Propiedad de Baire

Diferencia de un conjunto abierto por un conjunto exiguo

Un subconjunto de un espacio topológico tiene la propiedad de Baire ( propiedad de Baire , llamada así por René-Louis Baire ), o se denomina conjunto casi abierto , si se diferencia de un conjunto abierto en un conjunto exiguo ; es decir, si existe un conjunto abierto tal que sea exiguo (donde denota la diferencia simétrica ). ^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle A\bigtriangleup U}$ ${\displaystyle \bigtriangleup }$

Definiciones

Un subconjunto de un espacio topológico se llama casi abierto y se dice que tiene la propiedad de Baire o la propiedad de Baire si existe un conjunto abierto tal que sea un subconjunto exiguo , donde denota la diferencia simétrica . ^[1] Además, tiene la propiedad de Baire en sentido restringido si para cada subconjunto de la intersección tiene la propiedad de Baire relativa a . ^[2] ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle A\bigtriangleup U}$ ${\displaystyle \bigtriangleup }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\cap E}$ ${\displaystyle E}$

Propiedades

La familia de conjuntos con propiedad de Baire forma una σ-álgebra . Es decir, el complemento de un conjunto casi abierto es casi abierto, y cualquier unión o intersección contable de conjuntos casi abiertos es nuevamente casi abierta. ^[1] Dado que cada conjunto abierto es casi abierto (el conjunto vacío es escaso), se deduce que cada conjunto de Borel es casi abierto.

Si un subconjunto de un espacio polaco tiene la propiedad de Baire, entonces se determina su correspondiente juego Banach-Mazur . Lo contrario no se cumple; sin embargo, si se determina cada juego en una determinada clase de puntos adecuada , entonces cada conjunto tiene la propiedad de Baire. Por lo tanto, de la determinación proyectiva , que a su vez se sigue de cardinales suficientemente grandes , se deduce que todo conjunto proyectivo (en un espacio polaco) tiene la propiedad de Baire. ^[3] ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Del axioma de elección se deduce que existen conjuntos de reales sin la propiedad de Baire. En particular, el conjunto de Vitali no cuenta con la propiedad de Baire. ^[4] Las versiones de elección ya más débiles son suficientes: el teorema booleano del ideal primo implica que hay un ultrafiltro no principal en el conjunto de los números naturales ; cada uno de estos ultrafiltros induce, a través de representaciones binarias de reales, un conjunto de reales sin la propiedad de Baire. ^[5]

Ver también

• Mapa casi abierto  : Mapa que satisface una condición similar a la de ser un mapa abierto.
• Teorema de la categoría de Baire  : en espacios topológicos donde la intersección de un número contable de conjuntos abiertos densos es densa
• Conjunto abierto  : subconjunto básico de un espacio topológico

Referencias

1. Oxtoby, John C. (1980), "4. La propiedad de Baire", Medida y categoría, Textos de posgrado en matemáticas, vol. 2 (2ª ed.), Springer-Verlag, págs. 19-21, ISBN 978-0-387-90508-2.
2. Kuratowski, Kazimierz (1966), Topología. vol. 1 , Prensa académica y editoriales científicas polacas.
3. Becker, Howard; Kechris, Alexander S. (1996), La teoría descriptiva de conjuntos de acciones de grupo polacas, Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society, vol. 232, Cambridge University Press, Cambridge, pág. 69, doi :10.1017/CBO9780511735264, ISBN 0-521-57605-9, señor  1425877.
4. Oxtoby (1980), pág. 22.
5. Blass, Andreas (2010), "Ultrafiltros y teoría de conjuntos", Ultrafiltros en matemáticas , Matemáticas contemporáneas, vol. 530, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense, págs. 49–71, doi :10.1090/conm/530/10440, SEÑOR  2757533. Véase en particular la pág. 64.

enlaces externos

• Artículo de la Enciclopedia Springer de Matemáticas sobre la propiedad de Baire