Espacio palmeado

En matemáticas , particularmente en análisis funcional , un espacio en red es un espacio vectorial topológico diseñado con el objetivo de permitir que los resultados del teorema de aplicación abierta y del teorema de grafo cerrado se cumplan para una clase más amplia de aplicaciones lineales cuyos codominios son espacios en red. Un espacio se denomina en red si existe una colección de conjuntos , llamada red , que satisface ciertas propiedades. Las redes fueron investigadas por primera vez por de Wilde.

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Sea un espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff . ${\estilo de visualización X}$ La red es una colección estratificada dediscosque satisfacen los siguientes requisitos de absorbencia y convergencia.^[1]

Estrato 1 : El primer estrato debe estar constituido por una secuencia de discos de tal manera que su unión absorba $D_{1},D_{2},D_{3},\ldots$ ${\estilo de visualización X}$ $\bigcup _{i\in \mathbb {N} }D_{i}$ ${\estilo de visualización X.}$
Estrato 2 : Para cada disco del primer estrato, debe existir una secuencia de discos en tal que para cada : y absorbe Los conjuntos formarán el segundo estrato. $D_{i}$ $D_{i1},D_{i2},D_{i3},\ldots$ $X$ $D_{i}$ $D_{ij}\subseteq \left({\tfrac {1}{2}}\right)D_{i}\quad {\text{ for every }}j$ $\cup _{j\in \mathbb {N} }D_{ij}$ $D_{i}.$ $\left(D_{ij}\right)_{i,j\in \mathbb {N} }$
Estrato 3 : A cada disco del segundo estrato, se le asigna otra secuencia de discos que satisfacen propiedades definidas análogamente; explícitamente, esto significa que para cada : y absorbe Los conjuntos forman el tercer estrato. $D_{ij}$ $D_{ij1},D_{ij2},D_{ij3},\ldots$ $X$ $D_{i,j}$ $D_{ijk}\subseteq \left({\tfrac {1}{2}}\right)D_{ij}\quad {\text{ for every }}k$ $\cup _{k\in \mathbb {N} }D_{ijk}$ $D_{ij}.$ $\left(D_{ijk}\right)_{i,j,k\in \mathbb {N} }$

Continúe este proceso para definir estratos. Es decir, utilice la inducción para definir estrato en términos de estrato. $4,5,\ldots .$ $n+1$ $n.$

ALa hebra es una secuencia de discos, en la que el primer disco se selecciona del primer estrato, por ejemplo, y el segundo se selecciona de la secuencia que se asoció con,y así sucesivamente. También requerimos que sise selecciona una secuencia de vectores de una hebra (quepertenece al primer disco de la hebra,pertenece al segundo, y así sucesivamente), entonces la serieconverge. $D_{i},$ $D_{i},$ $(x_{n})$ $x_{1}$ $x_{2}$ $\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$

Un espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff en el que se puede definir una red se denominaespacio palmeado

Ejemplos y condiciones suficientes

Teorema ^[2] (de Wilde 1978) : Un espacio vectorial topológico es un espacio de Fréchet si y solo si es a la vez un espacio reticulado y un espacio de Baire . $X$

Todos los espacios siguientes están cubiertos por una red:

Espacios de Fréchet . ^[2]
Límites proyectivos y límites inductivos de sucesiones de espacios reticulados.
Un subespacio vectorial cerrado secuencialmente de un espacio reticulado. ^[3]
Productos contables de espacios interconectados. ^[3]
Un cociente de Hausdorff de un espacio en red. ^[3]
La imagen de un espacio palmeado bajo un mapa lineal secuencialmente continuo si esa imagen es de Hausdorff . ^[3]
La bornologificación de un espacio en red.
El espacio dual continuo de un espacio localmente convexo metrizable dotado de la topología dual fuerte está reticulado. ^[2]
Si es el límite inductivo estricto de una familia numerable de espacios metrizables localmente convexos, entonces el espacio dual continuo de con la topología fuerte está en red. ^[4] $X$ $X$
- Así, en particular, los duales fuertes de espacios metrizables localmente convexos están entrelazados. ^[5]
Si es un espacio en membrana, entonces cualquier topología localmente convexa de Hausdorff más débil que esta topología (en membrana) también es en membrana. ^[3] $X$

Teoremas

Teorema de grafos cerrados ^[6] — Sea una función lineal entre sistemas transitorios de transmisión que está cerrada secuencialmente (lo que significa que su grafo es un subconjunto secuencialmente cerrado de ). Si es un espacio en red y es un espacio ultrabornológico (como un espacio de Fréchet o un límite inductivo de espacios de Fréchet), entonces es continua. $A:X\to Y$ $X\times Y$ $Y$ $X$ $A$

Teorema de grafos cerrados : cualquier mapa lineal cerrado desde el límite inductivo de espacios localmente convexos de Baire hacia un espacio localmente convexo en forma de membrana es continuo.

Teorema de aplicación abierta : cualquier aplicación lineal sobreyectiva continua desde un espacio localmente convexo en membrana hasta un límite inductivo de espacios localmente convexos de Baire es abierta.

Teorema de Mapeo Abierto ^[6] — Cualquier mapa lineal sobreyectivo continuo desde un espacio localmente convexo en forma de membrana hacia un espacio ultrabornológico es abierto.

Teorema de Mapeo Abierto ^[6] — Si la imagen de un operador lineal cerrado desde un espacio interconectado localmente convexo hacia un espacio localmente convexo de Hausdorff no es exigua , entonces es un mapa abierto sobreyectivo. $A:X\to Y$ $X$ $Y$ $Y$ $A:X\to Y$

Si los espacios no son localmente convexos, entonces existe una noción de red donde el requisito de ser un disco se reemplaza por el requisito de ser equilibrado . Para tal noción de red tenemos los siguientes resultados:

Teorema del grafo cerrado : cualquier mapa lineal cerrado desde el límite inductivo de los espacios vectoriales topológicos de Baire hacia un espacio vectorial topológico en red es continuo.

Véase también

Mapa lineal casi abierto – Mapa que satisface una condición similar a la de ser un mapa abierto.
Espacio en barril : tipo de espacio vectorial topológico
Grafo cerrado – Gráfica de un mapa cerrado en el espacio del producto
Teorema de grafos cerrados (análisis funcional) : teoremas que conectan la continuidad con el cierre de grafos
Operador lineal cerrado
Mapa lineal discontinuo
Espacio F : espacio vectorial topológico con una métrica completamente invariante a la traslación
Espacio de Fréchet : un espacio vectorial topológico localmente convexo que también es un espacio métrico completo
Teorema del punto fijo de Kakutani : Teorema del punto fijo para funciones con valores conjuntos
Espacio vectorial topológico metrizable : un espacio vectorial topológico cuya topología se puede definir mediante una métrica
Teorema de aplicación abierta (análisis funcional) : condición para que un operador lineal sea abierto
Teorema de Ursescu : generalización del grafo cerrado, aplicación abierta y teorema de acotación uniforme

Citas

^ Narici y Beckenstein 2011, págs. 470−471.
^ abc Narici y Beckenstein 2011, pág. 472.
^ abcde Narici y Beckenstein 2011, pag. 481.
^ Narici y Beckenstein 2011, pág. 473.
^ Narici y Beckenstein 2011, págs. 459–483.
^ abc Narici y Beckenstein 2011, págs. 474–476.

Referencias

De Wilde, Marc (1978). Teoremas de grafos cerrados y espacios en red . Londres: Pitman.
Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 936. Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-11565-6.OCLC 8588370 .
Kriegl, Andreas; Michor, Peter W. (1997). El marco conveniente del análisis global (PDF) . Encuestas y monografías matemáticas. Vol. 53. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-0780-4.OCLC 37141279 .
Kriegl, Andreas; Michor, Peter W. (1997). El contexto conveniente del análisis global . Encuestas y monografías matemáticas. American Mathematical Society . pp. 557–578. ISBN 9780821807804.
Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834 .
Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135 .