Neto (matemáticas)

Una generalización de una secuencia de puntos

En matemáticas , más específicamente en topología general y ramas relacionadas, una red o secuencia de Moore-Smith es una función cuyo dominio es un conjunto dirigido . El codominio de esta función suele ser algún espacio topológico . Las redes generalizan directamente el concepto de una secuencia en un espacio métrico . Las redes se utilizan principalmente en los campos del análisis y la topología , donde se utilizan para caracterizar muchas propiedades topológicas importantes que (en general), las secuencias no pueden caracterizar (esta deficiencia de las secuencias motivó el estudio de los espacios secuenciales y los espacios de Fréchet-Urysohn ). Las redes están en correspondencia uno a uno con los filtros .

Historia

El concepto de red fue introducido por primera vez por EH Moore y Herman L. Smith en 1922. ^[1] El término "red" fue acuñado por John L. Kelley . ^{[2] [3]}

El concepto relacionado de filtro fue desarrollado en 1937 por Henri Cartan .

Definiciones

Un conjunto dirigido es un conjunto no vacío junto con un preorden , que normalmente se supone automáticamente que se denota por (a menos que se indique lo contrario), con la propiedad de que también está dirigido ( hacia arriba ) , lo que significa que para cualquier existe alguno tal que y En palabras, esta propiedad significa que dados dos elementos cualesquiera (de ), siempre hay algún elemento que está "encima" de ambos (mayor o igual que cada uno); de esta manera, los conjuntos dirigidos generalizan la noción de "una dirección" de una manera matemáticamente rigurosa. Sin embargo, es importante destacar que no se requiere que los conjuntos dirigidos sean órdenes totales o incluso órdenes parciales . Un conjunto dirigido puede tener elementos mayores y/o elementos máximos . En este caso, las condiciones y no pueden reemplazarse por las desigualdades estrictas y , ya que las desigualdades estrictas no pueden satisfacerse si a o b son máximos. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle a,b\in A,}$ ${\displaystyle c\in A}$ ${\displaystyle a\leq c}$ ${\displaystyle b\leq c.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\leq c}$ ${\displaystyle b\leq c}$ ${\displaystyle a<c}$ ${\displaystyle b<c}$

Una red en , denotada , es una función de la forma cuyo dominio es algún conjunto dirigido, y cuyos valores son . Los elementos del dominio de una red se denominan sus índices . Cuando el conjunto está claro a partir del contexto, simplemente se llama red , y se supone que es un conjunto dirigido con preorden La notación para redes varía, por ejemplo, utilizando corchetes angulares . Como es común en la notación de topología algebraica , el disco lleno o "bala" reemplaza a la variable de entrada o índice . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:A\to X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x_{\bullet }(a)=x_{a}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \,\leq .}$ ${\displaystyle \left\langle x_{a}\right\rangle _{a\in A}}$ ${\displaystyle a\in A}$

Límites de las redes

Se dice que una red está eventualmente o residualmente en un conjunto si existe alguna tal que para cada punto A un punto se le llama ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in A}$ ${\displaystyle b\geq a,}$ ${\displaystyle x_{b}\in S.}$ ${\displaystyle x\in X}$punto límite olímite de la redensiempre que: ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$

Porque cada vecindario abierto de la red está eventualmente en , ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle U}$

expresado de manera equivalente como: la redconverge a/hacia ${\displaystyle x}$otienecomo límite ${\displaystyle x}$; y se denota de diversas formas:Siqueda claro en el contexto, se puede omitir de la notación. $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&x_{\bullet }&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\\lim \;&x_{\bullet }&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\\lim _{a\in A}\;&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\\lim _{a}\;&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X.\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle X}$

Si y este límite es único (es decir, solo para ), entonces se escribe: usando el signo igual en lugar de la flecha ^[4] En un espacio de Hausdorff , cada red tiene como máximo un límite, y el límite de una red convergente siempre es único. ^[4] Algunos autores no distinguen entre las notaciones y , pero esto puede llevar a ambigüedades si el espacio ambiental no es Hausdorff. ${\displaystyle \lim x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle \lim x_{\bullet }\to y}$ ${\displaystyle x=y}$ $${\displaystyle \lim x_{\bullet }=x\;~~{\text{ or }}~~\;\lim x_{a}=x\;~~{\text{ or }}~~\;\lim _{a\in A}x_{a}=x}$$ ${\displaystyle \to .}$ ${\displaystyle \lim x_{\bullet }=x}$ ${\displaystyle \lim x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X}$

Puntos de agrupamiento de redes

Se dice que una red es ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$con frecuencia ocofinalmente en si para cadaexiste algunotal quey^[5]un puntoes un ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in A}$ ${\displaystyle b\geq a}$ ${\displaystyle x_{b}\in S.}$ ${\displaystyle x\in X}$punto de acumulación opunto de agrupamientode una red si para cada vecindaddela red es frecuentemente/cofinalmente en^[5]De hecho,es un punto de agrupamiento si y solo si tiene un subconjunto que converge a^[6]El conjuntode todos los puntos de agrupamiento deenes igual apara cada, donde. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x.}$ ${\textstyle \operatorname {cl} _{X}\left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \operatorname {cl} _{X}\left(x_{\geq a}\right)}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle x_{\geq a}:=\left\{x_{b}:b\geq a,b\in A\right\}}$

Subredes

El análogo de "subsecuencia" para las redes es la noción de "subred". Existen varias definiciones diferentes no equivalentes de "subred" y este artículo utilizará la definición introducida en 1970 por Stephen Willard , ^[7] que es la siguiente: Si y son redes, entonces se denomina subred o ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$Subred de Willard ^[7]desi existe un mapa que preserva el ordental quees un subconjunto cofinal dey El mapase llama que preserva el orden y unhomomorfismo de ordensi siempre queentonces El conjuntoque es cofinal ensignifica que para cadaexiste algunotal que ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle h:I\to A}$ ${\displaystyle h(I)}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle s_{i}=x_{h(i)}\quad {\text{ for all }}i\in I.}$$ ${\displaystyle h:I\to A}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle h(i)\leq h(j).}$ ${\displaystyle h(I)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle b\in h(I)}$ ${\displaystyle b\geq a.}$

Si es un punto de clúster de alguna subred de entonces también es un punto de clúster de ^[6] ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }.}$

Ultranetas

Una red en conjunto se llama ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$red universal o unaultranet si para cada subconjuntoestá eventualmente enoestá eventualmente en el complemento^[5] ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X\setminus S.}$

Toda red constante es una ultrared (trivial). Toda subred de una ultrared es una ultrared. ^[8] Suponiendo el axioma de elección , toda red tiene alguna subred que es una ultrared, pero nunca se han construido ultraredes no triviales de forma explícita. ^[5] Si es una ultrared en y es una función, entonces es una ultrared en ^[5] ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f\circ x_{\bullet }=\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle Y.}$

Dado un grupo de ultranets en si y solo si converge a ^[5] ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

Redes de Cauchy

Una red de Cauchy generaliza la noción de secuencia de Cauchy a redes definidas en espacios uniformes . ^[9]

Una red es una ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$Red de Cauchy si para cadaentorno existetal que para todoes miembro de^[9][10]De manera más general, en unespacio de Cauchy, una redes de Cauchy si el filtro generado por la red es unfiltro de Cauchy. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle c\in A}$ ${\displaystyle a,b\geq c,}$ ${\displaystyle \left(x_{a},x_{b}\right)}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$

Un espacio vectorial topológico (TVS) se denomina completo si cada red de Cauchy converge a algún punto. Un espacio normado , que es un tipo especial de espacio vectorial topológico, es un TVS completo (equivalentemente, un espacio de Banach ) si y solo si cada secuencia de Cauchy converge a algún punto (una propiedad que se denomina completitud secuencial ). Aunque las redes de Cauchy no son necesarias para describir la completitud de los espacios normados, sí lo son para describir la completitud de espacios vectoriales topológicos más generales (posiblemente no normables ).

Caracterizaciones de propiedades topológicas

Prácticamente todos los conceptos de topología pueden reformularse en el lenguaje de redes y límites. Esto puede ser útil para orientar la intuición, ya que la noción de límite de una red es muy similar a la de límite de una sucesión . El siguiente conjunto de teoremas y lemas ayuda a cimentar esa similitud:

Conjuntos cerrados y clausura

Un subconjunto es cerrado en si y solo si cada punto límite en de una red en se encuentra necesariamente en . Explícitamente, esto significa que si es una red con para todos , y en entonces ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle s_{a}\in S}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle \lim {}_{}s_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in S.}$

De manera más general, si es cualquier subconjunto, el cierre de es el conjunto de puntos con para alguna red en . ^[6] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \lim _{a\in A}s_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle \left(s_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle S}$

Conjuntos abiertos y caracterizaciones de topologías

Un subconjunto es abierto si y solo si ninguna red en converge a un punto de ^[11] Además, un subconjunto es abierto si y solo si cada red que converge a un elemento de está eventualmente contenida en Son estas caracterizaciones de "subconjunto abierto" las que permiten que las redes caractericen topologías . Las topologías también pueden caracterizarse por subconjuntos cerrados ya que un conjunto es abierto si y solo si su complemento es cerrado. Por lo tanto, las caracterizaciones de "conjunto cerrado" en términos de redes también se pueden usar para caracterizar topologías. ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X\setminus S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

Continuidad

Una función entre espacios topológicos es continua en un punto si y solo si para cada red en el dominio, en implica en ^[6] Brevemente, una función es continua si y solo si en implica en En general, esta afirmación no sería verdadera si la palabra "red" fuera reemplazada por "secuencia"; es decir, es necesario permitir conjuntos dirigidos distintos de los números naturales si no es un espacio de primer conteo (o no es un espacio secuencial ). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lim {}f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$

Compacidad

Un espacio es compacto si y sólo si cada red en tiene una subred con un límite en Esto puede verse como una generalización del teorema de Bolzano-Weierstrass y del teorema de Heine-Borel . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Puntos de agrupamiento y de límite

El conjunto de puntos de agrupamiento de una red es igual al conjunto de límites de sus subredes convergentes .

Una red tiene un límite si y solo si todas sus subredes tienen límites. En ese caso, cada límite de la red es también un límite de cada subred.

Otras propiedades

En general, una red en un espacio puede tener más de un límite, pero si es un espacio de Hausdorff , el límite de una red, si existe, es único. Por el contrario, si no es Hausdorff, entonces existe una red en con dos límites distintos. Por lo tanto, la unicidad del límite es equivalente a la condición de Hausdorff en el espacio, y de hecho esto puede tomarse como la definición. Este resultado depende de la condición de direccionalidad; un conjunto indexado por un preorden general o un orden parcial puede tener puntos límite distintos incluso en un espacio de Hausdorff. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Relación con los filtros

Un filtro es una idea relacionada en topología que permite una definición general de convergencia en espacios topológicos generales. Las dos ideas son equivalentes en el sentido de que dan el mismo concepto de convergencia. ^[12] Más específicamente, cada base de filtro induce una red asociada utilizando los conjuntos puntiagudos del filtro, y la convergencia de la base de filtro implica la convergencia de la red asociada. De manera similar, cualquier red en induce una base de filtro de colas donde el filtro en generado por esta base de filtro se llama filtro de eventualidad de la red . La convergencia de la red implica la convergencia del filtro de eventualidad. ^[13] Esta correspondencia permite que cualquier teorema que pueda probarse con un concepto se pruebe con el otro. ^[13] Por ejemplo, la continuidad de una función de un espacio topológico a otro puede caracterizarse ya sea por la convergencia de una red en el dominio que implica la convergencia de la red correspondiente en el codominio, o por la misma declaración con bases de filtro. ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{\left\{x_{a}:a\in A,a_{0}\leq a\right\}:a_{0}\in A\right\}}$ ${\displaystyle X}$

Robert G. Bartle sostiene que, a pesar de su equivalencia, es útil tener ambos conceptos. ^[13] Argumenta que las redes son lo suficientemente parecidas a las secuencias como para hacer pruebas y definiciones naturales en analogía con las secuencias, especialmente las que utilizan elementos secuenciales, como es común en el análisis , mientras que los filtros son más útiles en la topología algebraica . En cualquier caso, muestra cómo se pueden utilizar los dos en combinación para demostrar varios teoremas en la topología general .

La curva de aprendizaje para el uso de redes suele ser mucho menos pronunciada que la de los filtros, por lo que muchos matemáticos, especialmente los analistas , los prefieren a los filtros. Sin embargo, los filtros, y especialmente los ultrafiltros , tienen algunas ventajas técnicas importantes sobre las redes que, en última instancia, hacen que las redes se encuentren con mucha menos frecuencia que los filtros fuera de los campos del análisis y la topología.

Como generalización de secuencias

Todo conjunto totalmente ordenado no vacío es dirigido. Por lo tanto, toda función en dicho conjunto es una red. En particular, los números naturales junto con el preorden de comparación de enteros habitual forman el ejemplo arquetípico de un conjunto dirigido. Una secuencia es una función de los números naturales, por lo que toda secuencia en un espacio topológico puede considerarse una red en definida en A la inversa, cualquier red cuyo dominio sean los números naturales es una secuencia porque, por definición, una secuencia en es solo una función de en De esta manera, las redes son generalizaciones de secuencias: en lugar de definirse en un conjunto ordenado linealmente numerable ( ), una red se define en un conjunto dirigido arbitrario . Las redes se denotan con frecuencia utilizando una notación similar a (e inspirada en) la que se usa con las secuencias. Por ejemplo, la notación de subíndice se toma de secuencias. ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{a}}$

De manera similar, cada límite de una secuencia y límite de una función se puede interpretar como un límite de una red. Específicamente, la red está eventualmente en un subconjunto de si existe un tal que para cada entero el punto está en Entonces si y solo si para cada vecindario de la red está eventualmente en La red está frecuentemente en un subconjunto de si y solo si para cada existe algún entero tal que es decir, si y solo si infinitos elementos de la secuencia están en Por lo tanto, un punto es un punto de grupo de la red si y solo si cada vecindario de contiene infinitos elementos de la secuencia. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\geq N,}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle \lim {}_{n}a_{n}\to L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle a_{n}\in S,}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle y}$

En el contexto de la topología, las secuencias no codifican completamente toda la información sobre las funciones entre espacios topológicos. En particular, las dos condiciones siguientes, en general, no son equivalentes para una función entre espacios topológicos y : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

1. El mapa es continuo en el sentido topológico ; ${\displaystyle f}$
2. Dado cualquier punto en y cualquier secuencia en que converge a la composición de con esta secuencia converge a (continua en el sentido secuencial) . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)}$

Si bien la condición 1 siempre garantiza la condición 2, lo inverso no es necesariamente cierto. Los espacios para los cuales las dos condiciones son equivalentes se denominan espacios secuenciales . Todos los espacios de primer orden , incluidos los espacios métricos , son espacios secuenciales, pero no todos los espacios topológicos son secuenciales. Las redes generalizan la noción de secuencia de modo que la condición 2 se lea de la siguiente manera:

2. Dado cualquier punto en y cualquier red en que converge a la composición de con esta red converge a (continua en el sentido neto). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)}$

Con este cambio, las condiciones se vuelven equivalentes para todos los mapas de espacios topológicos, incluidos los espacios topológicos que no necesariamente tienen una base de vecindad contable o linealmente ordenada alrededor de un punto. Por lo tanto, mientras que las secuencias no codifican suficiente información sobre las funciones entre espacios topológicos, las redes sí lo hacen, porque las colecciones de conjuntos abiertos en espacios topológicos se parecen mucho a los conjuntos dirigidos en su comportamiento.

