Espacio vectorial normado

Espacio vectorial en el que se define una distancia

Jerarquía de espacios matemáticos. Los espacios vectoriales normados son un superconjunto de espacios de producto interno y un subconjunto de espacios métricos , que a su vez es un subconjunto de espacios topológicos .

En matemáticas , un espacio vectorial normado o espacio normado es un espacio vectorial sobre los números reales o complejos en los que se define una norma . ^[1] Una norma es una generalización de la noción intuitiva de "longitud" en el mundo físico. Si es un espacio vectorial sobre , donde es un cuerpo igual a o a , entonces una norma sobre es una función , denotada típicamente por , que satisface los siguientes cuatro axiomas: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$

1. No negatividad: para cada , . ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle \;\lVert x\rVert \geq 0}$
2. Definitividad positiva: para todo , si y sólo si es el vector cero. ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle \;\lVert x\rVert =0}$ ${\displaystyle x}$
3. Homogeneidad absoluta: para cada y , ${\displaystyle \lambda \in K}$ ${\displaystyle x\in V}$ $${\displaystyle \lVert \lambda x\rVert =|\lambda |\,\lVert x\rVert }$$
4. Desigualdad triangular : para cada y , ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle y\in V}$ $${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}$$

Si es un espacio vectorial real o complejo como el anterior, y es una norma en , entonces el par ordenado se denomina espacio vectorial normado. Si el contexto deja claro a qué norma se refiere, entonces es común denotar el espacio vectorial normado simplemente por . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (V,\lVert \cdot \rVert )}$ ${\displaystyle V}$

Una norma induce una distancia , llamada su métrica inducida (por la norma) , mediante la fórmula que convierte cualquier espacio vectorial normado en un espacio métrico y en un espacio vectorial topológico . Si este espacio métrico es completo , entonces el espacio normado es un espacio de Banach . Todo espacio vectorial normado puede "extenderse de forma única" a un espacio de Banach, lo que hace que los espacios normados estén íntimamente relacionados con los espacios de Banach. Todo espacio de Banach es un espacio normado, pero la inversa no es cierta. Por ejemplo, el conjunto de las sucesiones finitas de números reales puede normarse con la norma euclidiana , pero no es completo para esta norma. $${\displaystyle d(x,y)=\|y-x\|.}$$

Un espacio producto interior es un espacio vectorial normado cuya norma es la raíz cuadrada del producto interior de un vector por sí mismo. La norma euclidiana de un espacio vectorial euclidiano es un caso especial que permite definir la distancia euclidiana mediante la fórmula $${\displaystyle d(A,B)=\|{\overrightarrow {AB}}\|.}$$

El estudio de los espacios normados y los espacios de Banach es una parte fundamental del análisis funcional , un subcampo importante de las matemáticas.

Definición

Un espacio vectorial normado es un espacio vectorial dotado de una norma .Un espacio vectorial seminormado es un espacio vectorial equipado con unaseminorma.

Una variación útil de la desigualdad triangular es para cualquier vector y $${\displaystyle \|x-y\|\geq |\|x\|-\|y\||}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y.}$

Esto también demuestra que una norma vectorial es una función (uniformemente) continua .

La propiedad 3 depende de la elección de una norma en el campo de escalares. Cuando el campo escalar es (o más generalmente un subconjunto de ), se suele tomar como el valor absoluto ordinario , pero son posibles otras opciones. Por ejemplo, para un espacio vectorial sobre uno se podría tomar como el valor absoluto -ádico . ${\displaystyle |\alpha |}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle |\alpha |}$ ${\displaystyle p}$

Estructura topológica

Si es un espacio vectorial normado, la norma induce una métrica (una noción de distancia ) y por tanto una topología en Esta métrica se define de forma natural: la distancia entre dos vectores y viene dada por Esta topología es precisamente la topología más débil que hace continua y que es compatible con la estructura lineal de en el siguiente sentido: ${\displaystyle (V,\|\,\cdot \,\|)}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|.}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$ ${\displaystyle V}$

1. La suma vectorial es continua conjuntamente con respecto a esta topología. Esto se deduce directamente de la desigualdad triangular . ${\displaystyle \,+\,:V\times V\to V}$
2. La multiplicación escalar donde es el campo escalar subyacente de es conjuntamente continua. Esto se desprende de la desigualdad triangular y de la homogeneidad de la norma. ${\displaystyle \,\cdot \,:\mathbb {K} \times V\to V,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle V,}$

De manera similar, para cualquier espacio vectorial semirnormalizado podemos definir la distancia entre dos vectores y como Esto convierte el espacio semirnormalizado en un espacio pseudométrico (nótese que es más débil que una métrica) y permite la definición de nociones como continuidad y convergencia . Para decirlo de manera más abstracta, todo espacio vectorial semirnormalizado es un espacio vectorial topológico y, por lo tanto, tiene una estructura topológica que es inducida por la semirnormalización. ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|.}$

De especial interés son los espacios normados completos , que se conocen como espacios de Banach . Todo espacio vectorial normado se encuentra como un subespacio denso dentro de algún espacio de Banach; este espacio de Banach está definido esencialmente de manera única por y se denomina completitud de ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V.}$

Dos normas en el mismo espacio vectorial se denominan equivalentes si definen la misma topología . En un espacio vectorial de dimensión finita, todas las normas son equivalentes, pero esto no es cierto para espacios vectoriales de dimensión infinita.

Todas las normas en un espacio vectorial de dimensión finita son equivalentes desde un punto de vista topológico, ya que inducen la misma topología (aunque los espacios métricos resultantes no necesitan ser los mismos). ^[2] Y dado que cualquier espacio euclidiano es completo, podemos concluir que todos los espacios vectoriales normados de dimensión finita son espacios de Banach. Un espacio vectorial normado es localmente compacto si y solo si la bola unidad es compacta , lo que es el caso si y solo si es de dimensión finita; esto es una consecuencia del lema de Riesz . (De hecho, un resultado más general es verdadero: un espacio vectorial topológico es localmente compacto si y solo si es de dimensión finita. El punto aquí es que no asumimos que la topología proviene de una norma). ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B=\{x:\|x\|\leq 1\}}$ ${\displaystyle V}$

La topología de un espacio vectorial semirregulado tiene muchas propiedades interesantes. Dado un sistema de vecindad alrededor de 0, podemos construir todos los demás sistemas de vecindad como con ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0)}$ $${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)=x+{\mathcal {N}}(0):=\{x+N:N\in {\mathcal {N}}(0)\}}$$ $${\displaystyle x+N:=\{x+n:n\in N\}.}$$

Además, existe una base de vecindad para el origen que consiste en conjuntos absorbentes y convexos . Como esta propiedad es muy útil en el análisis funcional , las generalizaciones de espacios vectoriales normados con esta propiedad se estudian bajo el nombre de espacios localmente convexos .

Una norma (o seminorma ) en un espacio vectorial topológico es continua si y sólo si la topología que la induce es más burda que (es decir, ), lo que sucede si y sólo si existe alguna bola abierta en (tal como por ejemplo ) que esté abierta en (dicho diferente, tal que ). ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau _{\|\cdot \|}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau _{\|\cdot \|}\subseteq \tau }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle \{x\in X:\|x\|<1\}}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle B\in \tau }$

Espacios normalizables

Un espacio vectorial topológico se denomina normable si existe una norma en tal que la métrica canónica induce la topología en El siguiente teorema se debe a Kolmogorov : ^[3] ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto \|y-x\|}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X.}$

Criterio de normabilidad de Kolmogorov : Un espacio vectorial topológico de Hausdorff es normable si y sólo si existe unentorno convexo, acotado por von Neumann , de ${\displaystyle 0\in X.}$

Un producto de una familia de espacios normables es normable si y solo si solo un número finito de los espacios no son triviales (es decir, ). ^[3] Además, el cociente de un espacio normable por un subespacio vectorial cerrado es normable, y si además la topología de está dada por una norma entonces la función dada por es una norma bien definida en que induce la topología del cociente en ^[4] ${\displaystyle \neq \{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\,\cdot ,\|}$ ${\displaystyle X/C\to \mathbb {R} }$ ${\textstyle x+C\mapsto \inf _{c\in C}\|x+c\|}$ ${\displaystyle X/C}$ ${\displaystyle X/C.}$

Si es un espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff , entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$es normalizable.
2. ${\displaystyle X}$tiene un vecindario acotado del origen.
3. El espacio dual fuerte de es normable. ^[5] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$
4. El espacio dual fuerte de es metrizable . ^[5] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$

Además, es de dimensión finita si y sólo si es normable (aquí denota que está dotado de la topología débil-* ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

La topología del espacio de Fréchet tal como se define en el artículo sobre espacios de funciones de prueba y distribuciones , está definida por una familia contable de normas pero no es un espacio normable porque no existe ninguna norma sobre tal que la topología que esta norma induce sea igual a ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle C^{\infty }(K),}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle C^{\infty }(K)}$ ${\displaystyle \tau .}$

Incluso si un espacio vectorial topológico metrizable tiene una topología definida por una familia de normas, puede no obstante no ser un espacio normable (lo que significa que su topología no puede definirse por ninguna norma individual ). Un ejemplo de dicho espacio es el espacio de Fréchet cuya definición se puede encontrar en el artículo sobre espacios de funciones de prueba y distribuciones , porque su topología está definida por una familia numerable de normas pero no es un espacio normable porque no existe ninguna norma en tal que la topología que esta norma induce sea igual a De hecho, la topología de un espacio localmente convexo puede definirse por una familia de normas en si y solo si existe al menos una norma continua en ^[6] ${\displaystyle C^{\infty }(K),}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle C^{\infty }(K)}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Mapas lineales y espacios duales

Las aplicaciones más importantes entre dos espacios vectoriales normalizados son las aplicaciones lineales continuas . Junto con estas aplicaciones, los espacios vectoriales normalizados forman una categoría .

La norma es una función continua en su espacio vectorial. Todas las funciones lineales entre espacios vectoriales de dimensión finita también son continuas.

Una isometría entre dos espacios vectoriales normados es una función lineal que conserva la norma (es decir, para todos los vectores ). Las isometrías son siempre continuas e inyectivas . Una isometría sobreyectiva entre los espacios vectoriales normados y se denomina isomorfismo isométrico , y y se denominan isométricamente isomorfos . Los espacios vectoriales normados isométricamente isomorfos son idénticos a todos los efectos prácticos. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f(\mathbf {v} )\|=\|\mathbf {v} \|}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

Cuando hablamos de espacios vectoriales normados, ampliamos la noción de espacio dual para tener en cuenta la norma. El dual de un espacio vectorial normado es el espacio de todas las aplicaciones lineales continuas de al cuerpo base (los complejos o los reales); dichas aplicaciones lineales se denominan "funcionales". La norma de un funcional se define como el supremo de donde abarca todos los vectores unitarios (es decir, vectores de norma ) en Esto se convierte en un espacio vectorial normado. Un teorema importante sobre funcionales lineales continuos en espacios vectoriales normados es el teorema de Hahn-Banach . ${\displaystyle V^{\prime }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle |\varphi (\mathbf {v} )|}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle V^{\prime }}$

Los espacios normados como espacios cociente de espacios semirregulados

La definición de muchos espacios normados (en particular, los espacios de Banach ) implica una seminorma definida en un espacio vectorial y, a continuación, el espacio normado se define como el espacio cociente por el subespacio de elementos de seminorma cero. Por ejemplo, con los espacios , la función definida por es una seminorma en el espacio vectorial de todas las funciones en las que la integral de Lebesgue en el lado derecho está definida y es finita. Sin embargo, la seminorma es igual a cero para cualquier función admitida en un conjunto de medida de Lebesgue cero. Estas funciones forman un subespacio que "eliminamos por cociente", lo que las hace equivalentes a la función cero. ${\displaystyle L^{p}}$ $${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int |f(x)|^{p}\;dx\right)^{1/p}}$$

Espacios de productos finitos

Dados espacios seminormados con seminormas denotan el espacio producto por donde la suma vectorial se define como y la multiplicación escalar se define como ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left(X_{i},q_{i}\right)}$ ${\displaystyle q_{i}:X_{i}\to \mathbb {R} ,}$ $${\displaystyle X:=\prod _{i=1}^{n}X_{i}}$$ $${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)+\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right):=\left(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n}\right)}$$ $${\displaystyle \alpha \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(\alpha x_{1},\ldots ,\alpha x_{n}\right).}$$

Definir una nueva función por la cual es una seminorma en La función es una norma si y sólo si todas son normas. ${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\sum _{i=1}^{n}q_{i}\left(x_{i}\right),}$$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q_{i}}$

En términos más generales, para cada real la función definida por es una seminorma. Para cada una de estas se define el mismo espacio topológico. ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(\sum _{i=1}^{n}q_{i}\left(x_{i}\right)^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}$$ ${\displaystyle p}$

Un argumento sencillo que involucra álgebra lineal elemental muestra que los únicos espacios seminormados de dimensión finita son aquellos que surgen como el espacio producto de un espacio normado y un espacio con seminorma trivial. En consecuencia, muchos de los ejemplos y aplicaciones más interesantes de espacios seminormados ocurren para espacios vectoriales de dimensión infinita.

Véase también

• Espacio de Banach , espacios vectoriales normados que son completos con respecto a la métrica inducida por la norma.
• Banach-Mazur compactum  - Concepto en análisis funcional
• Variedad de Finsler , donde la longitud de cada vector tangente está determinada por una norma
• Espacio de producto interno , espacios vectoriales normados donde la norma está dada por un producto interno
• Criterio de normabilidad de Kolmogorov  – Caracterización de espacios normables
• Espacio vectorial topológico localmente convexo : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
• Espacio (matemáticas) : conjunto matemático con cierta estructura añadida
• Espacio vectorial topológico  – Espacio vectorial con noción de proximidad

Referencias

1. Callier, Frank M. (1991). Teoría de sistemas lineales . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97573-X.
2. Kedlaya, Kiran S. (2010),Ecuaciones diferenciales p -ádicas , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 125, Cambridge University Press , CiteSeerX  10.1.1.165.270 , ISBN 978-0-521-76879-5, Teorema 1.3.6
3. Schaefer 1999, pág. 41.
4. Schaefer 1999, pág. 42.
5. Trèves 2006, págs. 136–149, 195–201, 240–252, 335–390, 420–433.
6. Jarchow 1981, pág. 130. sfn error: no target: CITEREFJarchow1981 (help)

Bibliografía

• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .
• Banach, Stefan (1932). Théorie des Opérations Linéaires [ Teoría de las operaciones lineales ] (PDF) . Monografie Matematyczne (en francés). vol. 1. Varsovia: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl  0005.20901. Archivado desde el original (PDF) el 11 de enero de 2014 . Consultado el 11 de julio de 2020 .
• Rolewicz, Stefan (1987), Análisis funcional y teoría de control: sistemas lineales , Matemáticas y sus aplicaciones (Serie de Europa del Este), vol. 29 (traducido del polaco por Ewa Bednarczuk ed.), Dordrecht; Varsovia: D. Reidel Publishing Co.; PWN—Editorial científica polaca, pp. xvi+524, doi :10.1007/978-94-015-7758-8, ISBN 90-277-2186-6, MR  0920371, OCLC  13064804
• Schaefer, HH (1999). Espacios vectoriales topológicos . Nueva York, NY: Springer New York. Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .

Enlaces externos

• Medios relacionados con Espacios normados en Wikimedia Commons