Espacio distinguido

TVS cuyo fuerte dual está acorralado

En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , los espacios distinguidos son espacios vectoriales topológicos (TVS) que tienen la propiedad de que los subconjuntos débilmente acotados de sus biduales (es decir, el espacio dual fuerte de su espacio dual fuerte) están contenidos en el cierre débilmente acotado de algún subconjunto acotado del bidual.

Definición

Supóngase que es un espacio localmente convexo y sea y el dual fuerte de (es decir, el espacio dual continuo de dotado de la topología dual fuerte ). Sea el espacio dual continuo de y sea el dual fuerte de Sea dotado de la topología débil-* inducida por donde esta topología se denota por (es decir, la topología de convergencia puntual en ). Decimos que un subconjunto de es -acotado si es un subconjunto acotado de y llamamos al cierre de en el TVS el -cierre de . Si es un subconjunto de entonces la polar de es ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }.}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{b\in B}\left\langle b,x^{\prime }\right\rangle \leq 1\right\}.}$

Un espacio localmente convexo de Hausdorff se denomina espacio distinguido si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle X}$

1. Si es un subconjunto acotado de entonces existe un subconjunto acotado de cuya clausura contiene . ^[1] ${\displaystyle W\subseteq X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle W}$
2. Si es un subconjunto acotado de entonces existe un subconjunto acotado de tal que está contenido en el cual es el polar (relativo a la dualidad ) de ^[1] ${\displaystyle W\subseteq X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle B^{\circ \circ }:=\left\{x^{\prime \prime }\in X^{\prime \prime }:\sup _{x^{\prime }\in B^{\circ }}\left\langle x^{\prime },x^{\prime \prime }\right\rangle \leq 1\right\},}$ ${\displaystyle \left\langle X^{\prime },X^{\prime \prime }\right\rangle }$ ${\displaystyle B^{\circ }.}$
3. El dual fuerte de es un espacio en forma de barril . ^[1] ${\displaystyle X}$

Si además hay un espacio vectorial topológico localmente convexo metrizable , entonces esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle X}$

4. ( Grothendieck ) El dual fuerte de es un espacio bornológico . ^[1] ${\displaystyle X}$

Condiciones suficientes

Todos los espacios normados y semirreflexivos son espacios distinguidos. ^[2] Los espacios LF son espacios distinguidos.

El espacio dual fuerte de un espacio de Fréchet se distingue si y sólo si es cuasibarrelled . ^[3] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Propiedades

Todo espacio distinguido localmente convexo es un H-espacio . ^[2]

Ejemplos

Existen espacios de Banach distinguidos que no son semirreflexivos . ^[1] El dual fuerte de un espacio de Banach distinguido no es necesariamente separable ; es un espacio de este tipo. ^[4] El espacio dual fuerte de un espacio de Fréchet distinguido no es necesariamente metrizable . ^[1] Existe un espacio de Mackey distinguido , semirreflexivo , no reflexivo , no cuasibarrelizado , cuyo dual fuerte es un espacio de Banach no reflexivo. ^[1] Existen H-espacios que no son espacios distinguidos. ^[1] ${\displaystyle l^{1}}$ ${\displaystyle X}$

Los espacios Fréchet Montel son espacios distinguidos.

Véase también

• Espacio de Montel  : espacio en barril donde los subconjuntos cerrados y acotados son compactos
• Espacio semirreflexivo

Referencias

1. Khaleelulla 1982, págs. 32–63.
2. Khaleelulla 1982, págs.
3. Gabriyelyan, SS "Sobre espacios topológicos y grupos topológicos con ciertas redes contables locales (2014)
4. Khaleelulla 1982, págs. 32–630.

Bibliografía

• Bourbaki, Nicolás (1950). "Sur sures espaces vectoriels topologiques". Annales de l'Institut Fourier (en francés). 2 : 5-16 (1951). doi : 10.5802/aif.16 . SEÑOR  0042609.
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Espacios vectoriales topológicos . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 53. Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7.OCLC 589250  .
• Husain, Taqdir; Khaleelulla, SM (1978). Barrelización en espacios vectoriales topológicos y ordenados . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 692. Berlín, Nueva York, Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-09096-0.OCLC 4493665  .
• Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4.OCLC 8210342  .
• Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 936. Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-11565-6.OCLC 8588370  .
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .