Espacio vectorial topológico metrizable

Un espacio vectorial topológico cuya topología puede definirse mediante una métrica

En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , un espacio vectorial topológico (TVS ) metrizable (o pseudometrizable ) es un TVS cuya topología es inducida por una métrica (o pseudométrica ). Un espacio LM es un límite inductivo de una secuencia de TVS metrizables localmente convexos .

Pseudometría y métricas

Una pseudométrica de un conjunto es una función que satisface las siguientes propiedades: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d:X\times X\rightarrow \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle d(x,x)=0{\text{ for all }}x\in X}$;
2. Simetría : ; ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x){\text{ for all }}x,y\in X}$
3. Subaditividad : ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z){\text{ for all }}x,y,z\in X.}$

Una pseudométrica se denomina métrica si satisface:

4. Identidad de indiscernibles : para todossientonces ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle d(x,y)=0}$ ${\displaystyle x=y.}$

Ultrapseudométrico

Un pseudométrico se denomina ultrapseudométrico o pseudométrico fuerte si satisface: ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$

5. Desigualdad triangular fuerte / ultramétrica : ${\displaystyle d(x,z)\leq \max\{d(x,y),d(y,z)\}{\text{ for all }}x,y,z\in X.}$

Espacio pseudométrico

Un espacio pseudométrico es un par que consiste en un conjunto y un pseudométrico en tal que la topología de es idéntica a la topología de inducida por Llamamos a un espacio pseudométrico un espacio métrico (resp. espacio ultrapseudométrico ) cuando es una métrica (resp. ultrapseudométrica). ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d.}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle d}$

Topología inducida por una pseudometría

Si es una pseudométrica en un conjunto, entonces la colección de bolas abiertas : como rangos sobre y rangos sobre los números reales positivos, forma una base para una topología que se llama la -topología o la topología pseudométrica inducida por ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle B_{r}(z):=\{x\in X:d(x,z)<r\}}$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d.}$

Convención : Si es un espacio pseudométrico y se trata como un espacio topológico , entonces, a menos que se indique lo contrario, se debe suponer que está dotado de la topología inducida por ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d.}$

Espacio pseudometrizable

Un espacio topológico se denomina pseudometrizable (resp. metrizable , ultrapseudometrizable ) si existe un pseudométrico (resp. métrico, ultrapseudométrico) en tal que es igual a la topología inducida por ^[1] ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d.}$

Pseudometría y valores en grupos topológicos

Un grupo topológico aditivo es un grupo aditivo dotado de una topología, denominada topología de grupo , bajo la cual la adición y la negación se convierten en operadores continuos.

Una topología en un espacio vectorial real o complejo se denomina topología vectorial o topología TVS si hace que las operaciones de suma vectorial y multiplicación escalar sean continuas (es decir, si la convierte en un espacio vectorial topológico ). ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Todo espacio vectorial topológico (TVS) es un grupo topológico conmutativo aditivo, pero no todas las topologías de grupo en un espacio vectorial son topologías vectoriales. Esto se debe a que, a pesar de que hace que la adición y la negación sean continuas, una topología de grupo en un espacio vectorial puede no lograr que la multiplicación escalar sea continua. Por ejemplo, la topología discreta en cualquier espacio vectorial no trivial hace que la adición y la negación sean continuas, pero no hace que la multiplicación escalar sea continua. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Pseudometría invariante de la traducción

Si es un grupo aditivo entonces decimos que un pseudométrico es invariante en cuanto a traducción o simplemente invariante si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$

1. Invariancia de traducción :; ${\displaystyle d(x+z,y+z)=d(x,y){\text{ for all }}x,y,z\in X}$
2. ${\displaystyle d(x,y)=d(x-y,0){\text{ for all }}x,y\in X.}$

Valor/G-seminorma

Si es un grupo topológico, el valor a o G-seminormal ( la G significa Grupo) es un mapa de valor real con las siguientes propiedades: ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\rightarrow \mathbb {R} }$

1. No negativo : ${\displaystyle p\geq 0.}$
2. Subaditivo : ; ${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y){\text{ for all }}x,y\in X}$
3. ${\displaystyle p(0)=0..}$
4. Simétrico : ${\displaystyle p(-x)=p(x){\text{ for all }}x\in X.}$

donde llamamos a una G-seminorma una G-norma si satisface la condición adicional:

5. Total / Definitiva positiva : Si entonces ${\displaystyle p(x)=0}$ ${\displaystyle x=0.}$

Propiedades de los valores

Si es un valor en un espacio vectorial entonces: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle |p(x)-p(y)|\leq p(x-y){\text{ for all }}x,y\in X.}$^[3]
• ${\displaystyle p(nx)\leq np(x)}$y para todos los números enteros positivos y negativos ^[4] ${\displaystyle {\frac {1}{n}}p(x)\leq p(x/n)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle n.}$
• El conjunto es un subgrupo aditivo de ^[3] ${\displaystyle \{x\in X:p(x)=0\}}$ ${\displaystyle X.}$

Equivalencia en grupos topológicos

Teorema ^[2]  —  Supóngase que es un grupo conmutativo aditivo. Si es una pseudométrica invariante de la traslación en entonces la función es un valor en llamado el valor asociado con , y además, genera una topología de grupo en (es decir, la -topología en convierte en un grupo topológico). Por el contrario, si es un valor en entonces la función es una pseudométrica invariante de la traslación en y el valor asociado con es simplemente ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p(x):=d(x,0)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d(x,y):=p(x-y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle p.}$

Grupos topológicos pseudometrizables

Teorema ^[2]  —  Si es un grupo topológico conmutativo aditivo entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle (X,\tau )}$

1. ${\displaystyle \tau }$es inducido por una pseudometría; (es decir, es pseudometrizable); ${\displaystyle (X,\tau )}$
2. ${\displaystyle \tau }$se induce mediante una pseudometría invariante a la traducción;
3. El elemento de identidad en tiene una base de vecindad contable. ${\displaystyle (X,\tau )}$

Si es Hausdorff, entonces la palabra "pseudométrico" en la afirmación anterior puede reemplazarse por la palabra "métrico". Un grupo topológico conmutativo es metrizable si y solo si es Hausdorff y pseudometrizable. ${\displaystyle (X,\tau )}$

Una pseudométrica invariante que no induce una topología vectorial

Sea un espacio vectorial real o complejo no trivial (es decir , ) y sea la métrica trivial invariante de la traducción en definida por y tal que La topología que induce en es la topología discreta , que se convierte en un grupo topológico conmutativo bajo la adición pero no forma una topología vectorial en porque está desconectada pero toda topología vectorial está conexa. Lo que falla es que la multiplicación escalar no es continua en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\neq \{0\}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d(x,x)=0}$ ${\displaystyle d(x,y)=1{\text{ for all }}x,y\in X}$ ${\displaystyle x\neq y.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

Este ejemplo muestra que una (pseudo)métrica invariante a la traducción no es suficiente para garantizar una topología vectorial, lo que nos lleva a definir paranormas y F -seminormas.

Secuencias aditivas

Una colección de subconjuntos de un espacio vectorial se denomina aditiva ^[5] si para cada uno existe alguno tal que ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}},}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle U+U\subseteq N.}$

Continuidad de la adición en 0  —  Si es un grupo (como lo son todos los espacios vectoriales), es una topología en y está dotado de la topología de producto , entonces la función de adición (es decir, la función ) es continua en el origen de si y solo si el conjunto de vecindades del origen en es aditivo. Esta afirmación sigue siendo cierta si la palabra "vecindad" se reemplaza por "vecindad abierta". ^[5] ${\displaystyle (X,+)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle X\times X\to X}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

Todas las condiciones anteriores son, en consecuencia, necesarias para que una topología forme una topología vectorial. Las sucesiones aditivas de conjuntos tienen la propiedad particularmente agradable de que definen funciones subaditivas continuas de valor real no negativas . Estas funciones pueden utilizarse para demostrar muchas de las propiedades básicas de los espacios vectoriales topológicos y también para demostrar que un TVS de Hausdorff con una base contable de vecindades es metrizable. El siguiente teorema es válido de manera más general para los grupos topológicos aditivos conmutativos .

Teorema  —  Sea una colección de subconjuntos de un espacio vectorial tales que y para todos Para todos sea ${\displaystyle U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle 0\in U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i+1}+U_{i+1}\subseteq U_{i}}$ ${\displaystyle i\geq 0.}$ ${\displaystyle u\in U_{0},}$ $${\displaystyle \mathbb {S} (u):=\left\{n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)~:~k\geq 1,n_{i}\geq 0{\text{ for all }}i,{\text{ and }}u\in U_{n_{1}}+\cdots +U_{n_{k}}\right\}.}$$

Definir por si y en caso contrario dejar ${\displaystyle f:X\to [0,1]}$ ${\displaystyle f(x)=1}$ ${\displaystyle x\not \in U_{0}}$ $${\displaystyle f(x):=\inf _{}\left\{2^{-n_{1}}+\cdots 2^{-n_{k}}~:~n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)\in \mathbb {S} (x)\right\}.}$$

Entonces es subaditivo (que significa ) y en así en particular Si todos son conjuntos simétricos entonces y si todos están equilibrados entonces para todos los escalares tales que y todos Si es un espacio vectorial topológico y si todos son vecindades del origen entonces es continuo, donde si además es Hausdorff y forma una base de vecindades equilibradas del origen en entonces es una métrica que define la topología vectorial en ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x+y)\leq f(x)+f(y){\text{ for all }}x,y\in X}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle \bigcap _{i\geq 0}U_{i},}$ ${\displaystyle f(0)=0.}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f(sx)\leq f(x)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle |s|\leq 1}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d(x,y):=f(x-y)}$ ${\displaystyle X.}$

Paranormas

Si es un espacio vectorial sobre los números reales o complejos, entonces una paranorma en es una G-seminorma (definida anteriormente) en que satisface cualquiera de las siguientes condiciones adicionales, cada una de las cuales comienza con "para todas las secuencias en y todas las secuencias convergentes de escalares ": ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$

1. Continuidad de la multiplicación : si es un escalar y son tales que y entonces ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p\left(x_{i}-x\right)\to 0}$ ${\displaystyle s_{\bullet }\to s,}$ ${\displaystyle p\left(s_{i}x_{i}-sx\right)\to 0.}$
2. Ambas condiciones:
   • si y si es tal que entonces ; ${\displaystyle s_{\bullet }\to 0}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p\left(x_{i}-x\right)\to 0}$ ${\displaystyle p\left(s_{i}x_{i}\right)\to 0}$
   • si entonces para cada escalar ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$ ${\displaystyle p\left(sx_{i}\right)\to 0}$ ${\displaystyle s.}$
3. Ambas condiciones:
   • si y para algún escalar entonces ; ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$ ${\displaystyle s_{\bullet }\to s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle p\left(s_{i}x_{i}\right)\to 0}$
   • Si entonces ${\displaystyle s_{\bullet }\to 0}$ ${\displaystyle p\left(s_{i}x\right)\to 0{\text{ for all }}x\in X.}$
4. Continuidad separada : ^[7]
   • si para algún escalar entonces para cada ; ${\displaystyle s_{\bullet }\to s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle p\left(sx_{i}-sx\right)\to 0}$ ${\displaystyle x\in X}$
   • Si es un escalar, y entonces . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p\left(x_{i}-x\right)\to 0}$ ${\displaystyle p\left(sx_{i}-sx\right)\to 0}$

Una paranorma se denomina total si además satisface:

• Total / Positivo definido : implica ${\displaystyle p(x)=0}$ ${\displaystyle x=0.}$

Propiedades de las paranormas

Si es una paranorma en un espacio vectorial entonces el mapa definido por es una pseudométrica invariante a la traducción en que define una topología vectorial en ^[8] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d:X\times X\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle d(x,y):=p(x-y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Si es una paranorma en un espacio vectorial entonces: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$

• el conjunto es un subespacio vectorial de ^[8] ${\displaystyle \{x\in X:p(x)=0\}}$ ${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle p(x+n)=p(x){\text{ for all }}x,n\in X}$con ^[8] ${\displaystyle p(n)=0.}$
• Si una paranorma satisface y escalares entonces es absolutamente homogeneidad (es decir, se cumple la igualdad) ^[8] y por lo tanto es una seminorma . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(sx)\leq |s|p(x){\text{ for all }}x\in X}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Ejemplos de paranormas

• Si es una pseudométrica invariante a la traducción en un espacio vectorial que induce una topología vectorial en (es decir, es un TVS), entonces la función define una paranorma continua en ; además, la topología que define esta paranorma en es ^[8] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle p(x):=d(x-y,0)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$
• Si es una paranorma entonces también lo es el mapa ^[8] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q(x):=p(x)/[1+p(x)].}$
• Todo múltiplo escalar positivo de una paranorma (resp. paranorma total) es a su vez dicha paranorma (resp. paranorma total).
• Cada seminorma es una paranorma. ^[8]
• La restricción de una paranorma (o paranorma total) a un subespacio vectorial es una paranorma (o paranorma total). ^[9]
• La suma de dos paranormas es una paranorma. ^[8]
• Si y son paranormas en entonces también lo es Además, y Esto convierte al conjunto de paranormas en en una red condicionalmente completa . ^[8] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (p\wedge q)(x):=\inf _{}\{p(y)+q(z):x=y+z{\text{ with }}y,z\in X\}.}$ ${\displaystyle (p\wedge q)\leq p}$ ${\displaystyle (p\wedge q)\leq q.}$ ${\displaystyle X}$
• Cada uno de los siguientes mapas de valores reales son paranormas en : ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}}$
  • ${\displaystyle (x,y)\mapsto |x|}$
  • ${\displaystyle (x,y)\mapsto |x|+|y|}$
• Los mapas de valores reales no son paranormas en ^[8] ${\displaystyle (x,y)\mapsto {\sqrt {\left|x^{2}-y^{2}\right|}}}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto \left|x^{2}-y^{2}\right|^{3/2}}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}.}$
• Si es una base de Hamel en un espacio vectorial , entonces el mapa de valor real que envía (donde todos los escalares, excepto un número finito , son 0) a es una paranorma en la que satisface para todos los escalares y ^[8] ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x=\sum _{i\in I}s_{i}x_{i}\in X}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle \sum _{i\in I}{\sqrt {\left|s_{i}\right|}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p(sx)={\sqrt {|s|}}p(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s.}$
• La función es una paranorma en que no está equilibrada pero sin embargo es equivalente a la norma usual en Nótese que la función es subaditiva. ^[10] ${\displaystyle p(x):=|\sin(\pi x)|+\min\{2,|x|\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle x\mapsto |\sin(\pi x)|}$
• Sea un espacio vectorial complejo y denote que se considera como un espacio vectorial sobre cualquier paranorma en es también una paranorma en ^[9] ${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }.}$

F-seminormas

Si es un espacio vectorial sobre números reales o complejos, entonces una F -seminorma en (que significa Fréchet ) es una función de valor real con las siguientes cuatro propiedades: ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

1. No negativo : ${\displaystyle p\geq 0.}$
2. Subaditivo : para todos ${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X}$
3. Equilibrado :paratodos los escalaresque satisfacen ${\displaystyle p(ax)\leq p(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|\leq 1;}$
   • Esta condición garantiza que cada conjunto de la forma o para algunos sea un conjunto equilibrado . ${\displaystyle \{z\in X:p(z)\leq r\}}$ ${\displaystyle \{z\in X:p(z)<r\}}$ ${\displaystyle r\geq 0}$
4. Para cada como ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p\left({\tfrac {1}{n}}x\right)\to 0}$ ${\displaystyle n\to \infty }$
   • La secuencia puede ser reemplazada por cualquier secuencia positiva que converja al cero. ^[12] ${\displaystyle \left({\tfrac {1}{n}}\right)_{n=1}^{\infty }}$

Una F -seminorma se denomina F -norma si además satisface:

5. Total / Positivo definido : implica ${\displaystyle p(x)=0}$ ${\displaystyle x=0.}$

Una F -seminorma se llama monótona si satisface:

6. Monótona : para todos los no nulos y todos los reales y tales que ^[12] ${\displaystyle p(rx)<p(sx)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s<t.}$

F-espacios seminormados

Un espacio F -seminormado (resp. espacio F -normado ) ^[12] es un par que consiste en un espacio vectorial y una F -seminormada (resp. F -norma) en ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$

Si y son espacios F -seminormados, entonces una función se denomina incrustación isométrica ^[12] si ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (Z,q)}$ ${\displaystyle f:X\to Z}$ ${\displaystyle q(f(x)-f(y))=p(x,y){\text{ for all }}x,y\in X.}$

Toda incrustación isométrica de un espacio F -seminormado en otro es una incrustación topológica , pero lo inverso no es cierto en general. ^[12]

Ejemplos deF-seminormas

• Cada múltiplo escalar positivo de una F -seminorma (resp. F -norma, seminorma) es a su vez una F -seminorma (resp. F -norma, seminorma).
• La suma de un número finito de F -seminormas (resp. F -normas) es una F -seminorma (resp. F -norma).
• Si y son F -seminormas en entonces también lo es su supremo puntual. Lo mismo es cierto para el supremo de cualquier familia finita no vacía de F -seminormas en ^[12] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\mapsto \sup\{p(x),q(x)\}.}$ ${\displaystyle X.}$
• La restricción de una F -seminorma (resp. F -norma) a un subespacio vectorial es una F -seminorma (resp. F -norma). ^[9]
• Una función de valor real no negativa en es una seminorma si y solo si es una F -seminorma convexa , o equivalentemente, si y solo si es una G -seminorma convexa balanceada. ^[10] En particular, cada seminorma es una F -seminorma. ${\displaystyle X}$
• Para cualquier mapa definido por hay una F -norma que no es una norma. ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle [f\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)]^{p}=\left|x_{1}\right|^{p}+\cdots \left|x_{n}\right|^{p}}$$
• Si es una función lineal y si es una F -seminorma en entonces es una F -seminorma en ^[12] ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle q\circ L}$ ${\displaystyle X.}$
• Sea un espacio vectorial complejo y sea denotado como un espacio vectorial sobre Cualquier F -seminorma en es también una F -seminorma en ^[9] ${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }.}$

Propiedades deF-seminormas

Toda F -seminorma es una paranorma y toda paranorma es equivalente a alguna F -seminorma. ^[7] Toda F -seminorma en un espacio vectorial es un valor en En particular, y para todos ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p(x)=0,}$ ${\displaystyle p(x)=p(-x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$

Topología inducida por un únicoF-seminorma

Teorema ^[11]  —  Sea una F -seminorma en un espacio vectorial Entonces la función definida por es una pseudométrica invariante de traslación en que define una topología vectorial en Si es una F -norma entonces es una métrica. Cuando está dotada de esta topología entonces es una función continua en ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle d(x,y):=p(x-y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$

Los conjuntos balanceados como rangos sobre los reales positivos forman una base de vecindad en el origen para esta topología que consiste en conjuntos cerrados. De manera similar, los conjuntos balanceados como rangos sobre los reales positivos forman una base de vecindad en el origen para esta topología que consiste en conjuntos abiertos. ${\displaystyle \{x\in X~:~p(x)\leq r\},}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \{x\in X~:~p(x)<r\},}$ ${\displaystyle r}$

Topología inducida por una familia deF-seminormas

Supongamos que es una colección no vacía de F -seminormas en un espacio vectorial y para cualquier subconjunto finito y cualquier let ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle r>0,}$ $${\displaystyle U_{{\mathcal {F}},r}:=\bigcap _{p\in {\mathcal {F}}}\{x\in X:p(x)<r\}.}$$

El conjunto forma una base de filtro que también forma una base de vecindad en el origen para una topología vectorial en denotada por ^[12] Cada uno es un subconjunto equilibrado y absorbente de ^[12] Estos conjuntos satisfacen ^[12] ${\displaystyle \left\{U_{{\mathcal {F}},r}~:~r>0,{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {L}},{\mathcal {F}}{\text{ finite }}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}.}$ ${\displaystyle U_{{\mathcal {F}},r}}$ ${\displaystyle X.}$ $${\displaystyle U_{{\mathcal {F}},r/2}+U_{{\mathcal {F}},r/2}\subseteq U_{{\mathcal {F}},r}.}$$

• ${\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}}$es la topología vectorial más burda al hacer cada una continua. ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\in {\mathcal {L}}}$
• ${\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}}$es Hausdorff si y sólo si para cada valor distinto de cero existe alguno tal que ^[12] ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p\in {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle p(x)>0.}$
• Si es el conjunto de todas las F -seminormas continuas en entonces ^[12] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\mathcal {L}}\right)}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}=\tau _{\mathcal {F}}.}$
• Si es el conjunto de todos los supremas puntuales de los subconjuntos finitos no vacíos de de entonces es una familia dirigida de F -seminórmas y ^[12] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}=\tau _{\mathcal {F}}.}$

Combinación de Fréchet

Supongamos que es una familia de funciones subaditivas no negativas en un espacio vectorial ${\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X.}$

La combinación de Fréchet ^[8] de se define como el mapa de valor real ${\displaystyle p_{\bullet }}$ $${\displaystyle p(x):=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {p_{i}(x)}{2^{i}\left[1+p_{i}(x)\right]}}.}$$

Como unF-seminorma

Supongamos que es una secuencia creciente de seminormas en y sea la combinación de Fréchet de Entonces es una F -seminorma en que induce la misma topología localmente convexa que la familia de seminormas. ^[13] ${\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p_{\bullet }.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{\bullet }}$

Como es creciente, una base de vecindades abiertas del origen consiste en todos los conjuntos de la forma como rangos sobre todos los números enteros positivos y rangos sobre todos los números reales positivos. ${\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left\{x\in X~:~p_{i}(x)<r\right\}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle r>0}$

La pseudometría invariante de la traducción inducida por esta F -seminorma es ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {p_{i}(x-y)}{1+p_{i}(x-y)}}.}$$

Esta métrica fue descubierta por Fréchet en su tesis de 1906 para los espacios de sucesiones reales y complejas con operaciones puntuales. ^[14]

Como una paranorma

Si cada una es una paranorma, entonces también lo es y, además, induce la misma topología en que la familia de paranormas. ^[8] Esto también es cierto para las siguientes paranormas en : ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle q(x):=\inf _{}\left\{\sum _{i=1}^{n}p_{i}(x)+{\frac {1}{n}}~:~n>0{\text{ is an integer }}\right\}.}$^[8]
• ${\displaystyle r(x):=\sum _{n=1}^{\infty }\min \left\{{\frac {1}{2^{n}}},p_{n}(x)\right\}.}$^[8]

Generalización

La combinación de Fréchet se puede generalizar mediante el uso de una función de remetrización acotada.

ALa función de remetrización acotada ^[15]es una función continua no negativa y no decrecienteque tiene un rango acotado, essubaditiva(lo que significa que para todos) y satisfacesi y solo si ${\displaystyle R:[0,\infty )\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle R(s+t)\leq R(s)+R(t)}$ ${\displaystyle s,t\geq 0}$ ${\displaystyle R(s)=0}$ ${\displaystyle s=0.}$

Ejemplos de funciones de remetrización acotadas incluyen y ^[15] Si es una pseudométrica (respectivamente, métrica) en y es una función de remetrización acotada, entonces es una pseudométrica acotada (respectivamente, métrica acotada) en que es uniformemente equivalente a ^[15] ${\displaystyle \arctan t,}$ ${\displaystyle \tanh t,}$ ${\displaystyle t\mapsto \min\{t,1\},}$ ${\displaystyle t\mapsto {\frac {t}{1+t}}.}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\circ d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d.}$

Supóngase que es una familia de F -seminormas no negativas en un espacio vectorial es una función de remetrización acotada, y es una sucesión de números reales positivos cuya suma es finita. Entonces define una F -seminorma acotada que es uniformemente equivalente a la ^[16] Tiene la propiedad de que para cualquier red en si y solo si para todo ^[16] es una F -norma si y solo si los puntos separados en ^[16] ${\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ $${\displaystyle p(x):=\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}R\left(p_{i}(x)\right)}$$ ${\displaystyle p_{\bullet }.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$ ${\displaystyle p_{i}\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$ ${\displaystyle i.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p_{\bullet }}$ ${\displaystyle X.}$

Caracterizaciones

De (pseudo)métricas inducidas por (semi)normas

Una pseudométrica (resp. métrica) es inducida por una seminorma (resp. norma) en un espacio vectorial si y solo si es invariante en la traslación y absolutamente homogénea , lo que significa que para todos los escalares y todos en cuyo caso la función definida por es una seminorma (resp. norma) y la pseudométrica (resp. métrica) inducida por es igual a ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle p(x):=d(x,0)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d.}$

De TVS pseudometrizables

Si es un espacio vectorial topológico (TVS) (donde se supone en particular que es una topología vectorial), entonces los siguientes son equivalentes: ^[11] ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$

1. ${\displaystyle X}$es pseudometrizable (es decir, la topología vectorial es inducida por una pseudometría en ). ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle X}$Tiene una base vecinal contable en el origen.
3. La topología en se induce mediante una pseudometría invariante a la traducción en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
4. La topología está inducida por una F -semiforma. ${\displaystyle X}$
5. La topología está inducida por una paranorma. ${\displaystyle X}$

De televisores metrizables

Si es un TVS entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle (X,\tau )}$

1. ${\displaystyle X}$es metrizable.
2. ${\displaystyle X}$es Hausdorff y pseudometrizable.
3. ${\displaystyle X}$es Hausdorff y tiene una base de vecindad contable en el origen. ^{[11] [12]}
4. La topología en se induce mediante una métrica invariante a la traducción en ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
5. La topología en está inducida por una norma F. ^{[11] [12]} ${\displaystyle X}$
6. La topología en está inducida por una F -norma monótona. ^[12] ${\displaystyle X}$
7. La topología está inducida por una paranorma total. ${\displaystyle X}$

Teorema de Birkhoff-Kakutani  :  sies un espacio vectorial topológico, entonces las tres condiciones siguientes son equivalentes: ^{[17] [nota 1]} ${\displaystyle (X,\tau )}$

1. El origen es cerrado y existe una base contable de barrios para en ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$
2. ${\displaystyle (X,\tau )}$es metrizable (como espacio topológico).
3. Hay una métrica invariante de traducción que induce en la topología que es la topología dada en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle X.}$

Del teorema de Birkhoff-Kakutani se deduce que existe una métrica equivalente que es invariante a la traducción.

De TVS pseudometrizables localmente convexos

Si es TVS entonces los siguientes son equivalentes: ^[13] ${\displaystyle (X,\tau )}$

1. ${\displaystyle X}$es localmente convexa y pseudometrizable.
2. ${\displaystyle X}$tiene una base de vecindad contable en el origen que consiste en conjuntos convexos.
3. La topología de es inducida por una familia contable de seminormas (continuas). ${\displaystyle X}$
4. La topología de se induce mediante una secuencia creciente contable de seminormas (continuas) (creciente significa que para todas ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle p_{i}\geq p_{i+1}.}$
5. La topología de se induce por una F -seminorma de la forma: donde son seminormas (continuas) en ^[18] ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle p(x)=\sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}\operatorname {arctan} p_{n}(x)}$$ ${\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X.}$

Cocientes

Sea un subespacio vectorial de un espacio vectorial topológico ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

• Si es una TVS pseudometrizable entonces también lo es ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M.}$
• Si es un TVS pseudometrizable completo y es un subespacio vectorial cerrado de entonces es completo. ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M}$
• Si es TVS metrizable y es un subespacio vectorial cerrado de entonces es metrizable. ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M}$
• Si es una F -seminorma en entonces el mapa definido por es una F -seminorma en que induce la topología de cociente usual en ^[11] Si además es una F -norma en y si es un subespacio vectorial cerrado de entonces es una F -norma en ^[11] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle P:X/M\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle P(x+M):=\inf _{}\{p(x+m):m\in M\}}$$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle X/M.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X.}$

Ejemplos y condiciones suficientes

• Todo espacio seminormado es pseudometrizable con una pseudometría canónica dada por para todo ^[19] . ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle d(x,y):=p(x-y)}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$
• Si es un TVS pseudométrico con un pseudométrico invariante de la traducción , entonces define una paranorma. ^[20] Sin embargo, si es un pseudométrico invariante de la traducción en el espacio vectorial (sin la condición de adición de que es un TVS pseudométrico ), entonces no necesita ser ni una F -seminorma ^[21] ni una paranorma. ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle p(x):=d(x,0)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle d}$
• Si una TVS tiene un vecindario acotado del origen, entonces es pseudometrizable; lo inverso es, en general, falso. ^[14]
• Si una TVS de Hausdorff tiene un vecindario acotado del origen, entonces es metrizable. ^[14]
• Supongamos que es un espacio DF o un espacio LM . Si es un espacio secuencial , entonces es metrizable o un espacio DF de Montel . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Si Hausdorff es TVS localmente convexo entonces con la topología fuerte , es metrizable si y sólo si existe un conjunto contable de subconjuntos acotados de tal que cada subconjunto acotado de está contenido en algún elemento de ^[22] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,b\left(X,X^{\prime }\right)\right),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

El espacio dual fuerte de un espacio localmente convexo metrizable (como un espacio de Fréchet ^[23] ) es un DF-espacio . ^[24] El dual fuerte de un DF-espacio es un espacio de Fréchet . ^[25] El dual fuerte de un espacio de Fréchet reflexivo es un espacio bornológico . ^[24] El bidual fuerte (es decir, el espacio dual fuerte del espacio dual fuerte) de un espacio localmente convexo metrizable es un espacio de Fréchet. ^[26] Si es un espacio localmente convexo metrizable, entonces su dual fuerte tiene una de las siguientes propiedades, si y solo si tiene todas estas propiedades: (1) bornológico , (2) infrabarrilado , (3) barrilado . ^[26] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$

Normabilidad

Un espacio vectorial topológico es seminormable si y solo si tiene un entorno convexo acotado del origen. Además, un TVS es normable si y solo si es de Hausdorff y seminormable. ^[14] Todo TVS metrizable en un espacio vectorial de dimensión finita es un TVS completo localmente convexo normable , siendo TVS-isomorfo al espacio euclidiano . En consecuencia, cualquier TVS metrizable que no sea normable debe ser de dimensión infinita.

Si es un TVS localmente convexo metrizable que posee un sistema fundamental contable de conjuntos acotados, entonces es normable. ^[27] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Si es un espacio localmente convexo de Hausdorff entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$es normalizable​
2. ${\displaystyle X}$tiene un vecindario acotado (von Neumann) del origen.
3. El espacio dual fuerte de es normable. ^[28] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$

y si este espacio localmente convexo también es metrizable, entonces se puede añadir lo siguiente a esta lista: ${\displaystyle X}$

4. El espacio dual fuerte de es metrizable. ^[28] ${\displaystyle X}$
5. El espacio dual fuerte de es un espacio localmente convexo de Fréchet-Urysohn . ^[23] ${\displaystyle X}$

En particular, si un espacio localmente convexo metrizable (tal como un espacio de Fréchet ) no es normable, entonces su espacio dual fuerte no es un espacio de Fréchet-Urysohn y, en consecuencia, este espacio localmente convexo de Hausdorff completo tampoco es metrizable ni normable. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$

Otra consecuencia de esto es que si es un TVS localmente convexo reflexivo cuyo dual fuerte es metrizable entonces es necesariamente un espacio de Fréchet reflexivo, es un espacio DF , ambos y son necesariamente espacios enredados distinguidos ultrabornológicamente de Hausdorff completos y, además, es normable si y solo si es normable si y solo si es Fréchet–Urysohn si y solo si es metrizable. En particular, un espacio así es un espacio de Banach o ni siquiera es un espacio de Fréchet–Urysohn. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Conjuntos métricamente acotados y conjuntos acotados

Supóngase que es un espacio pseudométrico y El conjunto está métricamente acotado o -acotado si existe un número real tal que para todo ; el más pequeño de ellos se llama entonces diámetro o -diámetro de ^[14] Si está acotado en un TVS pseudometrizable , entonces está métricamente acotado; lo inverso es en general falso, pero es verdadero para TVS metrizables localmente convexos . ^[14] ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle B\subseteq X.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle R>0}$ ${\displaystyle d(x,y)\leq R}$ ${\displaystyle x,y\in B}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$

Propiedades de TVS pseudometrizables

Teorema ^[29]  —  Todos los TVS metrizables completos separables de dimensión infinita son homeomorfos .

