Fundamentos axiomáticos de los espacios topológicos

En el campo matemático de la topología , un espacio topológico se define habitualmente declarando sus conjuntos abiertos . ^[1] Sin embargo, esto no es necesario, ya que hay muchos fundamentos axiomáticos equivalentes, cada uno de los cuales conduce exactamente al mismo concepto. Por ejemplo, un espacio topológico determina una clase de conjuntos cerrados , de operadores de clausura e interiores, y de convergencia de varios tipos de objetos. Cada uno de estos puede tomarse en cambio como la clase primaria de objetos, y todos los demás (incluida la clase de conjuntos abiertos) se determinan directamente a partir de ese nuevo punto de partida. Por ejemplo, en el conocido libro de texto de Kazimierz Kuratowski sobre topología de conjuntos puntuales , un espacio topológico se define como un conjunto junto con un cierto tipo de "operador de clausura", y todos los demás conceptos se derivan de allí. ^[2] Del mismo modo, los axiomas basados ​​en la vecindad (en el contexto de los espacios de Hausdorff ) se pueden rastrear hasta la definición original de Felix Hausdorff de un espacio topológico en Grundzüge der Mengenlehre . ^{[ cita requerida ]}

Muchos libros de texto diferentes utilizan muchas interdependencias diferentes de conceptos para desarrollar la topología de conjuntos puntuales. El resultado es siempre la misma colección de objetos: conjuntos abiertos, conjuntos cerrados, etc. Para muchos propósitos prácticos, la cuestión de qué base se elige es irrelevante, siempre que se comprenda el significado y la interrelación entre los objetos (muchos de los cuales se dan en este artículo), que son los mismos independientemente de la elección del desarrollo. Sin embargo, hay casos en los que puede ser útil tener flexibilidad. Por ejemplo, hay varias nociones naturales de convergencia de medidas , y no está inmediatamente claro si surgen de una estructura topológica o no. Tales preguntas se aclaran en gran medida con los axiomas topológicos basados ​​en la convergencia.

Definiciones estándar a través de conjuntos abiertos

Un espacio topológico es un conjunto junto con una colección de subconjuntos que satisfacen: ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

• El conjunto vacío y están en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$
• La unión de cualquier colección de conjuntos en también está en ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$
• La intersección de cualquier par de conjuntos en es también en De manera equivalente, la intersección de cualquier colección finita de conjuntos en es también en ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

Dado un espacio topológico, se hace referencia a los elementos de como conjuntos abiertos de y es común referirse a sólo de esta manera, o con la etiqueta topología . Luego se hacen las siguientes definiciones secundarias: ${\displaystyle (X,S),}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S}$

• Dado un segundo espacio topológico, se dice que una función es continua si y solo si para cada subconjunto abierto de uno tiene que es un subconjunto abierto de ^[4] ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$ ${\displaystyle X.}$
• Un subconjunto de es cerrado si y sólo si su complemento es abierto. ^[5] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\setminus C}$
• Dado un subconjunto del cierre es el conjunto de todos los puntos tales que cualquier conjunto abierto que contenga dicho punto debe intersecar ^[6] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A.}$
• Dado un subconjunto del interior es la unión de todos los conjuntos abiertos contenidos en ^[7] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A.}$
• Dado un elemento de uno se dice que un subconjunto es un vecindario de si y sólo si está contenido en un subconjunto abierto de que es también un subconjunto de ^[8] Algunos libros de texto usan "vecindario de " para referirse en cambio a un conjunto abierto que contiene ^[9] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$
• Se dice que una red converge a un punto de si para cualquier conjunto abierto que contiene la red está eventualmente contenido en ^[10] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle U.}$
• Dado un conjunto, un filtro es una colección de subconjuntos no vacíos de que está cerrado bajo intersección finita y bajo superconjuntos. ^[11] Algunos libros de texto permiten que un filtro contenga el conjunto vacío y reservan el nombre de "filtro apropiado" para el caso en el que se excluye. ^[12] Una topología en define una noción de un filtro que converge a un punto de al requerir que cualquier conjunto abierto que contenga sea un elemento del filtro. ^[13] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$
• Dado un conjunto, una base de filtros es una colección de subconjuntos no vacíos tales que cada dos subconjuntos se intersecan de manera no trivial y contienen un tercer subconjunto en la intersección. ^[14] Dada una topología en uno, se dice que una base de filtros converge a un punto si cada vecindario de contiene algún elemento de la base de filtros. ^[15] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Definición mediante conjuntos cerrados

Sea un espacio topológico. Según las leyes de De Morgan , la colección de conjuntos cerrados satisface las siguientes propiedades: ^[16] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$

• El conjunto vacío y son elementos de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$
• La intersección de cualquier colección de conjuntos en también está en ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T.}$
• La unión de cualquier par de conjuntos en también está en ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T.}$

Supongamos ahora que es sólo un conjunto. Dada cualquier colección de subconjuntos de los cuales satisfacen los axiomas anteriores, el conjunto correspondiente es una topología en y es la única topología en para la cual es la colección correspondiente de conjuntos cerrados. ^[17] Esto quiere decir que una topología puede definirse declarando los conjuntos cerrados. Como tal, se pueden reformular todas las definiciones para que sean en términos de conjuntos cerrados: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{U:X\setminus U\in T\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$

• Dado un segundo espacio topológico, una función es continua si y solo si para cada subconjunto cerrado del conjunto es cerrado como subconjunto de ^[18] ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$ ${\displaystyle X.}$
• un subconjunto de es abierto si y sólo si su complemento es cerrado. ^[19] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\setminus C}$
• Dado un subconjunto del cierre es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen ^[20] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A.}$
• Dado un subconjunto del interior es el complemento de la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X\setminus A.}$

Definición mediante operadores de cierre

Dado un espacio topológico, el cierre puede considerarse como una función donde denota el conjunto potencia de Uno tiene los siguientes axiomas de cierre de Kuratowski : ^[21] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \wp (X)\to \wp (X),}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X.}$

• ${\displaystyle A\subseteq \operatorname {cl} (A)}$
• ${\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {cl} (A))=\operatorname {cl} (A)}$
• ${\displaystyle \operatorname {cl} (A\cup B)=\operatorname {cl} (A)\cup \operatorname {cl} (B)}$
• ${\displaystyle \operatorname {cl} (\varnothing )=\varnothing }$

Si es un conjunto equipado con una función que satisface las propiedades anteriores, entonces el conjunto de todas las salidas posibles de cl satisface los axiomas anteriores para conjuntos cerrados y, por lo tanto, define una topología; es la única topología cuyo operador de cierre asociado coincide con el cl dado. ^[22] Como antes, se deduce que en un espacio topológico todas las definiciones pueden formularse en términos del operador de cierre: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$

• Dado un segundo espacio topológico una función es continua si y sólo si para cada subconjunto de uno se tiene que el conjunto es un subconjunto de ^[23] ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f(\operatorname {cl} (A))}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} (f(A)).}$
• Un subconjunto de es abierto si y sólo si ^[24] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} (X\setminus A)=X\setminus A.}$
• Un subconjunto de es cerrado si y sólo si ^[25] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} (C)=C.}$
• Dado un subconjunto del interior es el complemento de ^[26] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} (X\setminus A).}$

Definición mediante operadores interiores

Dado un espacio topológico el interior puede considerarse como una función donde denota el conjunto potencia de Satisface las siguientes condiciones: ^[27] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \wp (X)\to \wp (X),}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X.}$

• ${\displaystyle \operatorname {int} (A)\subseteq A}$
• ${\displaystyle \operatorname {int} (\operatorname {int} (A))=\operatorname {int} (A)}$
• ${\displaystyle \operatorname {int} (A\cap B)=\operatorname {int} (A)\cap \operatorname {int} (B)}$
• ${\displaystyle \operatorname {int} (X)=X}$

Si es un conjunto equipado con una función que satisface las propiedades anteriores, entonces el conjunto de todas las salidas posibles de int satisface los axiomas anteriores para conjuntos abiertos y, por lo tanto, define una topología; es la única topología cuyo operador interior asociado coincide con el int dado. ^[28] De ello se deduce que en un espacio topológico todas las definiciones pueden formularse en términos del operador interior, por ejemplo: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$

• Dados espacios topológicos y una función es continua si y sólo si para cada subconjunto de uno se tiene que el conjunto es un subconjunto de ^[29] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f^{-1}(\operatorname {int} (B))}$ ${\displaystyle \operatorname {int} (f^{-1}(B)).}$
• Un conjunto es abierto si y sólo si es igual a su interior. ^[30]
• La clausura de un conjunto es el complemento del interior de su complemento. ^[31]

Definición mediante operadores externos

Dado un espacio topológico el exterior puede considerarse como una función donde denota el conjunto potencia de Satisface las siguientes condiciones: ^[32] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \wp (X)\to \wp (X),}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X.}$

• ${\displaystyle \operatorname {ext} (\varnothing )=X}$
• ${\displaystyle A\cap \operatorname {ext} (A)=\varnothing }$
• ${\displaystyle \operatorname {ext} (X\setminus \operatorname {ext} (A))=\operatorname {ext} (A)}$
• ${\displaystyle \operatorname {ext} (A\cup B)=\operatorname {ext} (A)\cap \operatorname {ext} (B)}$

Si es un conjunto equipado con una función que satisface las propiedades anteriores, entonces podemos definir el operador interior y viceversa. Más precisamente, si definimos , satisface los axiomas del operador interior y, por lo tanto, define una topología. ^[33] Por el contrario, si definimos , satisface los axiomas anteriores. Además, esta correspondencia es 1-1. De ello se deduce que en un espacio topológico todas las definiciones pueden formularse en términos del operador exterior, por ejemplo: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{\operatorname {ext} }:\wp (X)\to \wp (X),\operatorname {int} _{\operatorname {ext} }=\operatorname {ext} (X\setminus A)}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{\operatorname {ext} }}$ ${\displaystyle \operatorname {ext} _{\operatorname {int} }:\wp (X)\to \wp (X),\operatorname {ext} _{\operatorname {int} }=\operatorname {int} (X\setminus A)}$ ${\displaystyle \operatorname {ext} _{\operatorname {int} }}$ ${\displaystyle X,}$

• El cierre de un conjunto es el complemento de su exterior, . ${\displaystyle \operatorname {cl} _{\operatorname {ext} }:\wp (X)\to \wp (X),\operatorname {cl} _{\operatorname {ext} }(A)=X\setminus \operatorname {ext} (A)}$

• Dado un segundo espacio topológico, una función es continua si y solo si para cada subconjunto de uno tiene que el conjunto es un subconjunto de Equivalentemente, es continua si y solo si para cada subconjunto de uno tiene que el conjunto es un subconjunto de ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f(X\setminus \operatorname {ext} (A))}$ ${\displaystyle X\setminus \operatorname {ext} (f(A)).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f^{-1}(\operatorname {ext} (X\setminus B))}$ ${\displaystyle \operatorname {ext} (X\setminus f^{-1}(B)).}$
• Un conjunto es abierto si y sólo si es igual al exterior de su complemento.
• Un conjunto es cerrado si y sólo si es igual al complemento de su exterior.

Definición mediante operadores de límite

Dado un espacio topológico el límite puede considerarse como una función donde denota el conjunto potencia de Satisface las siguientes condiciones: ^[32] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \wp (X)\to \wp (X),}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X.}$

• ${\displaystyle \partial A=\partial (X\setminus A)}$
• ${\displaystyle \partial (\partial (A))\subseteq \partial (A)}$
• ${\displaystyle \partial (A\cup B)\subseteq \partial (A)\cup \partial (B)}$
• ${\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow \partial A\subseteq B\cup \partial B}$
• ${\displaystyle \partial (\varnothing )=\varnothing }$

Si es un conjunto equipado con una función que satisface las propiedades anteriores, entonces podemos definir el operador de clausura y viceversa. Más precisamente, si definimos , satisface los axiomas de clausura y, por lo tanto, la operación de contorno define una topología. Por el contrario, si definimos , satisface los axiomas anteriores. Además, esta correspondencia es 1-1. De ello se deduce que en un espacio topológico todas las definiciones se pueden expresar en términos del operador de contorno, por ejemplo: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{\partial }:\wp (X)\to \wp (X),\operatorname {cl} _{\partial }(A)=A\cup \partial (A)}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{\partial }}$ ${\displaystyle \partial _{\operatorname {cl} }:\wp (X)\to \wp (X),\partial _{\operatorname {cl} }=\operatorname {cl} (A)\cap \operatorname {cl} (X\setminus A)}$ ${\displaystyle \partial _{\operatorname {cl} }}$ ${\displaystyle X,}$

• ${\displaystyle \operatorname {int} _{\partial }:\wp (X)\to \wp (X),\operatorname {int} _{\partial }(A)=A\setminus \partial (A)}$
• Un conjunto es abierto si y sólo si . ${\displaystyle \partial (A)\cap A=\varnothing }$
• Un conjunto es cerrado si y sólo si . ${\displaystyle \partial (A)\subseteq A}$

Definición a través de conjuntos derivados

El conjunto derivado de un subconjunto de un espacio topológico es el conjunto de todos los puntos que son puntos límite de , es decir, puntos tales que cada entorno de contiene un punto de distinto de él mismo. El conjunto derivado de , denotado , satisface las siguientes condiciones: ^[32] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S^{*}}$

• ${\displaystyle \varnothing ^{*}=\varnothing }$
• A pesar de ${\displaystyle x\in X,x\not \in \{x\}^{*}}$
• ${\displaystyle A^{**}\subseteq A\cup A^{*}}$
• ${\displaystyle (A\cup B)^{*}=A^{*}\cup B^{*}}$

Dado que un conjunto es cerrado si y solo si , ^[34] el conjunto derivado define de manera única una topología. De ello se deduce que en un espacio topológico todas las definiciones pueden expresarse en términos de conjuntos derivados, por ejemplo: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\subseteq S^{*}}$ ${\displaystyle X,}$

• ${\displaystyle \operatorname {cl} (A)=A\cup A^{*}}$.

• Dados espacios topológicos y una función es continua si y sólo si para cada subconjunto de uno se tiene que el conjunto es un subconjunto de . ^[35] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f(B^{*})}$ ${\displaystyle {f(B)}^{*}\cup f(B)}$

Definición por barrios

Recordemos que este artículo sigue la convención de que un vecindario no es necesariamente abierto. En un espacio topológico, se tienen los siguientes hechos: ^[36]

• Si es un vecindario de entonces es un elemento de ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U.}$
• La intersección de dos vecindarios de es un vecindario de De manera equivalente, la intersección de un número finito de vecindarios de es un vecindario de ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$
• Si contiene un vecindario de entonces es un vecindario de ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x.}$
• Si es un vecindario de entonces existe un vecindario de tal que es un vecindario de cada punto de . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

Si es un conjunto y se declara una colección no vacía de vecindades para cada punto de que satisface las condiciones anteriores, entonces una topología se define declarando que un conjunto es abierto si y sólo si es una vecindad de cada uno de sus puntos; es la única topología cuyo sistema asociado de vecindades es como se da. ^[36] De ello se deduce que en un espacio topológico todas las definiciones se pueden formular en términos de vecindades: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$

• Dado otro espacio topológico, un mapa es continuo si y solo para cada elemento de y cada vecindad de la preimagen es una vecindad de ^[37] ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle f^{-1}(B)}$ ${\displaystyle x.}$
• Un subconjunto de es abierto si y sólo si es un vecindario de cada uno de sus puntos. ${\displaystyle X}$
• Dado un subconjunto del interior es la colección de todos los elementos de tal que es un vecindario de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$
• Dado un subconjunto del cierre es la colección de todos los elementos de tal manera que cada vecindad de interseca ^[38] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A.}$

Definición por convergencia de redes

La convergencia de redes satisface las siguientes propiedades: ^{[39] [40]}

1. Toda red constante converge hacia sí misma.
2. Cada subred de una red convergente converge a los mismos límites.
3. Si una red no converge a un punto , entonces hay una subred tal que ninguna otra subred converge a . De manera equivalente, si es una red tal que cada una de sus subredes tiene una subsubred que converge a un punto y luego converge a ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x.}$
4. Principio diagonal /Convergencia de límites iterados. Sieny para cada índicehay una red queconverge aenentonces existe una (sub)red diagonal deque converge a ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle \left(x_{a}^{i}\right)_{i\in I_{a}}}$ ${\displaystyle x_{a}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \left(x_{a}^{i}\right)_{a\in A,i\in I_{a}}}$ ${\displaystyle x.}$
   • ALa red diagonal se refiere a cualquiersubredde ${\displaystyle \left(x_{a}^{i}\right)_{a\in A,i\in I_{a}}.}$
   • La notación denota la red definida por cuyo dominio es el conjunto ordenado lexicográficamente primero por y luego por ^[40] explícitamente, dados dos pares cualesquiera, se declara que se cumple si y solo si tanto (1) como también (2) si entonces ${\displaystyle \left(x_{a}^{i}\right)_{a\in A,i\in I_{a}}}$ ${\displaystyle (a,i)\mapsto x_{a}^{i}}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{a\in A}}A\times I_{a}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I_{a};}$ ${\displaystyle (a_{1},i_{1}),\left(a_{2},i_{2}\right)\in {\textstyle \bigcup \limits _{a\in A}}A\times I_{a},}$ ${\displaystyle (a_{1},i_{1})\leq \left(a_{2},i_{2}\right)}$ ${\displaystyle a_{1}\leq a_{2},}$ ${\displaystyle a_{1}=a_{2}}$ ${\displaystyle i_{1}\leq i_{2}.}$

Si es un conjunto, entonces, dada una noción de convergencia neta (que indica qué redes convergen a qué puntos ^[40] ) que satisface los cuatro axiomas anteriores, se define un operador de cierre en enviando cualquier conjunto dado al conjunto de todos los límites de todas las redes valoradas en la topología correspondiente, que es la única topología que induce las convergencias dadas de las redes a los puntos. ^[39] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A;}$

Dado un subconjunto de un espacio topológico ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X:}$

• ${\displaystyle A}$está abierto si y sólo si cada red que converge a un elemento de está eventualmente contenida en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$
• El cierre de in es el conjunto de todos los límites de todas las redes convergentes valoradas en ^{[41] [40]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A.}$
• ${\displaystyle A}$es cerrado en si y sólo si no existe una red en que converja a un elemento del complemento ^[42] Un subconjunto es cerrado en si y sólo si cada punto límite de cada red convergente en necesariamente pertenece a ^[43] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X\setminus A.}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$

Una función entre dos espacios topológicos es continua si y sólo si para cada red en que converge a en la red ^{[nota 1]} converge a en ^[44] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle Y.}$

Definición por convergencia de filtros

Una topología también se puede definir en un conjunto declarando qué filtros convergen a qué puntos. ^{[ cita requerida ]} Se tienen las siguientes caracterizaciones de objetos estándar en términos de filtros y prefiltros (también conocidos como bases de filtros):

• Dado un segundo espacio topológico, una función es continua si y sólo si preserva la convergencia de los prefiltros . ^[45] ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$
• Un subconjunto de es abierto si y sólo si cada filtro que converge a un elemento de contiene ^[46] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$
• Un subconjunto de es cerrado si y sólo si no existe un prefiltro en el que converge a un punto en el complemento ^[47] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X\setminus A.}$
• Dado un subconjunto del cierre que consta de todos los puntos para los cuales hay un prefiltro al converger a ^[48] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x.}$
• Un subconjunto de es un vecindario de si y sólo si es un elemento de cada filtro que converge a ^[46] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

Véase también

• Espacio de Cauchy  : concepto de topología general y análisis
• Espacio de convergencia  – Generalización de la noción de convergencia que se encuentra en la topología general
• Filtros en topología  – Uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
• Espacio secuencial  – Espacio topológico caracterizado por secuencias
• Topología (estructura)  : Colección de subconjuntos abiertos de un espacio topológico

Citas

1. Dugundji 1966; Engelking 1977; Kelly 1955.
2. Kuratowski 1966, pág. 38.
3. Dugundji 1966, pág.62; Engelking 1977, páginas 11-12; Kelley 1955, pág.37; Kuratowski 1966, pág.45.
4. Dugundji 1966, pág.79; Engelking 1977, páginas 27-28; Kelley 1955, pág.85; Kuratowski 1966, p.105.
5. Dugundji 1966, pág.68; Engelking 1977, p.13; Kelley 1955, pág.40.
6. Dugundji 1966, pág.69; Engelking 1977, p.13.
7. Dugundji 1966, pág.71; Engelking 1977, p.14; Kelley 1955, pág.44; Kuratowski 1966, p.58.
8. Kelley 1955, p.38; Kuratowski 1966, p.61.
9. Dugundji 1966, pág.63; Engelking 1977, p.12.
10. Dugundji 1966, p.210; Engelking 1977, p.49; Kelley 1955, pág.66; Kuratowski 1966, p.203.
11. Engelking 1977, pág. 52; Kelley 1955, pág. 83.
12. Kuratowski 1966, pág.6.
13. Engelking 1977, p.52; Kelley 1955, pág.83; Kuratowski 1966, p.63.
14. Dugundji 1966, 211; Engelking 1977, p.52.
15. Dugundji 1966, p.212; Engelking 1977, p.52.
16. Dugundji 1966, pág.69; Engelking 1977, p.13; Kelley 1955, pág.40; Kuratowski 1966, p.44.
17. Dugundji 1966, pág.74; Engelking 1977, p.22; Kelley 1955, pág.40; Kuratowski 1966, p.44.
18. Dugundji 1966, pág.79; Engelking 1977, p.28; Kelley 1955, pág.86; Kuratowski 1966, p.105.
19. Kelley 1955, pág.41.
20. Dugundji 1966, pág.70; Engelking 1977; Kelley 1955, pág.42.
21. Dugundji 1966, páginas 69-70; Engelking 1977, p.14; Kelley 1955, páginas 42-43.
22. Dugundji 1966, pág.73; Engelking 1977, p.22; Kelley 1955, pág.43.
23. Dugundji 1966, pág.80; Engelking 1977, p.28; Kelley 1955, pág.86; Kuratowski 1966, p.105.
24. Kuratowski 1966, pág. 43.
25. Dugundji 1966, pág. 69; Kelley 1955, pág. 42; Kuratowski 1966, pág. 43.
26. Dugundji 1966, pág.71; Engelking 1977, p.15; Kelley 1955, páginas 44-45; Kuratowski 1966, p.55.
27. Engelking 1977, pág. 15.
28. Dugundji 1966, pág.74; Engelking 1977, p.23.
29. Engelking 1977, p.28; Kuratowski 1966, p.103.
30. Dugundji 1966, pág.71; Kelley 1955, pág.44.
31. Kelley 1955, págs. 44-45.
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44. Engelking 1977, pág. 51; Kelley 1955, pág. 86.
45. Dugundji 1966, p.216; Engelking 1977, p.52.
46. Kelley 1955, pág.83.
47. Dugundji 1966, pág. 215.
48. Dugundji 1966, p.215; Engelking 1977, p.52.

Notas

1. Suponiendo que la red está indexada por (de modo que es solo una notación para la función que envía ) entonces denota la composición de con Es decir, es la función ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:I\to X}$ ${\displaystyle i\mapsto x_{i}}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:I\to X}$ ${\displaystyle f:X\to Y.}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right):=f\circ x_{\bullet }=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle f\circ x_{\bullet }:I\to Y.}$

Referencias

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