Conjunto de bornívoros

Un conjunto que puede absorber cualquier subconjunto acotado

En el análisis funcional , un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo que tiene una bornología vectorial asociada se denomina bornívoro y es bornívoro si absorbe cada elemento de Si es un espacio vectorial topológico (TVS), entonces un subconjunto de es bornívoro si es bornívoro con respecto a la bornología de von-Neumann de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Los conjuntos bornívoros juegan un papel importante en las definiciones de muchas clases de espacios vectoriales topológicos, particularmente espacios bornológicos .

Definiciones

Si es un TVS entonces un subconjunto de se llama ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$bornívoro ^[1]y unbornívoro siabsorbecadasubconjunto acotadode ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$

Un disco absorbente en un espacio localmente convexo es bornívoro si y solo si su funcional de Minkowski está acotado localmente (es decir, asigna conjuntos acotados a conjuntos acotados). ^[1]

Conjuntos infrabornívoros y mapas infralimitados

Un mapa lineal entre dos TVS se llamainfralimitado si asignadiscos de Banacha discos delimitados.^[2]

Un disco se llama ${\displaystyle X}$infrabornívoro siabsorbetodoslos discos de Banach.^[3]

Un disco absorbente en un espacio localmente convexo es infrabornívoro si y solo si su funcional de Minkowski está infralimitado. ^[1] Un disco en un espacio localmente convexo de Hausdorff es infrabornívoro si y solo si absorbe todos los discos compactos (es decir, si es "compactívoro "). ^[1]

Propiedades

Cada subconjunto bornívoro e infrabornívoro de un TVS es absorbente . En un TVS pseudometrizable , cada bornívoro es un vecindario del origen. ^[4]

Dos topologías TVS en el mismo espacio vectorial tienen los mismos subconjuntos acotados si y solo si tienen los mismos bornívoros. ^[5]

Supóngase que es un subespacio vectorial de codimensión finita en un espacio localmente convexo y Si es un barril (resp. barril bornívoro, disco bornívoro) en entonces existe un barril (resp. barril bornívoro, disco bornívoro) en tal que ^[6] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq M.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B=C\cap M.}$

Ejemplos y condiciones suficientes

Cada vecindario del origen en un TVS es bornívoro. La envoltura convexa, la envoltura convexa cerrada y la envoltura equilibrada de un conjunto bornívoro son nuevamente bornívoras. La preimagen de un bornívoro bajo una función lineal acotada es un bornívoro. ^[7]

Si es un TVS en el que cada subconjunto acotado está contenido en un subespacio vectorial de dimensión finita, entonces cada conjunto absorbente es un bornívoro. ^[5] ${\displaystyle X}$

Contraejemplos

Sea un espacio vectorial sobre los números reales. Si es la envoltura equilibrada del segmento de recta cerrado entre y entonces no es bornívoro pero la envoltura convexa de sí lo es. Si es el triángulo cerrado y "lleno" con vértices y entonces es un conjunto convexo que no es bornívoro pero su envoltura equilibrada sí lo es. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (-1,1)}$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (-1,-1),(-1,1),}$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle T}$

Véase también

• Operador lineal acotado  – Transformación lineal entre espacios vectoriales topológicosPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)  : generalización de la acotación
• Espacio bornológico  : espacio donde los operadores acotados son continuos
• Bornología  – Generalización matemática de la acotación
• Espacio de aplicaciones lineales
• Espacio ultrabornológico
• Bornología vectorial

Referencias

1. Narici y Beckenstein 2011, págs. 441–457.
2. Narici y Beckenstein 2011, pág. 442.
3. Narici y Beckenstein 2011, pág. 443.
4. Narici y Beckenstein 2011, págs. 172-173.
5. Wilansky 2013, pág. 50.
6. Narici y Beckenstein 2011, págs. 371–423.
7. Wilansky 2013, pág. 48.

Bibliografía

• Adasch, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Espacios vectoriales topológicos: la teoría sin condiciones de convexidad . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 639. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-08662-8.OCLC 297140003  .
• Berberian, Sterling K. (1974). Lecciones de análisis funcional y teoría de operadores . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 15. Nueva York: Springer. ISBN. 978-0-387-90081-0.OCLC 878109401  .
• Bourbaki, Nicolás (1987) [1981]. Espacios vectoriales topológicos: capítulos 1 a 5 . Elementos matemáticos . Traducido por Eggleston, HG; Madan, S. Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4.OCLC 17499190  .
• Conway, John B. (1990). Un curso de análisis funcional . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 96 (2.ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-0-387-97245-9.OCLC 21195908  .
• Edwards, Robert E. (1995). Análisis funcional: teoría y aplicaciones . Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6.OCLC 30593138  .
• Grothendieck, Alexander (1973). Espacios vectoriales topológicos . Traducido por Chaljub, Orlando. Nueva York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7.OCLC 886098  .
• Hogbe-Nlend, Henri (1977). Bornologías y análisis funcional: Curso introductorio sobre la teoría de la dualidad Topología-Bornología y su uso en el análisis funcional . Estudios matemáticos de Holanda Septentrional. Vol. 26. Ámsterdam, Nueva York, Nueva York: Holanda Septentrional. ISBN 978-0-08-087137-0. Sr.  0500064. OCLC  316549583.
• Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4.OCLC 8210342  .
• Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Espacios vectoriales topológicos I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 159. Traducido por Garling, DJH Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Sr.  0248498. OCLC  840293704.
• Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 936. Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-11565-6.OCLC 8588370  .
• Kriegl, Andreas; Michor, Peter W. (1997). El marco conveniente del análisis global (PDF) . Encuestas y monografías matemáticas. Vol. 53. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-0780-4.OCLC 37141279  .
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4.OCLC 849801114  .