Teorema de la inversa acotada

En matemáticas , el teorema inverso acotado (también llamado teorema de mapeo inverso o teorema del isomorfismo de Banach ) es un resultado de la teoría de operadores lineales acotados en espacios de Banach . Afirma que un operador lineal biyectivo acotado T de un espacio de Banach a otro tiene inverso acotado T ⁻¹ . Es equivalente tanto al teorema de mapeo abierto como al teorema del grafo cerrado .

Generalización

Teorema ^[1]  -  Si A  : X → Y es una biyección lineal continua de un espacio vectorial topológico pseudometrizable (TVS) completo en un TVS de Hausdorff que es un espacio de Baire , entonces A  : X → Y es un homeomorfismo (y por lo tanto un isomorfismo de TVS).

Contraejemplo

Este teorema puede no ser válido para espacios normados que no están completos. Por ejemplo, considere el espacio X de secuencias x  :  N  →  R con solo un número finito de términos distintos de cero equipados con la norma suprema . El mapa T  :  X  →  X definido por

${\displaystyle Tx=\left(x_{1},{\frac {x_{2}}{2}},{\frac {x_{3}}{3}},\dots \right)}$

es acotado, lineal e invertible, pero T ⁻¹ es ilimitado. Esto no contradice el teorema de la inversa acotada ya que X no es completo y, por tanto, no es un espacio de Banach. Para ver que no está completo, considere la secuencia de secuencias x ^{( n )}  ∈  X dada por

${\displaystyle x^{(n)}=\left(1,{\frac {1}{2}},\dots ,{\frac {1}{n}},0,0,\dots \right)}$

converge como n  → ∞ a la secuencia x ^(∞) dada por

${\displaystyle x^{(\infty )}=\left(1,{\frac {1}{2}},\dots ,{\frac {1}{n}},\dots \right),}$

que tiene todos sus términos distintos de cero y, por tanto, no se encuentra en X .

La finalización de X es el espacio de todas las secuencias que convergen a cero, que es un subespacio (cerrado) del espacio ℓ p ℓ _∞ ( N ), que es el espacio de todas las secuencias acotadas. Sin embargo, en este caso, el mapa T no es sobre y, por tanto, no es una biyección. Para ver esto, basta con observar que la secuencia ${\displaystyle c_{0}}$

${\displaystyle x=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\dots \right),}$

es un elemento de , pero no está en el rango de . ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle T:c_{0}\to c_{0}}$

Ver también

• Mapa lineal casi abierto  – Mapa que satisface una condición similar a la de ser un mapa abierto.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Gráfico cerrado  : gráfico de un mapa cerrado en el espacio del producto.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Teorema del gráfico cerrado  : teorema que relaciona la continuidad con los gráficos
• Teorema de mapeo abierto (análisis funcional)  : condición para que un operador lineal esté abierto
• Sobreyección de espacios de Fréchet  – Caracterización de la sobreyección
• Espacio palmeado  : espacio donde se mantienen los teoremas de mapeo abierto y gráfico cerrado

Referencias

1. Narici y Beckenstein 2011, pag. 469.

Bibliografía

• Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Espacios vectoriales topológicos I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 159. Traducido por Garling, DJH Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. SEÑOR  0248498. OCLC  840293704.
• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Una introducción a las ecuaciones diferenciales parciales . Textos de Matemática Aplicada 13 (Segunda ed.). Nueva York: Springer-Verlag. págs.356. ISBN 0-387-00444-0.(Sección 8.2)
• Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.