En física y matemáticas , la simetría traslacional continua es la invariancia de un sistema de ecuaciones bajo cualquier traslación (sin rotación ). La simetría traslacional discreta es invariante bajo traducción discreta .
De manera análoga, se dice que un operador A en funciones es invariante traslacional con respecto a un operador de traducción si el resultado después de aplicar A no cambia si se traduce la función argumento. Más precisamente debe sostener que
Las leyes de la física son traslacionalmente invariantes bajo una traducción espacial si no distinguen diferentes puntos en el espacio. Según el teorema de Noether , la simetría traslacional espacial de un sistema físico es equivalente a la ley de conservación del momento .
La simetría traslacional de un objeto significa que una traducción particular no cambia el objeto. Para un objeto dado, las traslaciones a las que esto se aplica forman un grupo, el grupo de simetría del objeto o, si el objeto tiene más tipos de simetría, un subgrupo del grupo de simetría.
La invariancia traslacional implica que, al menos en una dirección, el objeto es infinito: para cualquier punto dado p , el conjunto de puntos con las mismas propiedades debido a la simetría traslacional forman el conjunto discreto infinito { p + n a | norte ∈ Z } = p + Z un . Los dominios fundamentales son, por ejemplo, H + [0, 1] a para cualquier hiperplano H para el cual a tiene una dirección independiente. Este es en 1D un segmento de recta , en 2D una franja infinita y en 3D una losa, de manera que el vector que comienza en un lado termina en el otro lado. Tenga en cuenta que no es necesario que la tira y la losa sean perpendiculares al vector, por lo tanto, pueden ser más estrechas o más delgadas que la longitud del vector.
En espacios con dimensión superior a 1, puede haber simetría de traslación múltiple. Para cada conjunto de k vectores de traducción independientes, el grupo de simetría es isomorfo con Z k . En particular, la multiplicidad puede ser igual a la dimensión. Esto implica que el objeto es infinito en todas direcciones. En este caso, el conjunto de todas las traslaciones forma una red . Diferentes bases de vectores de traslación generan la misma red si y sólo si una se transforma en la otra mediante una matriz de coeficientes enteros cuyo valor absoluto del determinante es 1. El valor absoluto del determinante de la matriz formada por un conjunto de Los vectores de traducción son el hipervolumen del paralelepípedo n -dimensional que subtiende el conjunto (también llamado covolumen de la red). Este paralelepípedo es una región fundamental de la simetría: cualquier patrón sobre o dentro de él es posible, y esto define todo el objeto. Véase también celosía (grupo) .
Por ejemplo, en 2D, en lugar de a y b también podemos tomar a y a − b , etc. En general, en 2D, podemos tomar p a + q b y r a + s b para números enteros p , q , r y s. tal que ps − qr es 1 o −1. Esto asegura que a y b sean combinaciones lineales enteras de los otros dos vectores. De lo contrario, no todas las traducciones son posibles con el otro par. Cada par a , b define un paralelogramo, todos con la misma área, la magnitud del producto vectorial . Un paralelogramo define completamente todo el objeto. Sin más simetría, este paralelogramo es un dominio fundamental. Los vectores a y b se pueden representar mediante números complejos. Para dos puntos de red dados, la equivalencia de las opciones de un tercer punto para generar una forma de red está representada por el grupo modular , ver red (grupo) .
Alternativamente, por ejemplo, un rectángulo puede definir todo el objeto, incluso si los vectores de traslación no son perpendiculares, si tiene dos lados paralelos a un vector de traslación, mientras que el otro vector de traslación que comienza en un lado del rectángulo termina en el lado opuesto.
Por ejemplo, considere un mosaico con mosaicos rectangulares iguales con un patrón asimétrico, todos orientados igual, en filas, con para cada fila un desplazamiento de una fracción, no la mitad, de un mosaico, siempre igual, entonces tenemos sólo simetría traslacional, grupo de papel tapiz p 1 (lo mismo se aplica sin desplazamiento). Con simetría rotacional de orden dos del patrón en el mosaico tenemos p 2 (más simetría del patrón en el mosaico no cambia eso, debido a la disposición de los mosaicos). El rectángulo es una unidad más conveniente para considerar como dominio fundamental (o conjunto de dos de ellos) que un paralelogramo formado por parte de una baldosa y parte de otra.
En 2D puede haber simetría traslacional en una dirección para vectores de cualquier longitud. Una línea, que no está en la misma dirección, define completamente todo el objeto. De manera similar, en 3D puede haber simetría traslacional en una o dos direcciones para vectores de cualquier longitud. Un plano ( sección transversal ) o una línea, respectivamente, define completamente todo el objeto.
