Cuando todos los elementos del universo , es decir, todos los elementos considerados, se consideran miembros de un conjunto dado U , el complemento absoluto de A es el conjunto de elementos de U que no están en A.
El complemento relativo de A con respecto a un conjunto B , también denominado diferencia de conjuntos de B y A , escrito es el conjunto de elementos de B que no están en A.
complemento absoluto
Definición
Si A es un conjunto, entonces el complemento absoluto de A (o simplemente el complemento de A ) es el conjunto de elementos que no están en A (dentro de un conjunto más grande que está implícitamente definido). En otras palabras, sea U un conjunto que contiene todos los elementos en estudio; si no es necesario mencionar U , ya sea porque ha sido especificado previamente, o porque es obvio y único, entonces el complemento absoluto de A es el complemento relativo de A en U : [3]
El complemento absoluto de A suele denotarse por . Otras notaciones incluyen [2] [4]
Ejemplos
Supongamos que el universo es el conjunto de los números enteros . Si A es el conjunto de los números impares, entonces el complemento de A es el conjunto de los números pares. Si B es el conjunto de múltiplos de 3, entonces el complemento de B es el conjunto de números congruentes con 1 o 2 módulo 3 (o, en términos más simples, los números enteros que no son múltiplos de 3).
Supongamos que el universo es la baraja estándar de 52 cartas . Si el conjunto A es el palo de espadas, entonces el complemento de A es la unión de los palos de tréboles, diamantes y corazones. Si el conjunto B es la unión de los palos de tréboles y diamantes, entonces el complemento de B es la unión de los palos de corazones y espadas.
Relaciones entre complementos relativos y absolutos:
Relación con una diferencia establecida:
Las dos primeras leyes del complemento anteriores muestran que si A es un subconjunto propio y no vacío de U , entonces { A , A ∁ } es una partición de U.
complemento relativo
Definición
Si A y B son conjuntos, entonces el complemento relativo de A en B , [5] también denominado diferencia de conjuntos de B y A , [6] es el conjunto de elementos en B pero no en A.
El complemento relativo de A en B se denota según la norma ISO 31-11 . A veces se escribe, pero esta notación es ambigua, ya que en algunos contextos (por ejemplo, operaciones de conjuntos de Minkowski en análisis funcional ) puede interpretarse como el conjunto de todos los elementos donde b se toma de B y a de A.
Sean A , B y C tres conjuntos. Las siguientes identidades capturan propiedades notables de complementos relativos:
con el importante caso especial que demuestra que la intersección se puede expresar usando solo la operación de complemento relativo.
Si entonces .
es equivalente a .
relación complementaria
Una relación binaria se define como un subconjunto de un producto de conjuntos La relación complementaria es el complemento de conjunto de en El complemento de la relación se puede escribir
En el lenguaje de composición tipográfica LaTeX , el comando \setminus[7] generalmente se usa para representar un símbolo de diferencia de conjunto, que es similar a un símbolo de barra invertida . Cuando se procesa, el \setminuscomando parece idéntico a \backslash, excepto que tiene un poco más de espacio delante y detrás de la barra, similar a la secuencia LaTeX \mathbin{\backslash}. Hay una variante \smallsetminusdisponible en el paquete amssymb, pero este símbolo no se incluye por separado en Unicode. El símbolo (a diferencia de ) es producido por . (Corresponde al símbolo Unicode U+2201 ∁ COMPLEMENTO .)\complement
Halmos, Paul R. (1960). Teoría de conjuntos ingenua . La Serie Universitaria en Matemáticas de Pregrado. Compañía van Nostrand. ISBN 9780442030643. Zbl 0087.04403.