Sobreyección de espacios de Fréchet

Caracterización de la sobreyectividad

El teorema sobre la sobreyección de espacios de Fréchet es un teorema importante, debido a Stefan Banach , ^[1] que caracteriza cuándo un operador lineal continuo entre espacios de Fréchet es sobreyectivo.

La importancia de este teorema está relacionada con el teorema de aplicación abierta , que establece que una sobreyección lineal continua entre espacios de Fréchet es una aplicación abierta . A menudo, en la práctica, uno sabe que tiene una aplicación lineal continua entre espacios de Fréchet y desea demostrar que es sobreyectiva para usar el teorema de aplicación abierta para deducir que también es una aplicación abierta. Este teorema puede ayudar a alcanzar ese objetivo.

Preliminares, definiciones y notación

Sea una función lineal continua entre espacios vectoriales topológicos . ${\displaystyle L:X\to Y}$

El espacio dual continuo de se denota por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$

La transpuesta de es el mapa definido por Si es sobreyectiva entonces será inyectiva , pero lo inverso no es cierto en general. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {}^{t}L:Y^{\prime }\to X^{\prime }}$ ${\displaystyle L\left(y^{\prime }\right):=y^{\prime }\circ L.}$ ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle {}^{t}L:Y^{\prime }\to X^{\prime }}$

La topología débil en (resp. ) se denota por (resp. ). El conjunto dotado de esta topología se denota por La topología es la topología más débil en hacer que todos los funcionales lineales sean continuos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right).}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Si entonces el polar de in se denota por ${\displaystyle S\subseteq Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle S^{\circ }.}$

Si es una seminorma en , entonces se denotará el espacio vectorial dotado de la topología TVS más débil que lo hace continuo. ^[1] Una base de vecindad de en el origen consiste en los conjuntos como rangos sobre los reales positivos. Si no es una norma entonces no es Hausdorff y es un subespacio lineal de . Si es continuo entonces el mapa identidad es continuo por lo que podemos identificar el espacio dual continuo de como un subconjunto de a través de la transposición del mapa identidad que es inyectiva . ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{p}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X_{p}}$ ${\displaystyle \left\{x\in X:p(x)<r\right\}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X_{p}}$ ${\displaystyle \ker p:=\left\{x\in X:p(x)=0\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} :X\to X_{p}}$ ${\displaystyle X_{p}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{p}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {Id} :X_{p}^{\prime }\to X^{\prime },}$

Sobreyección de espacios de Fréchet

Teorema ^[1]  (Banach)  :  Si es una función lineal continua entre dos espacios de Fréchet, entonces es sobreyectiva si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes: ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle L:X\to Y}$

1. ${\displaystyle {}^{t}L:Y^{\prime }\to X^{\prime }}$es inyectiva , y
2. La imagen de denotado por está débilmente cerrada en (es decir, cerrada cuando está dotada de la topología débil-*). ${\displaystyle {}^{t}L,}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} {}^{t}L,}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Extensiones del teorema

Teorema ^[1]  —  Si es una función lineal continua entre dos espacios de Fréchet entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle L:X\to Y}$

1. ${\displaystyle L:X\to Y}$es sobreyectiva.
2. Se cumplen las dos condiciones siguientes:
   1. ${\displaystyle {}^{t}L:Y^{\prime }\to X^{\prime }}$es inyectiva ;
   2. La imagen de está débilmente cerrada en ${\displaystyle \operatorname {Im} {}^{t}L}$ ${\displaystyle {}^{t}L}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$
3. Para cada seminorma continua en existe una seminorma continua en tal que se cumplen las siguientes condiciones: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Y}$
   1. para cada existe algo tal que ; ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle q(L(x)-y)=0}$
   2. para cada si entonces ${\displaystyle y^{\prime }\in Y,}$ ${\displaystyle {}^{t}L\left(y^{\prime }\right)\in X_{p}^{\prime }}$ ${\displaystyle y^{\prime }\in Y_{q}^{\prime }.}$
4. Para cada seminorma continua de existe un subespacio lineal de tal que se cumplen las siguientes condiciones: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Y}$
   1. para cada existe algo tal que ; ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle L(x)-y\in N}$
   2. para cada si entonces ${\displaystyle y^{\prime }\in Y^{\prime },}$ ${\displaystyle {}^{t}L\left(y^{\prime }\right)\in X_{p}^{\prime }}$ ${\displaystyle y^{\prime }\in N^{\circ }.}$
5. Existe una secuencia no creciente de subespacios lineales cerrados cuya intersección es igual a y tales que se cumplen las siguientes condiciones: ${\displaystyle N_{1}\supseteq N_{2}\supseteq N_{3}\supseteq \cdots }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \{0\}}$
   1. para cada entero positivo , existe alguno tal que ; ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle L(x)-y\in N_{k}}$
   2. para cada seminorma continua en existe un entero tal que cualquier que satisfaga es el límite, en el sentido de la seminorma , de una sucesión en elementos de tal que para todo ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle L(x)\in N_{k}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\left(x_{i}\right)=0}$ ${\displaystyle i.}$

Lemas

Los siguientes lemas se utilizan para demostrar los teoremas sobre la sobreyectividad de los espacios de Fréchet. Son útiles incluso por sí solos.

Teorema ^[1]  —  Sea un espacio de Fréchet y un subespacio lineal de Son equivalentes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$

1. ${\displaystyle Z}$está débilmente cerrado en ; ${\displaystyle X^{\prime }}$
2. Existe una base de vecindades del origen de tal que para cada es débilmente cerrado; ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle B^{\circ }\cap Z}$
3. La intersección de con cada subconjunto equicontinuo de es relativamente cerrada en (donde se da la topología débil inducida por y se da la topología del subespacio inducida por ). ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Teorema ^[1]  —  En el dual de un espacio de Fréchet , la topología de convergencia uniforme en subconjuntos convexos compactos de es idéntica a la topología de convergencia uniforme en subconjuntos compactos de . ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Teorema ^[1]  —  Sea una función lineal entre sistemas de TVS localmente convexos de Hausdorff , con también metrizables . Si la función es continua entonces es continua (donde y llevan sus topologías originales). ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L:\left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)\to \left(Y,\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)\right)}$ ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Aplicaciones

Teorema de Borel sobre desarrollos en series de potencias

Teorema ^[2]  (E. Borel)  —  Fijemos un entero positivo . Si es una serie de potencias formal arbitraria en indeterminados con coeficientes complejos entonces existe una función cuya expansión de Taylor en el origen es idéntica a . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle P}$

Es decir, supongamos que para cada -tupla de números enteros no negativos se nos da un número complejo (sin restricciones). Entonces existe una función tal que para cada -tupla ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p=\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)}$ ${\displaystyle a_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a_{p}=\left(\partial /\partial x\right)^{p}f{\bigg \vert }_{x=0}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p.}$

Operadores diferenciales parciales lineales

Teorema ^[3]  —  Sea un operador diferencial parcial lineal con coeficientes en un subconjunto abierto Los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}.}$

1. Para cada uno existe algo tal que ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle u\in {\mathcal {C}}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle Du=f.}$
2. ${\displaystyle U}$es -convexo y se puede resolver de forma semiglobal. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle D}$ser semiglobalmente resoluble en ${\displaystyle U}$ significa que para cada subconjunto abierto relativamente compacto de , se cumple la siguiente condición: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$

A cada uno hay algo tal que en . ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle Dg=f}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle U}$ser -convexo significa que para cada subconjunto compacto y cada entero existe un subconjunto compacto de tal que para cada distribución con soporte compacto en , se cumple la siguiente condición: ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle n\geq 0,}$ ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle U}$

si es de orden y si entonces ${\displaystyle {}^{t}Dd}$ ${\displaystyle \leq n}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} {}^{t}Dd\subseteq K,}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} d\subseteq C_{n}.}$

Véase también

• Epimorfismo  – Homomorfismo sobreyectivo
• Fórmula exponencial
• Teorema de aplicación abierta (análisis funcional)  : condición para que un operador lineal sea abierto

Referencias

1. Trèves 2006, págs. 378–384.
2. Trèves 2006, pág. 390.
3. Trèves 2006, pág. 392.

Bibliografía

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .