Espacio F

Espacio vectorial topológico con una métrica completamente invariante en la traducción

En el análisis funcional , un F-espacio es un espacio vectorial sobre los números reales o complejos junto con una métrica tal que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }$

1. La multiplicación escalar en es continua con respecto a y la métrica estándar en o ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$
2. La adición en es continua con respecto a ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d.}$
3. La métrica es invariante a la traducción ; es decir, para todos ${\displaystyle d(x+a,y+a)=d(x,y)}$ ${\displaystyle x,y,a\in X.}$
4. El espacio métrico está completo . ${\displaystyle (X,d)}$

La operación se denomina F-norma , aunque en general no se requiere que una F-norma sea homogénea. Por invariancia de la traducción , la métrica es recuperable a partir de la F-norma. Por lo tanto, un F-espacio real o complejo es equivalentemente un espacio vectorial real o complejo equipado con una F-norma completa. ${\displaystyle x\mapsto \|x\|:=d(0,x)}$

Algunos autores utilizan el término espacio de Fréchet en lugar de espacio F , pero normalmente el término "espacio de Fréchet" se reserva para espacios F localmente convexos . Otros autores utilizan el término "espacio F" como sinónimo de "espacio de Fréchet", con lo que se refieren a un espacio vectorial topológico metrizable completo localmente convexo . La métrica puede o no ser necesariamente parte de la estructura de un espacio F; muchos autores solo requieren que dicho espacio sea metrizable de una manera que satisfaga las propiedades anteriores.

Ejemplos

Todos los espacios de Banach y espacios de Fréchet son F-espacios. En particular, un espacio de Banach es un F-espacio con un requisito adicional de que ^[1] ${\displaystyle d(ax,0)=|a|d(x,0).}$

Los espacios L p pueden convertirse en espacios F para todos y para ellos pueden convertirse en espacios localmente convexos y, por lo tanto, en espacios de Fréchet e incluso en espacios de Banach. ${\displaystyle p\geq 0}$ ${\displaystyle p\geq 1}$

Ejemplo 1

${\displaystyle L^{\frac {1}{2}}[0,\,1]}$es un F-espacio. No admite seminormas continuas ni funcionales lineales continuos: tiene un espacio dual trivial .

Ejemplo 2

Sea el espacio de todas las series de Taylor de valores complejos en el disco unitario tales que entonces para son F-espacios bajo la p-norma : ${\displaystyle W_{p}(\mathbb {D} )}$ $${\displaystyle f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}}$$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$ $${\displaystyle \sum _{n}\left|a_{n}\right|^{p}<\infty }$$ ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle W_{p}(\mathbb {D} )}$ $${\displaystyle \|f\|_{p}=\sum _{n}\left|a_{n}\right|^{p}\qquad (0<p<1).}$$

De hecho, es un álgebra cuasi-Banach . Además, para cualquier función con el mapa es una función lineal acotada (multiplicativa) en ${\displaystyle W_{p}}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle |\zeta |\leq 1}$ ${\displaystyle f\mapsto f(\zeta )}$ ${\displaystyle W_{p}(\mathbb {D} ).}$

Condiciones suficientes

Teorema ^{[2] [3]}  (Klee (1952))  —  Sea cualquier ^{[nota 1]} métrica en un espacio vectorial tal que la topología inducida por en la convierte en un espacio vectorial topológico. Si es un espacio métrico completo entonces es un espacio vectorial topológico completo . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

Propiedades relacionadas

El teorema de aplicación abierta implica que si hay topologías en que hacen que tanto y como sean espacios vectoriales topológicos metrizables completos (por ejemplo, espacios de Banach o Fréchet ) y si una topología es más fina o más gruesa que la otra, entonces deben ser iguales (es decir, si ). ^[4] ${\displaystyle \tau {\text{ and }}\tau _{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{2}\right)}$ ${\displaystyle \tau \subseteq \tau _{2}{\text{ or }}\tau _{2}\subseteq \tau {\text{ then }}\tau =\tau _{2}}$

• Una función lineal casi continua en un espacio F cuyo gráfico está cerrado es continua. ^[5]
• Una función lineal casi abierta en un espacio F cuyo gráfico está cerrado es necesariamente una función abierta . ^[5]
• Una función lineal continua casi abierta de un F-espacio es necesariamente una función abierta . ^[6]
• Una función lineal continua casi abierta de un F-espacio cuya imagen es de segunda categoría en el codominio es necesariamente una función sobreyectiva abierta . ^[5]

Véase también

• Espacio de Banach  : espacio vectorial normado que es completo
• Espacio en barril  : tipo de espacio vectorial topológicoPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Espacio cuasi-barrilado contablemente
• Espacio métrico completo  – Geometría métrica
• Espacio vectorial topológico completo  : un TVS donde los puntos que se acercan progresivamente entre sí siempre convergerán a un punto
• Espacio DF  : clase de espacio local convexo especialPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Espacio de Fréchet  : un espacio vectorial topológico localmente convexo que también es un espacio métrico completo
• Espacio de Hilbert  : tipo de espacio vectorial topológico
• Espacio K (análisis funcional)
• Espacio LB
• Espacio LF  – Espacio vectorial topológico
• Espacio vectorial topológico metrizable  : un espacio vectorial topológico cuya topología se puede definir mediante una métrica
• Espacio nuclear  : una generalización de los espacios euclidianos de dimensión finita diferentes de los espacios de Hilbert
• Producto tensorial proyectivo  : producto tensorial definido en dos espacios vectoriales topológicosPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa

Referencias

1. Dunford N., Schwartz JT (1958). Operadores lineales. Parte I: teoría general. Interscience publishers, inc., Nueva York. p. 59
2. Schaefer y Wolff 1999, pág. 35.
3. Klee, VL (1952). "Métricas invariantes en grupos (solución de un problema de Banach)" (PDF) . Proc. Amer. Math. Soc . 3 (3): 484–487. doi : 10.1090/s0002-9939-1952-0047250-4 .
4. Trèves 2006, págs. 166-173.
5. Husain y Khaleelulla 1978, pág. 14.
6. Husain y Khaleelulla 1978, pág. 15.

Notas

1. No se asume que sea invariante a la traducción.

Fuentes

• Husain, Taqdir; Khaleelulla, SM (1978). Barrelización en espacios vectoriales topológicos y ordenados . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 692. Berlín, Nueva York, Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-09096-0.OCLC 4493665  .
• Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 936. Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-11565-6.OCLC 8588370  .
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Rudin, Walter (1966). Análisis real y complejo . McGraw-Hill. ISBN 0-07-054234-1.
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4.OCLC 175294365  .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .