Espacio DF

En el campo matemático del análisis funcional , los espacios DF , también escritos como ( DF )-espacios, son espacios vectoriales topológicos localmente convexos que tienen una propiedad compartida por los espacios vectoriales topológicos metrizables localmente convexos . Desempeñan un papel considerable en la teoría de productos tensoriales topológicos. ^[1]

Los espacios DF fueron definidos por primera vez por Alexander Grothendieck y estudiados en detalle por él en (Grothendieck 1954). Grothendieck fue llevado a introducir estos espacios por la siguiente propiedad de duales fuertes de espacios metrizables: Si es un espacio localmente convexo metrizable y es una secuencia de 0-vecindades convexas en tal que absorbe cada conjunto fuertemente acotado, entonces es una 0-vecindad en (donde es el espacio dual continuo de dotado de la topología dual fuerte). ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V_{1},V_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle V:=\cap _{i}V_{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$

Definición

Un espacio vectorial topológico localmente convexo (TVS) es un DF-espacio , también escrito ( DF )-espacio , si ^[1] ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$es un espacio cuasi-barrilado contablemente (es decir, cada unión contable fuertemente acotada de subconjuntos equicontinuos de es equicontinua), y ${\displaystyle X^{\prime }}$
2. ${\displaystyle X}$posee una secuencia fundamental de acotados (es decir, existe una secuencia contable de subconjuntos acotados tal que cada subconjunto acotado de está contenido en algún ^[3] ). ${\displaystyle B_{1},B_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{i}}$

Propiedades

• Sea un DF-espacio y sea un subconjunto convexo equilibrado de Entonces es un vecindario del origen si y solo si para cada subconjunto convexo, equilibrado y acotado es un vecindario del origen en ^[1] En consecuencia, una función lineal de un DF-espacio en un espacio localmente convexo es continua si su restricción a cada subconjunto acotado del dominio es continua. ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B\subseteq X,}$ ${\displaystyle B\cap V}$ ${\displaystyle B.}$
• El espacio dual fuerte de un espacio DF es un espacio de Fréchet . ^[4]
• Todo espacio DF de Montel de dimensión infinita es un espacio secuencial pero no un espacio de Fréchet-Urysohn .
• Supongamos que es un espacio DF o un espacio LM . Si es un espacio secuencial , entonces es metrizable o un espacio DF de Montel . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Todo espacio DF cuasicompleto es completo. ^[5]
• Si es un DF-espacio nuclear completo entonces es un espacio de Montel . ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Condiciones suficientes

El espacio dual fuerte de un espacio de Fréchet es un espacio DF. ^[7] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$

• El dual fuerte de un espacio localmente convexo metrizable es un DF-espacio ^[8] pero la recíproca no es cierta en general ^[8] (la recíproca es la afirmación de que todo DF-espacio es el dual fuerte de algún espacio localmente convexo metrizable). De esto se sigue:
  • Todo espacio normado es un espacio DF. ^[9]
  • Todo espacio de Banach es un espacio DF. ^[1]
  • Todo espacio infrabarrilado que posee una secuencia fundamental de conjuntos acotados es un espacio DF.
• Todo cociente de Hausdorff de un DF-espacio es un DF-espacio. ^[10]
• La finalización de un espacio DF es un espacio DF. ^[10]
• La suma localmente convexa de una secuencia de DF-espacios es un DF-espacio. ^[10]
• Un límite inductivo de una secuencia de DF-espacios es un DF-espacio. ^[10]
• Supóngase que y son espacios DF. Entonces el producto tensorial proyectivo , así como su completitud, de estos espacios es un espacio DF. ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Sin embargo,

• Un producto infinito de espacios DF no triviales (es decir, todos los factores tienen dimensión distinta de cero) no es un espacio DF. ^[10]
• Un subespacio vectorial cerrado de un DF-espacio no es necesariamente un DF-espacio. ^[10]
• Existen espacios DF completos que no son TVS-isomorfos al dual fuerte de un TVS localmente convexo metrizable. ^[10]

Ejemplos

Existen DF-espacios completos que no son TVS-isomorfos con el dual fuerte de un espacio localmente convexo metrizable. ^[10] Existen DF-espacios que tienen subespacios vectoriales cerrados que no son DF-espacios. ^[11]

Véase también

• Espacio en barril  : tipo de espacio vectorial topológicoPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Espacio cuasi-barrilado contablemente
• Espacio F  : espacio vectorial topológico con una métrica completamente invariante a la traslación
• Espacio LB
• Espacio LF  – Espacio vectorial topológico
• Espacio nuclear  : una generalización de los espacios euclidianos de dimensión finita diferentes de los espacios de Hilbert
• Producto tensorial proyectivo  : producto tensorial definido en dos espacios vectoriales topológicosPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa

Citas

1. Schaefer y Wolff 1999, págs. 154-155.
2. Schaefer y Wolff 1999, págs. 152, 154.
3. Schaefer y Wolff 1999, pág. 25.
4. Schaefer y Wolff 1999, pág. 196.
5. Schaefer y Wolff 1999, págs. 190-202.
6. Schaefer & Wolff 1999, págs. 199–202.
7. Gabriyelyan, SS "Sobre espacios topológicos y grupos topológicos con ciertas redes contables locales (2014)
8. Schaefer & Wolff 1999, pág. 154.
9. Khaleelulla 1982, pág. 33.
10. Schaefer y Wolff 1999, págs. 196-197.
11. Khaleelulla 1982, págs. 103-110.

Bibliografía

• Grothendieck, Alexander (1954). "Sur les espaces (F) et (DF)". Summa Brasil. Math. (en francés). 3 : 57–123. MR  0075542.
• Grothendieck, Alexander (1955). "Productos tensoriales topológicos y espacios nucleares". Memorias de la serie American Mathematical Society (en francés). 16 . Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1216-7. Sr.  0075539. OCLC  1315788.
• Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 936. Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-11565-6.OCLC 8588370  .
• Pietsch, Albrecht (1979). Espacios nucleares localmente convexos . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. vol. 66 (Segunda ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-05644-9.OCLC 539541  .
• Pietsch, Albrecht (1972). Espacios nucleares localmente convexos . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0.OCLC 539541  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Wong, Yau-Chuen (1979). Espacios de Schwartz, espacios nucleares y productos tensoriales . Apuntes de clase de matemáticas . Vol. 726. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-09513-2.OCLC 5126158  .

Enlaces externos

• Espacio DF en ncatlab