Criterio de normabilidad de Kolmogorov

Caracterización de espacios normables

En matemáticas , el criterio de normabilidad de Kolmogorov es un teorema que proporciona una condición necesaria y suficiente para que un espacio vectorial topológico sea normable ; es decir, para la existencia de una norma en el espacio que genera la topología dada . ^{[1] [2]} El criterio de normabilidad puede verse como un resultado en la misma línea que el teorema de metrización de Nagata-Smirnov y el teorema de metrización de Bing , que proporciona una condición necesaria y suficiente para que un espacio topológico sea metrizable . El resultado fue demostrado por el matemático ruso Andrey Nikolayevich Kolmogorov en 1934. ^{[3] [4] [5]}

Enunciado del teorema

Criterio de normabilidad de Kolmogorov  :  Un espacio vectorial topológico es normable si y sólo si es un espacio T 1 y admite un vecindario convexo acotado del origen.

Dado que la traslación (es decir, la suma de vectores) por una constante preserva la convexidad, la acotación y la apertura de los conjuntos , las palabras "del origen" pueden reemplazarse por "de algún punto" o incluso por "de cada punto".

Definiciones

Puede ser útil recordar primero los siguientes términos:

• Un espacio vectorial topológico (TVS) es un espacio vectorial equipado con una topología tal que las operaciones de espacio vectorial de multiplicación escalar y suma vectorial son continuas. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$
• Un espacio vectorial topológico se denomina normable si existe una norma en tal que las bolas abiertas de la norma generan la topología dada (nótese bien que un espacio vectorial topológico normable dado podría admitir múltiples normas de este tipo). ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \|\cdot \|:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \tau .}$
• Un espacio topológico se denomina espacio T 1 si, para cada dos puntos distintos existe un entorno abierto de que no contiene En un espacio vectorial topológico, esto es equivalente a requerir que, para cada, exista un entorno abierto del origen que no contenga Nótese que ser T ₁ es más débil que ser un espacio de Hausdorff , en el que cada dos puntos distintos admiten entornos abiertos de y de con ; dado que los espacios normados y normables son siempre de Hausdorff, es una "sorpresa" que el teorema solo requiera T ₁ . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle U_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y.}$ ${\displaystyle x\neq 0,}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle U_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U_{y}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle U_{x}\cap U_{y}=\varnothing }$
• Un subconjunto de un espacio vectorial es un conjunto convexo si, para dos puntos cualesquiera, el segmento de línea que los une se encuentra completamente dentro de él, es decir, para todos ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y\in A,}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1,}$ ${\displaystyle (1-t)x+ty\in A.}$
• Un subconjunto de un espacio vectorial topológico es un conjunto acotado si, para cada entorno abierto del origen, existe un escalar tal que (se puede pensar que es "pequeño" y que es "lo suficientemente grande" como para inflarse hasta cubrir ) ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A\subseteq \lambda U.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A.}$

Véase también

• Espacio vectorial topológico localmente convexo  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
• Espacio vectorial normado  : espacio vectorial en el que se define una distancia
• Espacio vectorial topológico  – Espacio vectorial con noción de proximidad

Referencias

1. Papageorgiou, Nikolaos S.; Winkert, Patricio (2018). Análisis funcional no lineal aplicado: una introducción. Walter de Gruyter. Teorema 3.1.41 (Criterio de normabilidad de Kolmogorov). ISBN 9783110531831.
2. Edwards, RE (2012). "Sección 1.10.7: Criterio de normabilidad de Kolmagorov". Análisis funcional: teoría y aplicaciones . Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. págs. 85–86. ISBN. 9780486145105.
3. Berberian, Sterling K. (1974). Lecciones de análisis funcional y teoría de operadores . Textos de posgrado en matemáticas, n.º 15. Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 0387900802.
4. Kolmogorov, AN (1934). "Zur Normierbarkeit eines allgemeinen topologischen linearen Räumes". Estudia Matemáticas . 5 .
5. Tikhomirov, Vladimir M. (2007). "Geometría y teoría de aproximación en las obras de A. N. Kolmogorov". En Charpentier, Éric; Lesne, Annick; Nikolski, Nikolaï K. (eds.). La herencia de Kolmogorov en las matemáticas . Berlín: Springer. págs. 151–176. doi :10.1007/978-3-540-36351-4_8.(Véase la Sección 8.1.3)