Espacio de Fréchet-Urysohn

Propiedad del espacio topológico

En el campo de la topología , un espacio de Fréchet-Urysohn es un espacio topológico con la propiedad de que para cada subconjunto el cierre de en es idéntico al cierre secuencial de en Los espacios de Fréchet-Urysohn son un tipo especial de espacio secuencial . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$

La propiedad lleva el nombre de Maurice Fréchet y Pavel Urysohn .

Definiciones

Sea un espacio topológico . La clausura secuencial de en es el conjunto: ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {scl} S:&=[S]_{\operatorname {seq} }:=\left\{x\in X~:~{\text{ there exists a sequence }}s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq S{\text{ in }}S{\text{ such that }}s_{\bullet }\to x{\text{ in }}(X,\tau )\right\}\end{alignedat}}}$$

donde o puede escribirse si se necesita claridad. ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {scl} _{(X,\tau )}S}$

Se dice que un espacio topológico es un espacio de Fréchet-Urysohn si ${\displaystyle (X,\tau )}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=\operatorname {scl} _{X}S}$$

para cada subconjunto donde denota el cierre de en ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

Conjuntos abiertos/cerrados secuencialmente

Supongamos que cualquier subconjunto de una secuencia A está eventualmente en si existe un entero positivo tal que para todos los índices ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{i}\in S}$ ${\displaystyle i\geq N.}$

El conjunto se llama secuencialmente abierto si cada secuencia en que converge a un punto de está eventualmente en ; Normalmente, si se entiende entonces se escribe en lugar de ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {scl} S}$ ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}S.}$

El conjunto se llama secuencialmente cerrado si o, equivalentemente, si siempre que es una secuencia en que converge a entonces también debe estar en El complemento de un conjunto secuencialmente abierto es un conjunto secuencialmente cerrado, y viceversa. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\operatorname {scl} _{X}S,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$

Dejar $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {SeqOpen} (X,\tau ):&=\left\{S\subseteq X~:~S{\text{ is sequentially open in }}(X,\tau )\right\}\\&=\left\{S\subseteq X~:~S=\operatorname {SeqInt} _{(X,\tau )}S\right\}\\\end{alignedat}}}$$

denota el conjunto de todos los subconjuntos abiertos secuencialmente de donde esto puede denotarse por es la topología que se entiende. El conjunto es una topología en que es más fina que la topología original Cada subconjunto abierto (o cerrado) de es secuencialmente abierto (o cerrado secuencialmente), lo que implica que ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle \operatorname {SeqOpen} X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \operatorname {SeqOpen} (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \tau \subseteq \operatorname {SeqOpen} (X,\tau ).}$$

Fuerte espacio Fréchet-Urysohn

Un espacio topológico es un espacio fuerte de Fréchet-Urysohn si para cada punto y cada secuencia de subconjuntos del espacio tales que existe una secuencia en tal que para cada y en Las propiedades anteriores se pueden expresar como principios de selección . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \bigcap _{n}{\overline {A_{n}}},}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a_{i}\in A_{i}}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to x}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

Contraste con espacios secuenciales

Todo subconjunto abierto de es secuencialmente abierto y todo conjunto cerrado es secuencialmente cerrado. Sin embargo, los recíprocos no son, en general, ciertos. Los espacios para los que los recíprocos son ciertos se denominan espacios secuenciales ; es decir, un espacio secuencial es un espacio topológico en el que todo subconjunto secuencialmente abierto es necesariamente abierto, o, equivalentemente, es un espacio en el que todo subconjunto secuencialmente cerrado es necesariamente cerrado. Todo espacio de Fréchet-Urysohn es un espacio secuencial, pero hay espacios secuenciales que no son espacios de Fréchet-Urysohn. ${\displaystyle X}$

Los espacios secuenciales (respectivamente, espacios de Fréchet-Urysohn) pueden verse/interpretarse exactamente como aquellos espacios donde, para cualquier subconjunto dado, el conocimiento de qué secuencias en convergen a qué punto(s) de (y cuáles no) es suficiente para determinar si está o no cerrado en (respectivamente, es suficiente para determinar el cierre de en ). ^{[nota 1]} Por lo tanto, los espacios secuenciales son aquellos espacios para los que las secuencias en pueden usarse como una "prueba" para determinar si cualquier subconjunto dado es abierto (o equivalentemente, cerrado) en ; o dicho de otra manera, los espacios secuenciales son aquellos espacios cuyas topologías pueden caracterizarse completamente en términos de convergencia de secuencias. En cualquier espacio que no sea secuencial, existe un subconjunto para el cual esta "prueba" da un " falso positivo ". ^{[nota 2]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Caracterizaciones

Si es un espacio topológico entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle (X,\tau )}$

1. ${\displaystyle X}$es un espacio de Fréchet-Urysohn.
2. Definición: para cada subconjunto ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}S~=~\operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S\subseteq X.}$
3. ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}S~\supseteq ~\operatorname {cl} _{X}S}$para cada subconjunto ${\displaystyle S\subseteq X.}$
   • Esta afirmación es equivalente a la definición anterior porque siempre se cumple para cada ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}S~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S\subseteq X.}$
4. Cada subespacio de es un espacio secuencial . ${\displaystyle X}$
5. Para cualquier subconjunto que no esté cerrado en y para cada existe una secuencia en que converge a ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \left(\operatorname {cl} _{X}S\right)\setminus S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x.}$
   • Contraste esta condición con la siguiente caracterización de un espacio secuencial :

   Para cualquier subconjunto que no esté cerrado en existe alguno para el cual existe una secuencia en que converge a ^[1] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in \left(\operatorname {cl} _{X}S\right)\setminus S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x.}$

   • Esta caracterización implica que cada espacio de Fréchet-Urysohn es un espacio secuencial.

La caracterización que sigue muestra que, entre los espacios secuenciales de Hausdorff, los espacios de Fréchet–Urysohn son exactamente aquellos para los que siempre se puede encontrar una " secuencia diagonal convergente cofinal ", similar al principio diagonal que se utiliza para caracterizar topologías en términos de redes convergentes . En la siguiente caracterización, se supone que toda convergencia tiene lugar en ${\displaystyle (X,\tau ).}$

Si es un espacio secuencial de Hausdorff , entonces es un espacio de Fréchet-Urysohn si y solo si se cumple la siguiente condición: Si es una secuencia en que converge a algún y si para cada es una secuencia en que converge a donde estas hipótesis se pueden resumir mediante el siguiente diagrama , entonces existen aplicaciones estrictamente crecientes tales que ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(x_{l}\right)_{l=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle l\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle \left(x_{l}^{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{l},}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{11}&x_{1}^{1}~\;~&x_{1}^{2}~\;~&x_{1}^{3}~\;~&x_{1}^{4}~\;~&x_{1}^{5}~~&\ldots ~~&x_{1}^{i}~~\ldots ~~&\to ~~&x_{1}\\[1.2ex]&x_{2}^{1}~\;~&x_{2}^{2}~\;~&x_{2}^{3}~\;~&x_{2}^{4}~\;~&x_{2}^{5}~~&\ldots ~~&x_{2}^{i}~~\ldots ~~&\to ~~&x_{2}\\[1.2ex]&x_{3}^{1}~\;~&x_{3}^{2}~\;~&x_{3}^{3}~\;~&x_{3}^{4}~\;~&x_{3}^{5}~~&\ldots ~~&x_{3}^{i}~~\ldots ~~&\to ~~&x_{3}\\[1.2ex]&x_{4}^{1}~\;~&x_{4}^{2}~\;~&x_{4}^{3}~\;~&x_{4}^{4}~\;~&x_{4}^{5}~~&\ldots ~~&x_{4}^{i}~~\ldots ~~&\to ~~&x_{4}\\[0.5ex]&&&\;\,\vdots &&&&\;\,\vdots &&\;\,\vdots \\[0.5ex]&x_{l}^{1}~\;~&x_{l}^{2}~\;~&x_{l}^{3}~\;~&x_{l}^{4}~\;~&x_{l}^{5}~~&\ldots ~~&x_{l}^{i}~~\ldots ~~&\to ~~&x_{l}\\[0.5ex]&&&\;\,\vdots &&&&\;\,\vdots &&\;\,\vdots \\&&&&&&&&&\,\downarrow \\&&&&&&&&~~&\;x\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle \iota ,\lambda :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \left(x_{\lambda (n)}^{\iota (n)}\right)_{n=1}^{\infty }\to x.}$

(Basta con considerar sólo secuencias con rangos infinitos (es decir, infinitas) porque si es finito entonces la hausdorfficidad implica que necesariamente es eventualmente constante con valor, en cuyo caso la existencia de los mapas con las propiedades deseadas se verifica fácilmente para este caso especial (incluso si no es un espacio de Fréchet-Urysohn). ${\displaystyle \left(x_{l}\right)_{l=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left\{x_{l}:l\in \mathbb {N} \right\}}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \iota ,\lambda :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

Propiedades

Todo subespacio de un espacio de Fréchet-Urysohn es Fréchet-Urysohn. ^[2]

Todo espacio de Fréchet–Urysohn es un espacio secuencial aunque la implicación opuesta no sea cierta en general. ^{[3] [4]}

Si un espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff es un espacio de Fréchet-Urysohn, entonces es igual a la topología final en inducida por el conjunto de todos los arcos en los que por definición hay caminos continuos que también son incrustaciones topológicas . ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Arc} \left([0,1];X\right)}$ ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle [0,1]\to (X,\tau )}$

Ejemplos

Todo espacio de primer orden contable es un espacio de Fréchet-Urysohn. En consecuencia, todo espacio de segundo orden contable , todo espacio metrizable y todo espacio pseudometrizable es un espacio de Fréchet-Urysohn. También se deduce que todo espacio topológico de un conjunto finito es un espacio de Fréchet-Urysohn. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$

Espacios duales continuos metrizables

Un espacio vectorial topológico localmente convexo metrizable (TVS) (por ejemplo, un espacio de Fréchet ) es un espacio normable si y solo si su espacio dual fuerte es un espacio de Fréchet-Urysohn, ^[5] o, equivalentemente, si y solo si es un espacio normable. ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$

Espacios secuenciales que no son de Fréchet-Urysohn

Límite directo de espacios euclidianos de dimensión finita

El espacio de sucesiones reales finitas es un espacio secuencial de Hausdorff que no es Fréchet–Urysohn. Para cada enteroidentifíquesecon el conjuntodonde este último es un subconjunto del espacio de sucesiones de números realesexplícitamente, los elementosyse identifican juntos. En particular,se puede identificar como un subconjunto dey más generalmente, como un subconjuntopara cualquier enteroSea Damossu topología usualen la que un subconjuntoes abierto (resp. cerrado) si y solo si para cada enteroel conjuntoes un subconjunto abierto (resp. cerrado) de(con su topología euclidiana usual ). Siyes una sucesión enentoncesensi y solo si existe algún enterotal que tantoyestán contenidos enyen De estos hechos, se sigue quees un espacio secuencial. Para cada enteroseadenotar la bola abierta ende radio(en la norma euclidiana ) centrada en el origen. Sea entonces que el cierre deeses todo depero el origendeno pertenece al cierre secuencial deen De hecho, se puede demostrar que Esto prueba queno es un espacio de Fréchet–Urysohn. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle n\geq 1,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \{\left(0,0,0,\ldots \right)\}=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)~:~x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} \right\},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} };}$ ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\subseteq \mathbb {R} ^{n+k}}$ ${\displaystyle k\geq 0.}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\mathbb {R} ^{\infty }:=\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }~:~{\text{ all but finitely many }}x_{i}{\text{ are equal to }}0\right\}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\mathbb {R} ^{n}.\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle n\geq 1,}$ ${\displaystyle S\cap \mathbb {R} ^{n}=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)~:~\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)\in S\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle v_{\bullet }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau \right)}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v_{\bullet }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau \right)}$ ${\displaystyle n\geq 1,}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle S:=\mathbb {R} ^{\infty }\,\setminus \,\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau \right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle (0,0,0,\ldots )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau \right).}$ $${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }=\operatorname {cl} _{\mathbb {R} ^{\infty }}S~\neq ~\operatorname {scl} _{\mathbb {R} ^{\infty }}S=\mathbb {R} ^{\infty }\setminus \{(0,0,0,\ldots )\}.}$$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau \right)}$

Espacios DF de Montel

Todo espacio DF de Montel de dimensión infinita es un espacio secuencial pero no un espacio de Fréchet-Urysohn.

El espacio de Schwartz y el espacio de funciones suaves ${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$

Los siguientes espacios ampliamente utilizados son ejemplos destacados de espacios secuenciales que no son espacios de Fréchet-Urysohn. Sea el espacio de Schwartz y sea el espacio de funciones suaves en un subconjunto abierto donde ambos espacios tienen sus topologías de espacio de Fréchet habituales , como se define en el artículo sobre distribuciones . Tanto y como los espacios duales fuertes de ambos de estos espacios, son espacios ultrabornológicos de Montel nucleares completos , lo que implica que estos cuatro espacios localmente convexos también son espacios de barril reflexivos normales paracompactos ^[7] . Los espacios duales fuertes de ambos y son espacios secuenciales, pero ninguno de estos duales es un espacio de Fréchet-Urysohn . ^{[8] [9]} ${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$

Véase también

• Axioma de contabilidad  : propiedad de ciertos objetos matemáticos (normalmente de una categoría) que afirma la existencia de un conjunto numerable con determinadas propiedades. Sin dicho axioma, es probable que dicho conjunto no exista.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio de primer conteo  : espacio topológico donde cada punto tiene una base de vecindad contable
• Límite de una sucesión  – Valor al que tiende una sucesión infinita
• Mapa de cobertura de secuencias
• Espacio secuencial  – Espacio topológico caracterizado por secuencias

Notas

1. Por supuesto, si puedes determinar todos los superconjuntos de que están cerrados en entonces puedes determinar el cierre de Así que esta interpretación supone que solo puedes determinar si está cerrado o no (y que esto no es posible con ningún otro subconjunto); dicho de otra manera, no puedes aplicar esta "prueba" (de si un subconjunto está abierto/cerrado) a infinitos subconjuntos simultáneamente (por ejemplo, no puedes usar algo parecido al axioma de elección ). Es en los espacios de Fréchet-Urysohn donde se puede determinar el cierre de un conjunto sin que sea necesario considerar nunca un subconjunto de distinto de esto no siempre es posible en espacios que no sean de Fréchet-Urysohn. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S;}$
2. Aunque esta "prueba" (que intenta responder "¿este conjunto es abierto (o cerrado)?") podría potencialmente dar un "falso positivo", nunca puede dar un " falso negativo "; esto se debe a que cada subconjunto abierto (o cerrado) es necesariamente secuencialmente abierto (o cerrado secuencialmente), por lo que esta "prueba" nunca indicará "falso" para ningún conjunto que realmente sea abierto (o cerrado). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Citas

1. Arkhangel'skii, AV y Pontryagin LS,  Topología general I, definición 9 p.12
2. Engelking 1989, Ejercicio 2.1.H(b)
3. Engelking 1989, Ejemplo 1.6.18
4. Ma, Dan (19 de agosto de 2010). "Una nota sobre el espacio de Arens" . Consultado el 1 de agosto de 2013 .
5. Gabriyelyan, SS "Sobre espacios topológicos y grupos topológicos con ciertas redes contables locales (2014)
6. Trèves 2006, pág. 201.
7. "Espacio vectorial topológico". Enciclopedia de Matemáticas . Enciclopedia de Matemáticas . Consultado el 6 de septiembre de 2020 . Es un espacio de Montel, por lo tanto paracompacto y, por lo tanto, normal.
8. Gabriyelyan, Saak "Propiedades topológicas de los espacios LF estrictos y duales fuertes de los espacios LF estrictos de Montel" (2017)
9. T. Shirai, Sur les Topologies des Espaces de L. Schwartz, Proc. Académico de Japón. 35 (1959), 31-36.

Referencias

• Arkhangel'skii, AV y Pontryagin, LS, Topología general I , Springer-Verlag, Nueva York (1990) ISBN 3-540-18178-4 . 
• Booth, PI y Tillotson, A., Categorías monoidales cerradas, cartesianas cerradas y convenientes de espacios topológicos Pacific J. Math., 88 (1980) págs. 35–53.
• Engelking, R., Topología general , Heldermann, Berlín (1989). Edición revisada y completa.
• Franklin, SP, "Espacios en los que las secuencias son suficientes", Fund. Math. 57 (1965), 107-115.
• Franklin, SP, "Espacios en los que las sucesiones son suficientes II", Fund. Math. 61 (1967), 51-56.
• Goreham, Anthony, "Convergencia secuencial en espacios topológicos"
• Steenrod, NE, Una categoría conveniente de espacios topológicos , Michigan Math. J., 14 (1967), 133-152.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .