Soporte (matemáticas)

Parte del dominio de una función matemática donde la función toma valores distintos de cero

En matemáticas , el soporte de una función de valor real es el subconjunto del dominio de la función que contiene los elementos que no se asignan a cero. Si el dominio de es un espacio topológico , entonces el soporte de se define como el conjunto cerrado más pequeño que contiene todos los puntos que no se asignan a cero. Este concepto se utiliza ampliamente en el análisis matemático . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Formulación

Supongamos que es una función de valor real cuyo dominio es un conjunto arbitrario . ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X.}$El soporte teórico delo escritoes el conjunto de puntos endondees distinto de cero: ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \operatorname {supp} (f)=\{x\in X\,:\,f(x)\neq 0\}.}$$

El soporte de es el subconjunto más pequeño de con la propiedad de que es cero en el complemento del subconjunto. Si para todos los puntos excepto un número finito de ellos , entonces se dice que tiene ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle f}$soporte finito

Si el conjunto tiene una estructura adicional (por ejemplo, una topología ), entonces el soporte de se define de manera análoga como el subconjunto más pequeño de de un tipo apropiado tal que se anule en un sentido apropiado en su complemento. La noción de soporte también se extiende de manera natural a funciones que toman valores en conjuntos más generales que y a otros objetos, como medidas o distribuciones . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Soporte cerrado

La situación más común ocurre cuando es un espacio topológico (como la línea real o el espacio euclidiano de dimensión 1 ) y es una función continua de valor real (o complejo ). En este caso, la ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$apoyo de ${\displaystyle f}$,, o el ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$El soporte cerrado de , se define topológicamente como elcierre(tomado en) del subconjunto dedondees distinto de cero^[1][2][3]es decir, ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \operatorname {supp} (f):=\operatorname {cl} _{X}\left(\{x\in X\,:\,f(x)\neq 0\}\right)={\overline {f^{-1}\left(\{0\}^{\mathrm {c} }\right)}}.}$$

Dado que la intersección de conjuntos cerrados es cerrada, es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen el soporte teórico de conjuntos de ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$ ${\displaystyle f.}$

Por ejemplo, si es la función definida por entonces , el soporte de , o el soporte cerrado de , es el intervalo cerrado ya que es distinto de cero en el intervalo abierto y el cierre de este conjunto es ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1-x^{2}&{\text{if }}|x|<1\\0&{\text{if }}|x|\geq 1\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [-1,1],}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (-1,1)}$ ${\displaystyle [-1,1].}$

La noción de soporte cerrado se aplica generalmente a funciones continuas, pero la definición tiene sentido para funciones reales o de valores complejos arbitrarios en un espacio topológico, y algunos autores no requieren que (o ) sean continuas. ^[4] ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$

Soporte compacto

Funciones conLos soportes compactos en un espacio topológicoson aquellos cuyo soporte cerrado es unsubconjuntocompactoSies la recta real, oespacio euclidiano -dimensional, entonces una función tiene soporte compacto si y solo si tiene ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$soporte acotado , ya que un subconjunto dees compacto si y sólo si es cerrado y acotado. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Por ejemplo, la función definida anteriormente es una función continua con soporte compacto. Si es una función suave, entonces, dado que es idénticamente en el subconjunto abierto, todas las derivadas parciales de de todos los órdenes también son idénticamente en ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [-1,1].}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \operatorname {supp} (f),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \operatorname {supp} (f).}$

La condición de soporte compacto es más fuerte que la condición de anulación en el infinito . Por ejemplo, la función definida por se anula en el infinito, ya que como pero su soporte no es compacto. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$$ ${\displaystyle f(x)\to 0}$ ${\displaystyle |x|\to \infty ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Las funciones suaves con soporte compacto y valores reales en un espacio euclidiano se denominan funciones bump . Los suavizadores son un caso especial importante de funciones bump, ya que se pueden utilizar en la teoría de la distribución para crear secuencias de funciones suaves que se aproximan a funciones no suaves (generalizadas) mediante convolución .

En buenos casos , las funciones con soporte compacto son densas en el espacio de funciones que se desvanecen en el infinito, pero esta propiedad requiere algo de trabajo técnico para justificarla en un ejemplo dado. Como intuición para ejemplos más complejos, y en el lenguaje de los límites , para cualquier función en la recta real que se desvanece en el infinito se puede aproximar eligiendo un subconjunto compacto apropiado de tal que para todo donde es la función indicadora de Toda función continua en un espacio topológico compacto tiene soporte compacto ya que todo subconjunto cerrado de un espacio compacto es de hecho compacto. ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \left|f(x)-I_{C}(x)f(x)\right|<\varepsilon }$$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle I_{C}}$ ${\displaystyle C.}$

Soporte esencial

Si es un espacio de medida topológica con una medida de Borel (como o un subconjunto medible de Lebesgue de equipado con una medida de Lebesgue), entonces uno típicamente identifica funciones que son iguales -casi en todas partes-. En ese caso, la ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mu }$El soporte esencial de una función medibleescritase define como el subconjunto cerrado más pequeñodetal que-casi en todas partes fuera deEquivalentemente,es el complemento delconjunto abiertoen el que-casi en todas partes^[5] ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f),}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f)}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f):=X\setminus \bigcup \left\{\Omega \subseteq X:\Omega {\text{ is open and }}f=0\,\mu {\text{-almost everywhere in }}\Omega \right\}.}$$

El soporte esencial de una función depende de la medida así como de y puede ser estrictamente menor que el soporte cerrado. Por ejemplo, si es la función de Dirichlet que está en números irracionales y en números racionales, y está dotada de medida de Lebesgue, entonces el soporte de es todo el intervalo pero el soporte esencial de está vacío, ya que es igual casi en todas partes a la función cero. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

En el análisis casi siempre se desea utilizar el soporte esencial de una función, en lugar de su soporte cerrado, cuando los dos conjuntos son diferentes, por lo que a menudo se escribe simplemente como y se hace referencia a él como el soporte. ^{[5] [6]} ${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f)}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$

Generalización

Si es un conjunto arbitrario que contiene cero, el concepto de soporte es inmediatamente generalizable a funciones El soporte también puede definirse para cualquier estructura algebraica con identidad (como un grupo , un monoide o un álgebra de composición ), en la que el elemento identidad asume el papel de cero. Por ejemplo, la familia de funciones desde los números naturales hasta los enteros es el conjunto incontable de secuencias de números enteros. La subfamilia es el conjunto contable de todas las secuencias de números enteros que tienen solo un número finito de entradas distintas de cero. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f:X\to M.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \left\{f\in \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }:f{\text{ has finite support }}\right\}}$

Las funciones de soporte finito se utilizan para definir estructuras algebraicas como anillos de grupo y grupos abelianos libres . ^[7]

En teoría de probabilidad y medida

En teoría de la probabilidad , el soporte de una distribución de probabilidad puede considerarse, en términos generales, como el cierre del conjunto de valores posibles de una variable aleatoria que tiene esa distribución. Sin embargo, hay algunas sutilezas que se deben tener en cuenta cuando se trabaja con distribuciones generales definidas en un álgebra sigma , en lugar de en un espacio topológico.

Más formalmente, si es una variable aleatoria en entonces el soporte de es el conjunto cerrado más pequeño tal que ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R_{X}\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle P\left(X\in R_{X}\right)=1.}$

En la práctica, sin embargo, el soporte de una variable aleatoria discreta a menudo se define como el conjunto y el soporte de una variable aleatoria continua se define como el conjunto donde es una función de densidad de probabilidad de (el soporte teórico de conjuntos). ^[8] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R_{X}=\{x\in \mathbb {R} :P(X=x)>0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R_{X}=\{x\in \mathbb {R} :f_{X}(x)>0\}}$ ${\displaystyle f_{X}(x)}$ ${\displaystyle X}$

Téngase en cuenta que la palabra soporte puede referirse al logaritmo de la probabilidad de una función de densidad de probabilidad. ^[9]

Soporte de una distribución

También es posible hablar del soporte de una distribución , como la función delta de Dirac en la línea real. En ese ejemplo, podemos considerar funciones de prueba que son funciones suaves con soporte que no incluyen el punto Dado que (la distribución aplicada como funcional lineal a ) es para tales funciones, podemos decir que el soporte de es solo. Dado que las medidas (incluidas las medidas de probabilidad ) en la línea real son casos especiales de distribuciones, también podemos hablar del soporte de una medida de la misma manera. ${\displaystyle \delta (x)}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \delta (F)}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \{0\}}$

Supongamos que es una distribución, y que es un conjunto abierto en el espacio euclidiano tal que, para todas las funciones de prueba tales que el soporte de está contenido en Entonces se dice que se anula en Ahora, si se anula en una familia arbitraria de conjuntos abiertos, entonces para cualquier función de prueba que se apoya en un argumento simple basado en la compacidad del soporte de y una partición de la unidad demuestra que también. Por lo tanto, podemos definir el soporte de como el complemento del conjunto abierto más grande en el que se anula. Por ejemplo, el soporte del delta de Dirac es ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle f(\phi )=0.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\textstyle \bigcup U_{\alpha },}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle f(\phi )=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{0\}.}$

Apoyo singular

En particular, en el análisis de Fourier , es interesante estudiar lasoporte singular de una distribución. Esto tiene la interpretación intuitiva como el conjunto de puntos en los que una distribucióndeja de ser una función uniforme.

Por ejemplo, la transformada de Fourier de la función escalonada de Heaviside puede, hasta factores constantes, considerarse como (una función) excepto en Si bien es claramente un punto especial, es más preciso decir que la transformada de la distribución tiene un soporte singular : no puede expresarse con precisión como una función en relación con funciones de prueba con soporte que incluyen Puede expresarse como una aplicación de una integral impropia de valor principal de Cauchy . ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle x=0.}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle 0.}$

Para distribuciones con varias variables, los soportes singulares permiten definir conjuntos de frentes de onda y comprender el principio de Huygens en términos de análisis matemático . Los soportes singulares también pueden utilizarse para comprender fenómenos propios de la teoría de distribuciones, como los intentos de "multiplicar" distribuciones (el cuadrado de la función delta de Dirac falla, esencialmente porque los soportes singulares de las distribuciones que se van a multiplicar deben ser disjuntos).

Familia de apoyos

Una noción abstracta deLa familia de soportes en unespacio topológico adecuado parala teoría de hacesfue definida porHenri Cartan. Al extenderla dualidad de Poincaréavariedadesque no son compactas, la idea de "soporte compacto" entra naturalmente en un lado de la dualidad; véase por ejemplola cohomología de Alexander-Spanier. ${\displaystyle X,}$

Bredon, Sheaf Theory (2.ª edición, 1997) da estas definiciones. Una familia de subconjuntos cerrados de es una familia de apoyos , si es cerrada hacia abajo y cerrada bajo unión finita . Su extensión es la unión sobre Una familia paracompactante de apoyos que satisface además que cualquier en es, con la topología de subespacio , un espacio paracompacto ; y tiene algunos en los que es un vecindario . Si es un espacio localmente compacto , asumido Hausdorff , la familia de todos los subconjuntos compactos satisface las condiciones adicionales, lo que la hace paracompactante. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Phi .}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle X}$

Véase también

• Función acotada  : Función matemática cuyo conjunto de valores está acotado.
• Función Bump  : función de soporte suave y compacto
• Soporte de un módulo
• Teorema de convolución de Titchmarsh

Citas

1. Folland, Gerald B. (1999). Análisis real, 2.ª ed . Nueva York: John Wiley. pág. 132.
2. Hörmander, Lars (1990). Ecuaciones diferenciales parciales lineales I, 2ª ed . Berlín: Springer-Verlag. pag. 14.
3. Pascucci, Andrea (2011). Métodos PDE y Martingala en la valoración de opciones . Serie Bocconi & Springer. Berlín: Springer-Verlag. pág. 678. doi :10.1007/978-88-470-1781-8. ISBN 978-88-470-1780-1.
4. Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo, 3.ª ed . Nueva York: McGraw-Hill. pág. 38.
5. Lieb, Elliott ; Loss, Michael (2001). Análisis . Estudios de posgrado en matemáticas. Vol. 14 (2.ª ed.). Sociedad matemática estadounidense . pág. 13. ISBN 978-0821827833.
6. De manera similar, se utiliza el supremo esencial de una función medible en lugar de su supremo.
7. Tomasz, Kaczynski (2004). Homología computacional . Mischaikow, Konstantin Michael, y Mrozek, Marian. Nueva York: Springer. pag. 445.ISBN​ 9780387215976.OCLC 55897585  .
8. Taboga, Marco. "Soporte de una variable aleatoria". statlect.com . Consultado el 29 de noviembre de 2017 .
9. Edwards, AWF (1992). Likelihood (Ed. ampliada). Baltimore: Johns Hopkins University Press. págs. 31–34. ISBN 0-8018-4443-6.

Referencias

• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .