{x\in B}\left|x^{\prime }(x)\right|}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Si es normal, entonces también lo es y de hecho lo será un espacio de Banach . Si es un espacio normado con norma, entonces tiene una norma canónica (la norma del operador ) dada por ; la topología que induce esta norma es idéntica a la topología dual fuerte. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left\|x^{\prime }\right\|:=\sup _{\|x\|\leq 1}\left|x^{\prime }(x)\right|}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

bidual

El bidual o segundo dual de un TVS a menudo denotado por es el dual fuerte del dual fuerte de : ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime },}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle X^{\prime \prime }\,:=\,\left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$$

bidual fuerte ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right).}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime },}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle X^{\prime \prime }\,:=\,\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$$

${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle b\left(X^{\prime \prime },X_{b}^{\prime }\right).}$

Propiedades

Sea un TVS localmente convexo . ${\displaystyle X}$

• Un subconjunto convexo equilibrado débilmente compacto de está acotado en ^[1] ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }.}$
• Todo subconjunto de débilmente acotado está fuertemente acotado. ^[2] ${\displaystyle X^{\prime }}$
• Si es un espacio en forma de barril, entonces la topología de es idéntica a la topología dual fuerte y a la topología de Mackey en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b\left(X,X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X.}$
• Si es un espacio localmente convexo metrizable, entonces el dual fuerte de es un espacio bornológico si y solo si es un espacio infrabarrilado , si y solo si es un espacio barrilado . ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Si Hausdorff es TVS localmente convexo, entonces es metrizable si y solo si existe un conjunto contable de subconjuntos acotados de tal que cada subconjunto acotado de esté contenido en algún elemento de ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,b\left(X,X^{\prime }\right)\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
• Si es localmente convexa, entonces esta topología es más fina que todas las demás topologías cuando se consideran sólo aquellos cuyos conjuntos son subconjuntos de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X.}$
• Si es un espacio bornológico (por ejemplo, metrizable o espacio LF ), entonces está completo . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b(X^{\prime },X)}^{\prime }}$

Si es un espacio en forma de barril , entonces su topología coincide con la topología fuerte y con la topología Mackey generada por el emparejamiento. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \beta \left(X,X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\prime }\right).}$

Ejemplos

Si es un espacio vectorial normado , entonces su espacio dual (continuo) con topología fuerte coincide con el espacio dual de Banach ; es decir, con el espacio con la topología inducida por la norma del operador . Por el contrario , la topología on es idéntica a la topología inducida por la norma on ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\prime }\right).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Ver también

• Topología dual
• sistema dual
• Lista de topologías  - Lista de topologías concretas y espacios topológicos
• Topología polar  : topología de espacio dual de convergencia uniforme en alguna subcolección de subconjuntos acotados
• Espacio reflexivo  : espacio vectorial topológico localmente convexo
• Espacio semirreflexivo
• Topología fuerte
• Topologías en espacios de mapas lineales.

Referencias

1. Schaefer y Wolff 1999, pág. 141.
2. Schaefer y Wolff 1999, pág. 142.
3. Schaefer y Wolff 1999, pág. 153.
4. Narici y Beckenstein 2011, págs. 225-273.

Bibliografía

• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie Internacional en Matemática Pura y Aplicada. vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Ciencias/Ingeniería/Matemáticas . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Wang (1979). Espacios de Schwartz, espacios nucleares y productos tensoriales . Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC  5126158.