Categoría libre

En matemáticas , la categoría libre o categoría de trayectoria generada por un grafo dirigido o carcaj es la categoría que resulta de concatenar libremente flechas entre sí, siempre que el objetivo de una flecha sea la fuente de la siguiente.

Más precisamente, los objetos de la categoría son los vértices del carcaj, y los morfismos son caminos entre objetos. Aquí, un camino se define como una secuencia finita.

${\displaystyle V_{0}{\xrightarrow {\;\;E_{0}\;\;}}V_{1}{\xrightarrow {\;\;E_{1}\;\;}}\cdots {\xrightarrow {E_{n-1}}}V_{n}}$

donde es un vértice del carcaj, es una arista del carcaj y n abarca los números enteros no negativos. Para cada vértice del carcaj, existe un "camino vacío" que constituye los morfismos identidad de la categoría. ${\displaystyle V_{k}}$ ${\displaystyle E_{k}}$ ${\displaystyle V}$

La operación de composición es la concatenación de rutas. Rutas dadas

${\displaystyle V_{0}{\xrightarrow {E_{0}}}\cdots {\xrightarrow {E_{n-1}}}V_{n},\quad V_{n}{\xrightarrow {F_{0}}}W_{0}{\xrightarrow {F_{1}}}\cdots {\xrightarrow {F_{n-1}}}W_{m},}$

Su composición es

${\displaystyle \left(V_{n}{\xrightarrow {F_{0}}}W_{0}{\xrightarrow {F_{1}}}\cdots {\xrightarrow {F_{n-1}}}W_{m}\right)\circ \left(V_{0}{\xrightarrow {E_{0}}}\cdots {\xrightarrow {E_{n-1}}}V_{n}\right):=V_{0}{\xrightarrow {E_{0}}}\cdots {\xrightarrow {E_{n-1}}}V_{n}{\xrightarrow {F_{0}}}W_{0}{\xrightarrow {F_{1}}}\cdots {\xrightarrow {F_{n-1}}}W_{m}}$. ^{[1] [2]}

Tenga en cuenta que el resultado de la composición comienza con el operando derecho de la composición y termina con su operando izquierdo.

Ejemplos

• Si Q es el carcaj con un vértice y una arista f desde ese objeto hacia sí mismo, entonces la categoría libre en Q tiene como flechas 1 , f , f ∘ f , f ∘ f ∘ f , etc. ^[2]
• Sea Q el carcaj con dos vértices a , b y dos aristas e , f de a a b y b a a , respectivamente. Entonces la categoría libre en Q tiene dos flechas identidad y una flecha para cada secuencia finita de e s y f s alternados, incluyendo: e , f , e ∘ f , f ∘ e , f ∘ e ∘ f , e ∘ f ∘ e , etc. ^[1]
• Si Q es el carcaj , entonces la categoría libre en Q tiene (además de tres flechas identidad), las flechas f , g y g ∘ f . ${\displaystyle a{\xrightarrow {f}}b{\xrightarrow {g}}c}$
• Si un carcaj Q tiene sólo un vértice, entonces la categoría libre en Q tiene sólo un objeto, y corresponde al monoide libre en los bordes de Q. ^[1 ]

Propiedades

La categoría de categorías pequeñas Cat tiene un funtor olvidadizo U en la categoría de carcaj Quiv :

U  : Gato → Quiv

que convierte los objetos en vértices y los morfismos en flechas. Intuitivamente, U "[olvida] qué flechas son compuestas y cuáles son identidades". ^[2] Este funtor olvidadizo es adjunto derecho al funtor que envía un carcaj a la categoría libre correspondiente.

Propiedad universal

La categoría libre de un carcaj puede describirse hasta el isomorfismo por una propiedad universal . Sea C  : Quiv → Cat el funtor que lleva un carcaj a la categoría libre de ese carcaj (como se describió anteriormente), sea U el funtor olvidadizo definido anteriormente y sea G cualquier carcaj. Entonces existe un homomorfismo de grafos I  : G → U ( C ( G )) y dada cualquier categoría D y cualquier homomorfismo de grafos F  : G → U(D) , existe un único funtor F'  : C ( G ) → D tal que U ( F' )∘ I = F , es decir, el siguiente diagrama conmuta :

El funtor C es adjunto izquierdo del funtor olvidadizo U. ^{[1] [2] [3} ]

Véase también

• Portal de matemáticas

• Categoría monoidal estricta libre
• Objeto libre
• Funtores adjuntos

Referencias

1. Awodey, Steve (2010). Teoría de categorías (2.ª ed.). Oxford: Oxford University Press. pp. 20–24. ISBN 978-0199237180.OCLC 740446073  .
2. Mac Lane, Saunders (1978). Categorías para el matemático en activo (segunda edición). Nueva York, NY: Springer New York. pp. 49–51. ISBN 1441931236.OCLC 851741862  .
3. categoría libre en el n Lab