• Todo TVS localmente convexo metrizable es un espacio cuasibarrellado , ^[30] espacio bornológico y un espacio de Mackey .
• Todo TVS pseudo metrizable completo es un espacio de barril y un espacio de Baire (y por lo tanto no exiguo). ^[31] Sin embargo, existen espacios de Baire metrizables que no son completos . ^[31]
• Si es un espacio localmente convexo metrizable, entonces el dual fuerte de es bornológico si y sólo si es barrelizado , si y sólo si es infrabarrilizado . ^[26] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Si es un TVS pseudometrizable completo y es un subespacio vectorial cerrado de entonces es completo. ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X/M}$
• El dual fuerte de un TVS metrizable localmente convexo es un espacio en red . ^[32]
• Si y son TVS metrizables completos (es decir, F-espacios ) y si es más burdo que entonces ; ^[33] ya no se garantiza que esto sea cierto si alguno de estos TVS metrizables no es completo. ^[34] Dicho de otra manera, si y son ambos F-espacios pero con diferentes topologías, entonces ninguno de y contiene al otro como un subconjunto. Una consecuencia particular de esto es, por ejemplo, que si es un espacio de Banach y es algún otro espacio normado cuya topología inducida por norma es más fina que (o alternativamente, es más burda que) la de (es decir, si o si para alguna constante ), entonces la única forma en que puede ser un espacio de Banach (es decir, también ser completo) es si estas dos normas y son equivalentes ; si no son equivalentes, entonces no puede ser un espacio de Banach. Como otra consecuencia, si es un espacio de Banach y es un espacio de Fréchet , entonces la función es continua si y sólo si el espacio de Fréchet es el TVS (aquí, el espacio de Banach se considera como un TVS, lo que significa que su norma se " olvida " pero su topología se recuerda). ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau =\nu }$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (X,q)}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle p\leq Cq}$ ${\displaystyle q\leq Cp}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle (X,q)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle (X,q)}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle p:(X,\nu )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (X,p)}$
• Un espacio localmente convexo metrizable es normable si y sólo si su espacio dual fuerte es un espacio localmente convexo de Fréchet-Urysohn . ^[23]
• Cualquier producto de TVS metrizables completos es un espacio de Baire . ^[31]
• Un producto de TVS metrizables es metrizable si y sólo si todos, excepto como máximo un número contable de estos TVS, tienen dimensión ^[35] ${\displaystyle 0.}$
• Un producto de TVS pseudometrizables es pseudometrizable si y solo si todos, excepto como máximo un número contable de estos TVS, tienen la topología trivial.
• Todo TVS pseudo metrizable completo es un espacio de barril y un espacio de Baire (y por lo tanto no magro). ^[31]
• La dimensión de un TVS metrizable completo es finita o incontable. ^[35]

Lo completo

Todo espacio vectorial topológico (y más generalmente, un grupo topológico ) tiene una estructura uniforme canónica , inducida por su topología, que permite aplicarle las nociones de completitud y continuidad uniforme. Si es un TVS metrizable y es una métrica que define la topología de , entonces es posible que sea completo como un TVS (es decir, en relación con su uniformidad) pero la métrica no es una métrica completa (tales métricas existen incluso para ). Por lo tanto, si es un TVS cuya topología está inducida por un pseudométrico , entonces la noción de completitud de (como un TVS) y la noción de completitud del espacio pseudométrico no siempre son equivalentes. El siguiente teorema da una condición para cuando son equivalentes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,d)}$

Teorema  —  Si es un TVS pseudometrizable cuya topología es inducida por un pseudométrico invariante de la traducción , entonces es un pseudométrico completo en si y solo si es completo como un TVS. ^[36] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Teorema ^{[37] [38]}  (Klee)  —  Sea cualquier ^{[nota 2]} métrica en un espacio vectorial tal que la topología inducida por en se convierta en un espacio vectorial topológico. Si es un espacio métrico completo entonces es un TVS completo. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

Teorema  —  Si es un TVS cuya topología es inducida por una paranorma entonces es completo si y sólo si para cada secuencia en si entonces converge en ^[39] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }p\left(x_{i}\right)<\infty }$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}$ ${\displaystyle X.}$

Si es un subespacio vectorial cerrado de un TVS pseudometrizable completo , entonces el espacio cociente es completo. ^[40] Si es un subespacio vectorial completo de un TVS metrizable y si el espacio cociente es completo, entonces también lo es. ^[40] Si no es completo, entonces, pero no completo, subespacio vectorial de ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M:=X,}$ ${\displaystyle X.}$

Un grupo topológico separable de Baire es metrizable si y sólo si es cósmico. ^[23]

Subconjuntos y subsecuencias

• Sea un espacio vectorial topológico metrizable localmente convexo y separable y sea su completitud. Si es un subconjunto acotado de entonces existe un subconjunto acotado de tal que ^[41] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq \operatorname {cl} _{C}R.}$
• Cada subconjunto totalmente acotado de un TVS metrizable localmente convexo está contenido en la envoltura cerrada convexa equilibrada de alguna secuencia que converge a ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0.}$
• En una TVS pseudometrizable, cada bornívoro es un vecindario del origen. ^[42]
• Si es una métrica invariante de traducción en un espacio vectorial, entonces para todos y cada uno de los números enteros positivos ^[43] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle d(nx,0)\leq nd(x,0)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle n.}$
• Si es una secuencia nula (es decir, converge al origen) en un TVS metrizable entonces existe una secuencia de números reales positivos que divergen hacia tal que ^[43] ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0.}$
• Un subconjunto de un espacio métrico completo es cerrado si y solo si es completo. Si un espacio no es completo, entonces es un subconjunto cerrado de ese espacio que no es completo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Si es un TVS localmente convexo metrizable entonces para cada subconjunto acotado de existe un disco acotado en tal que y tanto como el espacio normado auxiliar inducen la misma topología de subespacio en ^[44] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq X_{D},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{D}}$ ${\displaystyle B.}$

Teorema de Banach-Saks ^[45]  —  Sies una secuencia en unTVS metrizable localmente convexo que converge débilmente a algúnentonces existe una secuenciaental queeny cada unoes una combinación convexa de un número finito de ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle x_{n}.}$

Condición de contabilidad de Mackey ^[14]  —  Supongamos que es un TVS metrizable localmente convexo y que es una secuencia contable de subconjuntos acotados de Entonces existe un subconjunto acotado de y una secuencia de números reales positivos tales que para todos ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(B_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle B_{i}\subseteq r_{i}B}$ ${\displaystyle i.}$

Serie generalizada

Como se describe en la sección de este artículo sobre series generalizadas , para cualquier familia indexada de vectores de un TVS es posible definir su suma como el límite de la red de sumas parciales finitas donde el dominio está dirigido por Si y por ejemplo, entonces la serie generalizada converge si y solo si converge incondicionalmente en el sentido usual (lo que para números reales, es equivalente a convergencia absoluta ). Si una serie generalizada converge en un TVS metrizable, entonces el conjunto es necesariamente contable (es decir, finito o contablemente infinito ); ^{[prueba 1]} en otras palabras, todos excepto como máximo un número contable serán cero y, por lo tanto, esta serie generalizada es en realidad una suma de como máximo un número contable de términos distintos de cero. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$ ${\displaystyle F\in \operatorname {FiniteSubsets} (I)\mapsto \textstyle \sum \limits _{i\in F}r_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {FiniteSubsets} (I)}$ ${\displaystyle \,\subseteq .\,}$ ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in \mathbb {N} }r_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }r_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$ ${\displaystyle \left\{i\in I:r_{i}\neq 0\right\}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}~=~\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}\neq 0}}r_{i}}$

Mapas lineales

Si es un TVS pseudometrizable y mapea subconjuntos acotados de a subconjuntos acotados de entonces es continuo. ^[14] Existen funcionales lineales discontinuos en cualquier TVS pseudometrizable de dimensión infinita. ^[46] Por lo tanto, un TVS pseudometrizable es de dimensión finita si y solo si su espacio dual continuo es igual a su espacio dual algebraico . ^[46] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle A}$

Si es una función lineal entre TVS y es metrizable entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle F}$es continuo;
2. ${\displaystyle F}$es un mapa (localmente) acotado (es decir, mapea subconjuntos acotados (von Neumann) de a subconjuntos acotados de ); ^[12] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
3. ${\displaystyle F}$es secuencialmente continua ; ^[12]
4. la imagen de cada secuencia nula en es un conjunto acotado ^[12] donde por definición, una secuencia nula es una secuencia que converge al origen. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$
5. ${\displaystyle F}$asigna secuencias nulas a secuencias nulas;

Mapas abiertos y casi abiertos

Teorema : Si es una TVS pseudometrizable completa, es una TVS de Hausdorff y es una sobreyección lineal cerrada y casi abierta, entonces es una función abierta. ^[47] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$

Teorema : Si es un operador lineal sobreyectivo de un espacio localmente convexo a un espacio en barril (por ejemplo, todo espacio pseudometrizable completo es en barril), entonces es casi abierto . ^[47] ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$

Teorema : Si es un operador lineal sobreyectivo de un TVS en un espacio de Baire entonces es casi abierto. ^[47] ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$

Teorema : Supongamos que es un operador lineal continuo de un TVS pseudometrizable completo en un TVS de Hausdorff. Si la imagen de es no exigua en entonces es una función abierta sobreyectiva y es un espacio metrizable completo . ^[47] ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$

Finca de ampliación Hahn-Banach

Un subespacio vectorial de un TVS tiene la propiedad de extensión si cualquier funcional lineal continuo en puede extenderse a un funcional lineal continuo en ^[22] Digamos que un TVS tiene la propiedad de extensión de Hahn-Banach ( HBEP ) si cada subespacio vectorial de tiene la propiedad de extensión. ^[22] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

El teorema de Hahn-Banach garantiza que todo espacio localmente convexo de Hausdorff tiene el HBEP. Para los TVS metrizables completos existe una recíproca:

Teorema  (Kalton)  :  Todo TVS metrizable completo con la propiedad de extensión de Hahn-Banach es localmente convexo. ^[22]

Si un espacio vectorial tiene dimensión incontable y si lo dotamos de la topología vectorial más fina , entonces se trata de un TVS con el HBEP que no es ni localmente convexo ni metrizable. ^[22] ${\displaystyle X}$

Véase también

• Norma asimétrica  – Generalización del concepto de norma
• Espacio métrico completo  – Geometría métrica
• Espacio vectorial topológico completo  : un TVS donde los puntos que se acercan progresivamente entre sí siempre convergerán a un punto
• Equivalencia de métricas  : en matemáticas, se dice que dos métricas del mismo conjunto subyacente son equivalentes si los espacios métricos resultantes comparten ciertas propiedades.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio F  : espacio vectorial topológico con una métrica completamente invariante a la traslación
• Espacio de Fréchet  : un espacio vectorial topológico localmente convexo que también es un espacio métrico completo
• Métrica generalizada  – Geometría métrica
• Espacio K (análisis funcional)
• Espacio vectorial topológico localmente convexo  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
• Espacio métrico  – Espacio matemático con noción de distancia
• Espacio pseudométrico  – Generalización de espacios métricos en matemáticas
• Relación entre normas y métricas  – Espacio matemático con noción de distanciaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Seminorma  : función de valor real no negativo en un espacio vectorial real o complejo que satisface la desigualdad triangular y es absolutamente homogénea.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Función sublineal  – Tipo de función en álgebra lineal
• Espacio uniforme  – Espacio topológico con una noción de propiedades uniformes
• Teorema de Ursescu  : generalización del grafo cerrado, aplicación abierta y teorema de acotación uniforme

Notas

1. De hecho, esto es cierto para el grupo topológico, ya que la prueba no utiliza las multiplicaciones escalares.
2. No se supone que sea invariante a la traducción.

Pruebas

1. Supóngase que la red converge a algún punto en un TVS metrizable donde recordemos que el dominio de esta red es el conjunto dirigido Como toda red convergente, esta red convergente de sumas parciales es una red de Cauchy , lo que para esta red particular significa (por definición) que para cada vecindad del origen en existe un subconjunto finito de tal que para todos los superconjuntos finitos esto implica que para cada (tomando y ). Como es metrizable, tiene una base de vecindad contable en el origen, cuya intersección es necesariamente (ya que es un TVS de Hausdorff). Para cada entero positivo, elija un subconjunto finito tal que para cada Si pertenece a entonces pertenece a Por lo tanto, para cada índice que no pertenece al conjunto contable ${\textstyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\textstyle \lim \limits _{A\in \operatorname {FiniteSubsets} (I)}}\ \textstyle \sum \limits _{i\in A}r_{i}=\lim \left\{\textstyle \sum \limits _{i\in A}r_{i}\,:A\subseteq I,A{\text{ finite }}\right\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (\operatorname {FiniteSubsets} (I),\subseteq ).}$ ${\displaystyle A\mapsto \textstyle \sum \limits _{i\in A}r_{i}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle I}$ ${\textstyle \textstyle \sum \limits _{i\in B}r_{i}-\textstyle \sum \limits _{i\in C}r_{i}\in W}$ ${\displaystyle B,C\supseteq A_{0};}$ ${\displaystyle r_{i}\in W}$ ${\displaystyle i\in I\setminus A_{0}}$ ${\displaystyle B:=A_{0}\cup \{i\}}$ ${\displaystyle C:=A_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots }$ ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\cap \cdots =\{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle A_{n}\subseteq I}$ ${\displaystyle r_{i}\in U_{n}}$ ${\displaystyle i\in I\setminus A_{n}.}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (I\setminus A_{1})\cap (I\setminus A_{2})\cap \cdots =I\setminus \left(A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \right)}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\cap \cdots =\{0\}.}$ ${\displaystyle r_{i}=0}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots .}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Referencias

1. Narici y Beckenstein 2011, págs. 1–18.
2. Narici y Beckenstein 2011, págs. 37–40.
3. Swartz 1992, pág. 15.
4. Wilansky 2013, pág. 17.
5. Wilansky 2013, págs. 40–47.
6. Wilansky 2013, pág. 15.
7. Schechter 1996, págs. 689–691.
8. Wilansky 2013, págs. 15-18.
9. Schechter 1996, pág. 692.
10. Schechter 1996, pág. 691.
11. Narici y Beckenstein 2011, págs. 91–95.
12. Jarchow 1981, págs. 38–42.
13. Narici y Beckenstein 2011, pág. 123.
14. Narici y Beckenstein 2011, págs. 156-175.
15. Schechter 1996, pág. 487.
16. Schechter 1996, págs. 692–693.
17. Köthe 1983, sección 15.11
18. Schechter 1996, pág. 706.
19. Narici y Beckenstein 2011, págs. 115–154.
20. Wilansky 2013, págs. 15-16.
21. Schaefer y Wolff 1999, págs. 91-92.
22. Narici y Beckenstein 2011, págs.
23. Gabriyelyan, SS "Sobre espacios topológicos y grupos topológicos con ciertas redes contables locales (2014)
24. Schaefer & Wolff 1999, pág. 154.
25. Schaefer y Wolff 1999, pág. 196.
26. Schaefer y Wolff 1999, pág. 153.
27. Schaefer y Wolff 1999, págs. 68-72.
28. Trèves 2006, pág. 201.
29. Wilansky 2013, pág. 57.
30. Jarchow 1981, pág. 222.
31. Narici y Beckenstein 2011, págs. 371–423.
32. Narici y Beckenstein 2011, págs. 459–483.
33. Köthe 1969, pág. 168.
34. Wilansky 2013, pág. 59.
35. Schaefer & Wolff 1999, págs. 12–35.
36. Narici y Beckenstein 2011, págs. 47–50.
37. Schaefer y Wolff 1999, pág. 35.
38. Klee, VL (1952). "Métricas invariantes en grupos (solución de un problema de Banach)" (PDF) . Proc. Amer. Math. Soc . 3 (3): 484–487. doi : 10.1090/s0002-9939-1952-0047250-4 .
39. Wilansky 2013, págs. 56–57.
40. Narici y Beckenstein 2011, págs. 47–66.
41. Schaefer y Wolff 1999, págs. 190-202.
42. Narici y Beckenstein 2011, págs. 172-173.
43. Rudin 1991, pág. 22.
44. Narici y Beckenstein 2011, págs. 441–457.
45. Rudin 1991, pág. 67.
46. Narici y Beckenstein 2011, pág. 125.
47. Narici y Beckenstein 2011, págs. 466–468.

Bibliografía

• Berberian, Sterling K. (1974). Lecciones de análisis funcional y teoría de operadores . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 15. Nueva York: Springer. ISBN. 978-0-387-90081-0.OCLC 878109401  .
• Bourbaki, Nicolás (1987) [1981]. Espacios vectoriales topológicos: capítulos 1 a 5 . Elementos matemáticos . Traducido por Eggleston, HG; Madan, S. Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4.OCLC 17499190  .
• Bourbaki, Nicolás (1950). "Sur sures espaces vectoriels topologiques". Annales de l'Institut Fourier (en francés). 2 : 5-16 (1951). doi : 10.5802/aif.16 . SEÑOR  0042609.
• Edwards, Robert E. (1995). Análisis funcional: teoría y aplicaciones . Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6.OCLC 30593138  .
• Grothendieck, Alexander (1973). Espacios vectoriales topológicos . Traducido por Chaljub, Orlando. Nueva York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7.OCLC 886098  .
• Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4.OCLC 8210342  .
• Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 936. Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-11565-6.OCLC 8588370  .
• Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Espacios vectoriales topológicos I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 159. Traducido por Garling, DJH Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Sr.  0248498. OCLC  840293704.
• Köthe, Gottfried (1979). Espacios vectoriales topológicos II . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 237. Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9.OCLC 180577972  .
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Espacios vectoriales topológicos . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 53. Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7.OCLC 589250  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4.OCLC 175294365  .
• Swartz, Charles (1992). Introducción al análisis funcional . Nueva York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4.OCLC 24909067  .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .
• Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4.OCLC 849801114  .
• Husain, Taqdir (1978). Barrelización en espacios vectoriales topológicos y ordenados . Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09096-7.OCLC 4493665  .