Espacio Baire

Concepto en topología

En matemáticas , se dice que un espacio topológico es un espacio de Baire si las uniones numerables de conjuntos cerrados con interior vacío también tienen interior vacío. ^[1] Según el teorema de categoría de Baire , los espacios de Hausdorff compactos y los espacios métricos completos son ejemplos de espacios de Baire. El teorema de categoría de Baire combinado con las propiedades de los espacios de Baire tiene numerosas aplicaciones en topología , geometría y análisis , en particular análisis funcional . ^{[2] [3]} Para más motivación y aplicaciones, consulte el artículo Teorema de categoría de Baire . El artículo actual se centra más en caracterizaciones y propiedades básicas de los espacios de Baire per se. ${\displaystyle X}$

Bourbaki introdujo el término "espacio de Baire" ^{[4] [5]} en honor a René Baire , quien investigó el teorema de la categoría de Baire en el contexto del espacio euclidiano en su tesis de 1899. ^[6] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Definición

La definición que sigue se basa en las nociones de conjunto magro (o de primera categoría) (es decir, un conjunto que es una unión numerable de conjuntos cuyo cierre tiene el interior vacío) y conjunto no magro (o de segunda categoría) (es decir, un conjunto que no es magro). Véase el artículo correspondiente para más detalles.

Un espacio topológico se denomina espacio de Baire si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ^{[1] [7] [8]} ${\displaystyle X}$

1. Toda intersección contable de conjuntos abiertos densos es densa.
2. Toda unión contable de conjuntos cerrados con interior vacío tiene interior vacío.
3. Cada pequeño conjunto tiene su interior vacío.
4. Todo conjunto abierto no vacío es no magro. ^{[nota 1]}
5. Cada conjunto comeagre es denso.
6. Siempre que una unión contable de conjuntos cerrados tiene un punto interior, al menos uno de los conjuntos cerrados tiene un punto interior.

La equivalencia entre estas definiciones se basa en las propiedades asociadas de los subconjuntos complementarios de (es decir, de un conjunto y de su complemento ) como se indica en la siguiente tabla. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X\setminus A}$

Teorema de categorías de Baire

El teorema de la categoría de Baire proporciona condiciones suficientes para que un espacio topológico sea un espacio de Baire.

• ( BCT1 ) Todo espacio pseudométrico completo es un espacio de Baire. ^{[9] [10]} En particular, todo espacio topológico completamente metrizable es un espacio de Baire.
• ( BCT2 ) Todo espacio regular localmente compacto es un espacio de Baire. ^{[9] [11]} En particular, todo espacio de Hausdorff localmente compacto es un espacio de Baire.

BCT1 muestra que los siguientes son espacios de Baire:

• El espacio de los números reales . ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• El espacio de números irracionales , que es homeomorfo al espacio de Baire de la teoría de conjuntos ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$ .
• Cada espacio polaco .

BCT2 muestra que los siguientes son espacios de Baire:

• Todo espacio de Hausdorff compacto; por ejemplo, el conjunto de Cantor (o espacio de Cantor ).
• Toda variedad , incluso si no es paracompacta (y por lo tanto no metrizable ), como la línea larga .

Sin embargo, se debe tener en cuenta que hay muchos espacios que son espacios de Baire sin satisfacer las condiciones del teorema de categoría de Baire, como se muestra en la sección de Ejemplos a continuación.

Propiedades

• Todo espacio de Baire no vacío es no magro. En términos de intersecciones contables de conjuntos abiertos densos, ser un espacio de Baire es equivalente a que dichas intersecciones sean densas, mientras que ser un espacio no magro es equivalente a la condición más débil de que dichas intersecciones sean no vacías.
• Todo subespacio abierto de un espacio de Baire es un espacio de Baire. ^[12]
• Todo conjunto G δ denso en un espacio de Baire es un espacio de Baire. ^{[13] [14]} El resultado no tiene por qué ser válido si el conjunto G _δ no es denso. Véase la sección de Ejemplos.
• Todo conjunto comeagre en un espacio de Baire es un espacio de Baire. ^[15]
• Un subconjunto de un espacio de Baire es comeagre si y sólo si contiene un conjunto denso G _δ . ^[16]
• Un subespacio cerrado de un espacio de Baire no necesariamente debe ser Baire. Véase la sección de Ejemplos.
• Si un espacio contiene un subespacio denso que es Baire, también es un espacio de Baire. ^[17]
• Un espacio que es localmente Baire, en el sentido de que cada punto tiene un vecindario que es un espacio de Baire, es un espacio de Baire. ^{[18] [19]}
• Toda suma topológica de espacios de Baire es Baire. ^[20]
• El producto de dos espacios de Baire no es necesariamente Baire. ^{[21] [22]}
• Un producto arbitrario de espacios métricos completos es Baire. ^[23]
• Todo espacio sobrio localmente compacto es un espacio de Baire. ^[24]
• Todo espacio topológico finito es un espacio de Baire (porque un espacio finito tiene sólo un número finito de conjuntos abiertos y la intersección de dos conjuntos densos abiertos es un conjunto denso abierto ^[25] ).
• Un espacio vectorial topológico es un espacio de Baire si y sólo si es no magro, ^[26] lo que sucede si y sólo si cada subconjunto absorbente equilibrado cerrado tiene un interior no vacío. ^[27]

Dada una secuencia de funciones continuas con límite puntual Si es un espacio de Baire entonces los puntos donde no es continuo son un conjunto magro en y el conjunto de puntos donde es continuo es denso en Un caso especial de esto es el principio de acotación uniforme . ${\displaystyle f_{n}:X\to Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$

Ejemplos

• El espacio vacío es un espacio Baire. Es el único espacio que es Baire y exiguo a la vez.
• El espacio de números reales con la topología habitual es un espacio de Baire. ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• El espacio de números racionales (con la topología inducida a partir de ) no es un espacio de Baire, ya que es exiguo. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• El espacio de números irracionales (con la topología inducida a partir de ) es un espacio de Baire, ya que es equivalente en ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• El espacio (con la topología inducida a partir de ) es no magro, pero no de Baire. Hay varias maneras de ver que no es Baire: por ejemplo, porque el subconjunto es comeagre pero no denso; o porque el subconjunto no vacío es abierto y magro. ${\displaystyle X=[0,1]\cup ([2,3]\cap \mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [2,3]\cap \mathbb {Q} }$
• De la misma manera, el espacio no es Baire. No es magro porque es un punto aislado. ${\displaystyle X=\{1\}\cup ([2,3]\cap \mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle 1}$

Los siguientes son ejemplos de espacios de Baire para los cuales no se aplica el teorema de categoría de Baire, porque estos espacios no son localmente compactos ni completamente metrizables:

• La línea Sorgenfrey . ^[28]
• El avión de Sorgenfrey . ^[29]
• El avión de Niemytzki . ^[29]
• El subespacio de que consiste en el semiplano superior abierto junto con los racionales en el eje x , es decir, es un espacio de Baire, ^[30] porque el semiplano superior abierto es denso en y completamente metrizable, por lo tanto Baire. El espacio no es localmente compacto ni completamente metrizable. El conjunto es cerrado en , pero no es un espacio de Baire. Dado que en un espacio métrico los conjuntos cerrados son G δ conjuntos , esto también muestra que en general los G _δ conjuntos en un espacio de Baire no necesitan ser Baire. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle X=(\mathbb {R} \times (0,\infty ))\cup (\mathbb {Q} \times \{0\}),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \times \{0\}}$ ${\displaystyle X}$

Las variedades algebraicas con topología de Zariski son los espacios de Baire. Un ejemplo es el espacio afín que consiste en el conjunto de n -tuplas de números complejos, junto con la topología cuyos conjuntos cerrados son los conjuntos nulos de polinomios. ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle f\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}].}$

Véase también

• Juego de Banach-Mazur
• Espacio en barril  : tipo de espacio vectorial topológico
• Teorema de Blumberg  : Cualquier función real en R admite una restricción continua en un subconjunto denso de R
• Juego de choquet
• Propiedad de Baire  – Diferencia de un conjunto abierto por un conjunto magro
• Espacio en red  : espacio donde se cumplen los teoremas de mapeo abierto y grafos cerrados

Notas

1. Como se explica en el artículo sobre el conjunto exiguo , para un conjunto abierto, ser no exiguo en todo el espacio es equivalente a ser no exiguo en sí mismo.

1. Munkres 2000, pág. 295.
2. "Tu aplicación favorita del teorema de categorías de Baire". Mathematics Stack Exchange .
3. "Aplicaciones clásicas del teorema de categorías de Baire". MathOverflow .
4. Engelking 1989, Notas históricas, pág. 199.
5. Bourbaki 1989, pág. 192.
6. Baire, R. (1899). "Sobre las funciones de variables reales". Annali di Matematica Pura ed Applicata . 3 : 1–123.
7. Haworth y McCoy 1977, pág. 11.
8. Narici y Beckenstein 2011, págs. 390–391.
9. Kelley 1975, Teorema 34, pág. 200.
10. Schechter 1996, Teorema 20.16, pág. 537.
11. Schechter 1996, Teorema 20.18, pág. 538.
12. Haworth y McCoy 1977, Proposición 1.14.
13. Haworth y McCoy 1977, Proposición 1.23.
14. Ma, Dan (3 de junio de 2012). "Una pregunta sobre los números racionales". Blog de topología de Dan Ma .Teorema 3
15. Haworth y McCoy 1977, Proposición 1.16.
16. Haworth y McCoy 1977, Proposición 1.17.
17. Haworth y McCoy 1977, Teorema 1.15.
18. Narici y Beckenstein 2011, Teorema 11.6.7, p. 391.
19. Haworth y McCoy 1977, Corolario 1.22.
20. Haworth y McCoy 1977, Proposición 1.20.
21. Oxtoby, J. (1961). «Productos cartesianos de los espacios de Baire» (PDF) . Fundamentos Mathematicae . 49 (2): 157–166. doi :10.4064/fm-49-2-157-166.
22. Fleissner, W.; Kunen, K. (1978). «Espacios de Apenas Baire» (PDF) . Fundamentos Mathematicae . 101 (3): 229–240. doi :10.4064/fm-101-3-229-240.
23. Bourbaki 1989, Ejercicio 17, p. 254.
24. Gierz et al. 2003, Corolario I-3.40.9, pág. 114.
25. "La intersección de dos conjuntos densos abiertos es densa". Intercambio de pila de matemáticas .
26. Narici y Beckenstein 2011, Teorema 11.8.6, p. 396.
27. Wilansky 2013, pág. 60.
28. "La línea de Sorgenfrey es un espacio de Baire". Mathematics Stack Exchange .
29. "El plano de Sorgenfrey y el plano de Niemytzki son espacios de Baire". Mathematics Stack Exchange .
30. "Ejemplo de un espacio métrico de Baire que no es completamente metrizable". Mathematics Stack Exchange .

Referencias

• Bourbaki, Nicolás (1989) [1967]. Topología general 2: Capítulos 5 a 10 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . vol. 4. Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4.OCLC 246032063  .
• Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3-88538-006-4.
• Gierz, G.; Hofmann, K. H.; Keimel, K.; Lawson, J. D.; Mislove, M. W.; Scott, DS (2003). Redes y dominios continuos . Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones. Vol. 93. Cambridge University Press. ISBN 978-0521803380.
• Haworth, RC; McCoy, RA (1977), Baire Spaces, Warszawa: Instytut Matematyczny Polskiej Akademi Nauk
• Kelley, John L. (1975). Topología general . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 27. Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1.OCLC 338047  .
• Munkres, James R. (2000). Topología . Prentice-Hall . ISBN 0-13-181629-2.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4.OCLC 175294365  .
• Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4.OCLC 849801114  .

Enlaces externos

• Artículo de la Enciclopedia de Matemáticas sobre el espacio de Baire
• Artículo de la Enciclopedia de Matemáticas sobre el teorema de Baire