Espacio F

Espacio vectorial topológico con una métrica invariante de traducción completa

En análisis funcional , un espacio F es un espacio vectorial sobre números reales o complejos junto con una métrica tal que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }$

1. La multiplicación escalar en es continua con respecto a y la métrica estándar en o ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$
2. La adición es continua con respecto a ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d.}$
3. La métrica es invariante a la traducción ; es decir, para todos ${\displaystyle d(x+a,y+a)=d(x,y)}$ ${\displaystyle x,y,a\in X.}$
4. El espacio métrico está completo . ${\displaystyle (X,d)}$

La operación se denomina norma F , aunque en general no es necesario que una norma F sea homogénea. Por invariancia de traducción , la métrica se puede recuperar de la norma F. Por tanto, un espacio F real o complejo es equivalente a un espacio vectorial real o complejo equipado con una norma F completa. ${\displaystyle x\mapsto \|x\|:=d(0,x)}$

Algunos autores utilizan el término espacio de Fréchet en lugar de espacio F , pero normalmente el término "espacio de Fréchet" se reserva para espacios F localmente convexos . Algunos otros autores utilizan el término "espacio F" como sinónimo de "espacio de Fréchet", con lo que se refieren a un espacio vectorial topológico metrizable completo localmente convexo . La métrica puede o no necesariamente ser parte de la estructura en un espacio F; muchos autores sólo exigen que dicho espacio sea metrizable de manera que satisfaga las propiedades anteriores.

Ejemplos

Todos los espacios de Banach y los espacios de Fréchet son espacios F. En particular, un espacio de Banach es un espacio F con un requisito adicional de que ^[1] ${\displaystyle d(ax,0)=|a|d(x,0).}$

Los espacios L p se pueden convertir en espacios F para todos y se pueden convertir en espacios localmente convexos y, por lo tanto, en espacios de Fréchet e incluso en espacios de Banach. ${\displaystyle p\geq 0}$ ${\displaystyle p\geq 1}$

Ejemplo 1

${\displaystyle L^{\frac {1}{2}}[0,\,1]}$es un espacio F. No admite seminormas continuas ni funcionales lineales continuos: tiene un espacio dual trivial .

Ejemplo 2

Sea el espacio de todas las series de Taylor con valores complejos. ${\displaystyle W_{p}(\mathbb {D} )}$

$${\displaystyle f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}}$$

${\displaystyle \mathbb {D} }$

$${\displaystyle \sum _{n}\left|a_{n}\right|^{p}<\infty }$$

norma p ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle W_{p}(\mathbb {D} )}$

$${\displaystyle \|f\|_{p}=\sum _{n}\left|a_{n}\right|^{p}\qquad (0<p<1).}$$

De hecho, es un álgebra cuasi-Banach . Además, para cualquiera con el mapa es un lineal acotado (funcional multiplicativo) en ${\displaystyle W_{p}}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle |\zeta |\leq 1}$ ${\displaystyle f\mapsto f(\zeta )}$ ${\displaystyle W_{p}(\mathbb {D} ).}$

Condiciones suficientes

Teorema ^{[2] [3]}  (Klee (1952))  -  Sea cualquier ^{[nota 1]} métrica en un espacio vectorial tal que la topología inducida por on se convierta en un espacio vectorial topológico. Si es un espacio métrico completo, entonces es un espacio vectorial topológico completo . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

Propiedades relacionadas

El teorema de mapeo abierto implica que si hay topologías que convierten a ambos en espacios vectoriales topológicos metrizables completos (por ejemplo, espacios de Banach o Fréchet ) y si una topología es más fina o más gruesa que la otra, entonces deben ser iguales (es decir, si ). ^[4] ${\displaystyle \tau {\text{ and }}\tau _{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{2}\right)}$ ${\displaystyle \tau \subseteq \tau _{2}{\text{ or }}\tau _{2}\subseteq \tau {\text{ then }}\tau =\tau _{2}}$

• Un mapa lineal casi continuo en un espacio F cuyo gráfico es cerrado es continuo. ^[5]
• Un mapa lineal casi abierto en un espacio F cuyo gráfico está cerrado es necesariamente un mapa abierto . ^[5]
• Un mapa lineal continuo casi abierto desde un espacio F es necesariamente un mapa abierto . ^[6]
• Un mapa lineal continuo casi abierto de un espacio F cuya imagen es de segunda categoría en el codominio es necesariamente un mapa abierto sobreyectivo . ^[5]

Ver también

• Espacio de Banach  : espacio vectorial normado que está completo
• Espacio en barril  : tipo de espacio vectorial topológicoPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Espacio contablemente cuasi-barril
• Espacio métrico completo  – Geometría métrica
• Espacio vectorial topológico completo  : un TVS donde los puntos que se acercan progresivamente entre sí siempre convergerán en un punto.
• Espacio DF  - clase de espacio local-convexo especialPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Espacio de Fréchet  : un espacio vectorial topológico localmente convexo que también es un espacio métrico completo
• Espacio de Hilbert  : tipo de espacio vectorial topológico
• Espacio K (análisis funcional)
• espacio LB
• Espacio LF  : espacio vectorial topológico que es un límite inductivo localmente convexo de un sistema inductivo contable de espacios de FréchetPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Espacio vectorial topológico metrizable  : un espacio vectorial topológico cuya topología puede definirse mediante una métrica.
• Espacio nuclear  : una generalización de espacios euclidianos de dimensión finita diferentes de los espacios de Hilbert
• Producto tensorial proyectivo  : producto tensorial definido en dos espacios vectoriales topológicosPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa

Referencias

1. Dunford N., Schwartz JT (1958). Operadores lineales. Parte I: teoría general. Interscience Publishers, Inc., Nueva York. pag. 59
2. Schaefer y Wolff 1999, pág. 35.
3. Klee, VL (1952). «Métricas invariantes en grupos (solución de un problema de Banach)» (PDF) . Proc. América. Matemáticas. Soc . 3 (3): 484–487. doi : 10.1090/s0002-9939-1952-0047250-4 .
4. Trèves 2006, págs. 166-173.
5. Husain y Khaleelulla 1978, pág. 14.
6. Husain y Khaleelulla 1978, pág. 15.

Notas

1. No se supone que sea invariante en la traducción.

Fuentes

• Husain, Taqdir; Khaleelulla, SM (1978). "Barrelness" en espacios vectoriales topológicos y ordenados . Apuntes de conferencias de matemáticas . vol. 692. Berlín, Nueva York, Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC  4493665.
• Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Apuntes de conferencias de matemáticas . vol. 936. Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Rudin, Walter (1966). Análisis real y complejo . McGraw-Hill. ISBN 0-07-054234-1.
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie Internacional en Matemática Pura y Aplicada. vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Ciencias/Ingeniería/Matemáticas . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Prensa académica. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.