Espacio infrarrojo

En análisis funcional , una disciplina dentro de las matemáticas, se dice que un espacio vectorial topológico localmente convexo (TVS) es infrabarreled (también escrito infrabarreled ) si cada barril acotado es una vecindad del origen. ^[1]

De manera similar, los espacios cuasibarriles son espacios vectoriales topológicos (TVS) para los cuales cada conjunto de barriles bornívoros en el espacio es una vecindad del origen. Los espacios cuasibarriles se estudian porque son un debilitamiento de la condición definitoria de los espacios en forma de barril , para los cuales se cumple una forma del teorema de Banach-Steinhaus .

Definición

Un subconjunto de un espacio vectorial topológico (TVS) se llama bornívoro si absorbe todos los subconjuntos acotados de ; es decir, si para cada subconjunto acotado de existe algún escalar tal que Un conjunto de barril o un barril en un TVS es un conjunto convexo , equilibrado , absorbente y cerrado . Un espacio cuasi-barril es un TVS para el cual cada barril nacido en el espacio es un vecindario del origen. ^{[2] [3]} ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle S\subseteq rB.}$

Caracterizaciones

Si es un espacio localmente convexo de Hausdorff, entonces la inyección canónica desde su bidual es una incrustación topológica si y solo si está infrabarrilada. ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Un espacio vectorial topológico de Hausdorff es cuasibarril si y sólo si cada operador lineal cerrado acotado de un TVS metrizable completo es continuo. ^[5] Por definición, un operador lineal se llama cerrado si su gráfica es un subconjunto cerrado de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle X\times Y.}$

Para un espacio localmente convexo con dual continuo, lo siguiente es equivalente: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

1. ${\displaystyle X}$es cuasi-barril.
2. Cada seminorma semicontinua inferior acotada es continua. ${\displaystyle X}$
3. Todo subconjunto acotado del espacio dual continuo es equicontinuo. ${\displaystyle \beta (X',X)}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Si es un TVS localmente convexo metrizable, entonces lo siguiente es equivalente: ${\displaystyle X}$

1. El dual fuerte de es cuasi-barril. ${\displaystyle X}$
2. El fuerte dual de es barril. ${\displaystyle X}$
3. El fuerte dual de es bornológico . ${\displaystyle X}$

Propiedades

Cada espacio infracañón casi completo está encabritado. ^[1]

Un espacio cuasi-barril de Hausdorff localmente convexo que está secuencialmente completo está en forma de barril. ^[6]

Un espacio cuasi-barril de Hausdorff localmente convexo es un espacio de Mackey , de cuasi-barril M y de cuasibarril contable. ^[7]

Un espacio cuasi-barril localmente convexo que también es un espacio σ-barril es necesariamente un espacio barril . ^[3]

Un espacio localmente convexo es reflexivo si y sólo si es semirreflexivo y cuasibarril. ^[3]

Ejemplos

Cada espacio con barriles está infrabarrilado. ^[1] Sin embargo, un subespacio vectorial cerrado de un espacio infrabarril no es necesariamente infrabarril. ^[8]

Todo producto y suma directa localmente convexa de cualquier familia de espacios infrabarrilados es infrabarril. ^[8] Todo cociente separado de un espacio infrabarrilado es infrabarrilado. ^[8]

Cada espacio con barriles de Hausdorff y cada espacio bornológico de Hausdorff es un cuasibarril. ^[9] Por lo tanto, cada TVS metrizable es cuasi-barril.

Tenga en cuenta que existen espacios cuasi-barriles que no son ni barriles ni bornológicos. ^[3] Existen espacios de Mackey que no son cuasibarriles. ^[3] Existen espacios distinguidos , espacios DF y espacios con barriles que no son cuasibarriles. ^[3] ${\displaystyle \sigma }$

El espacio dual fuerte de un espacio de Fréchet se distingue si y sólo si es cuasibarril. ^[10] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Contraejemplos

Existe un espacio DF que no tiene cuasibarriles. ^[3]

Existe un espacio DF cuasi-barril que no es bornológico . ^[3]

Existe un espacio cuasi-barril que no es un espacio σ-barril . ^[3]

Ver también

• Espacio en barril  : tipo de espacio vectorial topológico
• Espacio reflexivo  : espacio vectorial topológico localmente convexo
• Espacio semirreflexivo

Referencias

1. Schaefer y Wolff 1999, pág. 142.
2. Jarchow 1981, pág. 222.
3. Khaleelulla 1982, págs. 28–63.
4. Narici y Beckenstein 2011, págs. 488–491.
5. Adasch, Ernst y Keim 1978, pág. 43.
6. Khaleelulla 1982, pag. 28.
7. Khaleelulla 1982, págs.35.
8. Schaefer y Wolff 1999, pág. 194.
9. Adasch, Ernst y Keim 1978, págs. 70–73.
10. Gabriyelyan, SS "Sobre espacios topológicos y grupos topológicos con ciertas redes locales contables (2014)

Bibliografía

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