En matemáticas , en el área de la teoría de categorías , un funtor olvidadizo (también conocido como funtor de despojo ) 'olvida' o elimina parte o toda la estructura o propiedades de la entrada 'antes' de mapearlas a la salida. Para una estructura algebraica de una firma dada , esto se puede expresar acortando la firma: la nueva firma es una forma editada de la anterior. Si la firma se deja como una lista vacía, el funtor simplemente debe tomar el conjunto subyacente de una estructura. Debido a que muchas estructuras en matemáticas consisten en un conjunto con una estructura adicional agregada, un funtor olvidadizo que se mapea al conjunto subyacente es el caso más común.
Como ejemplo, hay varios funtores olvidadizos de la categoría de anillos conmutativos . Un anillo ( unital ) , descrito en el lenguaje del álgebra universal , es una tupla ordenada que satisface ciertos axiomas, donde y son funciones binarias en el conjunto , es una operación unaria correspondiente a la inversa aditiva, y 0 y 1 son operaciones nularias que dan las identidades de las dos operaciones binarias. Borrar el 1 da un funtor olvidadizo a la categoría de anillos sin unidad ; simplemente "olvida" la unidad. Borrar y 1 produce un funtor a la categoría de grupos abelianos , que asigna a cada anillo el grupo abeliano aditivo subyacente de . A cada morfismo de anillos se le asigna la misma función considerada simplemente como un morfismo de adición entre los grupos subyacentes. Borrar todas las operaciones da el funtor al conjunto subyacente .
Es conveniente distinguir entre los funtores olvidadizos que "olvidan la estructura" y los que "olvidan las propiedades". Por ejemplo, en el ejemplo anterior de anillos conmutativos, además de los funtores que eliminan algunas de las operaciones, hay funtores que olvidan algunos de los axiomas. Hay un funtor de la categoría CRing to Ring que olvida el axioma de conmutatividad, pero mantiene todas las operaciones. Ocasionalmente, el objeto puede incluir conjuntos adicionales no definidos estrictamente en términos del conjunto subyacente (en este caso, qué parte considerar como el conjunto subyacente es una cuestión de gustos, aunque esto rara vez es ambiguo en la práctica). Para estos objetos, hay funtores olvidadizos que olvidan los conjuntos adicionales que son más generales.
La mayoría de los objetos más comunes estudiados en matemáticas se construyen como conjuntos subyacentes junto con conjuntos adicionales de estructura sobre esos conjuntos (operaciones sobre el conjunto subyacente, subconjuntos privilegiados del conjunto subyacente, etc.) que pueden satisfacer algunos axiomas. Para estos objetos, un funtor comúnmente considerado olvidadizo es el siguiente. Sea cualquier categoría basada en conjuntos , por ejemplo , grupos —conjuntos de elementos— o espacios topológicos —conjuntos de 'puntos'. Como es habitual, escriba para los objetos de y escriba para los morfismos de los mismos. Considere la regla:
El funtor es entonces el funtor olvidadizo de a Conjunto , la categoría de conjuntos .
Los funtores olvidadizos son casi siempre fieles . Las categorías concretas tienen funtores olvidadizos para la categoría de conjuntos; de hecho, pueden definirse como aquellas categorías que admiten un funtor fiel para esa categoría.
Los funtores olvidadizos que solo olvidan axiomas son siempre completamente fieles , ya que cada morfismo que respeta la estructura entre objetos que satisfacen los axiomas automáticamente también respeta los axiomas. Los funtores olvidadizos que olvidan estructuras no necesitan ser completos; algunos morfismos no respetan la estructura. Sin embargo, estos funtores siguen siendo fieles porque los morfismos distintos que sí respetan la estructura siguen siendo distintos cuando se olvida la estructura. Los funtores que olvidan los conjuntos adicionales no necesitan ser fieles, ya que los morfismos distintos que respetan la estructura de esos conjuntos adicionales pueden ser indistinguibles en el conjunto subyacente.
En el lenguaje de la lógica formal, un funtor del primer tipo elimina axiomas, un funtor del segundo tipo elimina predicados y un funtor del tercer tipo elimina tipos [ aclaración necesaria ] . Un ejemplo del primer tipo es el funtor olvidadizo Ab → Grp . Uno del segundo tipo es el funtor olvidadizo Ab → Set . Un funtor del tercer tipo es el funtor Mod → Ab , donde Mod es la categoría fibrada de todos los módulos sobre anillos arbitrarios. Para ver esto, solo elija un homomorfismo de anillo entre los anillos subyacentes que no cambie la acción del anillo. Bajo el funtor olvidadizo, este morfismo produce la identidad. Tenga en cuenta que un objeto en Mod es una tupla, que incluye un anillo y un grupo abeliano, por lo que cuál olvidar es una cuestión de gusto.
Los funtores olvidadizos tienden a tener adjuntos izquierdos , que son construcciones " libres ". Por ejemplo:
Para una lista más extensa, véase (Mac Lane 1997).
Como este es un ejemplo fundamental de adjuntos, lo explicamos así: la adjunción significa que dado un conjunto X y un objeto (digamos, un R -módulo) M , los mapas de conjuntos corresponden a mapas de módulos : cada mapa de conjuntos produce un mapa de módulos, y cada mapa de módulos proviene de un mapa de conjuntos.
En el caso de los espacios vectoriales, esto se resume así: "Un mapa entre espacios vectoriales está determinado por dónde envía una base, y una base se puede mapear a cualquier cosa".
Simbólicamente:
La unidad de la adjunción libre-olvidable es la "inclusión de una base": .
Fld , la categoría de campos, proporciona un ejemplo de un funtor olvidadizo sin adjunto. No existe ningún campo que satisfaga una propiedad universal libre para un conjunto dado.