Para un ejemplo donde las secuencias no son suficientes, interprete el conjunto de todas las funciones con prototipo como el producto cartesiano (identificando una función con la tupla y viceversa) y otórguele la topología de producto . Esta topología (de producto) en es idéntica a la topología de convergencia puntual . Sea el conjunto de todas las funciones que son iguales a en todas partes excepto como máximo en un número finito de puntos (es decir, tales que el conjunto es finito). Entonces la función constante pertenece al cierre de en es decir, ^[8] Esto se probará construyendo una red en que converge a Sin embargo, no existe ninguna secuencia en que converja a ^[14] lo que hace que este sea un caso en el que se deben usar redes (no secuenciales) porque las secuencias por sí solas no pueden llegar a la conclusión deseada. Compare elementos de puntualmente de la manera habitual declarando que si y solo si para todos Esta comparación puntual es un orden parcial que forma un conjunto dirigido ya que dado cualquier su mínimo puntual pertenece a y satisface y Este orden parcial convierte la función identidad (definida por ) en una red con valores . Esta red converge puntualmente a en lo que implica que pertenece a la clausura de en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{x\in \mathbb {R} }}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (f(x))_{x\in \mathbb {R} },}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \{0,1\}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \{x:f(x)=0\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbf {0} :\mathbb {R} \to \{0\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} };}$ ${\displaystyle \mathbf {0} \in \operatorname {cl} _{\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}E.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {0} .}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {0} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle f\geq g}$ ${\displaystyle f(x)\geq g(x)}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle (E,\geq )}$ ${\displaystyle f,g\in E,}$ ${\displaystyle m:=\min\{f,g\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f\geq m}$ ${\displaystyle g\geq m.}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} :(E,\geq )\to E}$ ${\displaystyle f\mapsto f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} },}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }.}$

En términos más generales, una subred de una secuencia no es necesariamente una secuencia. ^{[5] [a]} Más aún, una subred de una secuencia puede ser una secuencia, pero no una subsecuencia. ^[b] Pero, en el caso específico de un espacio secuencial, cada red induce una secuencia correspondiente, y esta relación asigna subredes a subsecuencias. Específicamente, para un espacio de primer numeración, la red induce la secuencia donde se define como el valor más pequeño en  – es decir, sea y sea para cada entero . ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle \left(x_{h_{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle h_{n}}$ ${\displaystyle n^{\text{th}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle h_{1}:=\inf A}$ ${\displaystyle h_{n}:=\inf\{a\in A:a>h_{n-1}\}}$ ${\displaystyle n>1}$

Ejemplos

Topología del subespacio

Si el conjunto está dotado de la topología de subespacio inducida en él por entonces en si y sólo si en De esta manera, la cuestión de si la red converge o no al punto dado depende únicamente de este subespacio topológico que consiste en y la imagen de (es decir, los puntos de) la red. ${\displaystyle S=\{x\}\cup \left\{x_{a}:a\in A\right\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }.}$

Sistemas de barrio

Intuitivamente, la convergencia de una red significa que los valores vienen y permanecen tan cerca como queramos para valores suficientemente grandes Dado un punto en un espacio topológico, sea el conjunto de todos los vecindarios que contienen Entonces es un conjunto dirigido, donde la dirección está dada por inclusión inversa, de modo que si y solo si está contenido en Para sea un punto en Entonces es una red. A medida que aumenta con respecto a los puntos en la red están restringidos a estar en vecindarios decrecientes de . Por lo tanto, en este sistema de vecindarios de un punto , de hecho converge a de acuerdo con la definición de convergencia neta. ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle x_{a}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N_{x}}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle N_{x}}$ ${\displaystyle S\geq T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T.}$ ${\displaystyle S\in N_{x},}$ ${\displaystyle x_{S}}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle \left(x_{S}\right)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \,\geq ,}$ ${\displaystyle x_{S}}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{S}}$ ${\displaystyle x}$

Dada una subbase para la topología en (donde tenga en cuenta que cada base para una topología es también una subbase) y dado un punto a donde converge una red en si y solo si eventualmente está en cada vecindad de Esta caracterización se extiende a las subbases de vecindad (y por lo tanto también a las bases de vecindad ) del punto dado ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x.}$

Límites en un producto cartesiano

Una red en el espacio del producto tiene un límite si y sólo si cada proyección tiene un límite.

Explícitamente, sean espacios topológicos, dote a su producto cartesiano con la topología del producto , y que para cada índice denote la proyección canónica a por ${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i\in I}}$ $${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }:=\prod _{i\in I}X_{i}}$$ ${\displaystyle l\in I,}$ ${\displaystyle X_{l}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\pi _{l}:\;&&{\textstyle \prod }X_{\bullet }&&\;\to \;&X_{l}\\[0.3ex]&&\left(x_{i}\right)_{i\in I}&&\;\mapsto \;&x_{l}\\\end{alignedat}}}$$

Sea una red en dirigida por y para cada índice sea el resultado de "conectar en ", que da como resultado la red. A veces es útil pensar en esta definición en términos de composición de funciones : la red es igual a la composición de la red con la proyección que es, ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i\in I,}$ $${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\pi _{i}\left(f_{a}\right)\right)_{a\in A}}$$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle \pi _{i}}$ ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right):A\to X_{i}.}$ ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle f_{\bullet }:A\to {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle \pi _{i}:{\textstyle \prod }X_{\bullet }\to X_{i};}$ ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\pi _{i}\,\circ \,f_{\bullet }.}$

Para cualquier punto dado, la red converge a en el espacio del producto si y solo si para cada índice converge a en ^[15] Y siempre que la red se agrupe en en entonces se agrupe en para cada índice ^[8] Sin embargo, lo inverso no se cumple en general. ^[8] Por ejemplo, supongamos que y denoten la secuencia que alterna entre y Entonces y son puntos de agrupamiento de ambos y en pero no es un punto de agrupamiento de ya que la bola abierta de radio centrada en no contiene ni siquiera un solo punto ${\displaystyle L=\left(L_{i}\right)_{i\in I}\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}X_{i},}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\left(\pi _{i}\left(f_{a}\right)\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}.}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle X_{1}=X_{2}=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{a}\right)_{a\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (1,1),(0,0),(1,1),(0,0),\ldots }$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle (0,0).}$ ${\displaystyle L_{1}:=0}$ ${\displaystyle L_{2}:=1}$ ${\displaystyle \pi _{1}\left(f_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle \pi _{2}\left(f_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \left(L_{1},L_{2}\right)=(0,1)}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$

Teorema de Tichonoff y relación con el axioma de elección

Si no se da pero para cada existe alguno tal que en entonces la tupla definida por será un límite de en Sin embargo, podría ser necesario asumir el axioma de elección para concluir que esta tupla existe; el axioma de elección no es necesario en algunas situaciones, como cuando es finito o cuando cada es el único límite de la red (porque entonces no hay nada entre lo que elegir), lo que sucede, por ejemplo, cuando cada es un espacio de Hausdorff . Si es infinito y no está vacío, entonces el axioma de elección seguiría siendo necesario (en general) para concluir que las proyecciones son mapas sobreyectivos . ${\displaystyle L\in X}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle L_{i}\in X_{i}}$ ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)\to L_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle L=\left(L_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle L_{i}\in X_{i}}$ ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }={\textstyle \prod \limits _{j\in I}}X_{j}}$ ${\displaystyle \pi _{i}:{\textstyle \prod }X_{\bullet }\to X_{i}}$

El axioma de elección es equivalente al teorema de Tichonoff , que establece que el producto de cualquier colección de espacios topológicos compactos es compacto. Pero si cada espacio compacto es también de Hausdorff, entonces se puede utilizar en su lugar el llamado "teorema de Tichonoff para espacios de Hausdorff compactos", que es equivalente al lema del ultrafiltro y, por tanto, estrictamente más débil que el axioma de elección . Las redes se pueden utilizar para dar pruebas cortas de ambas versiones del teorema de Tichonoff utilizando la caracterización de la convergencia de la red dada anteriormente junto con el hecho de que un espacio es compacto si y solo si cada red tiene una subred convergente .

Límite superior/inferior

El límite superior y el límite inferior de una red de números reales se pueden definir de manera similar a las sucesiones. ^{[16] [17] [18]} Algunos autores trabajan incluso con estructuras más generales que la línea real, como los retículos completos. ^[19]

Para una opción de venta neta ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A},}$ $${\displaystyle \limsup x_{a}=\lim _{a\in A}\sup _{b\succeq a}x_{b}=\inf _{a\in A}\sup _{b\succeq a}x_{b}.}$$

El límite superior de una red de números reales tiene muchas propiedades análogas al caso de las sucesiones. Por ejemplo, la igualdad se cumple siempre que una de las redes sea convergente. $${\displaystyle \limsup(x_{a}+y_{a})\leq \limsup x_{a}+\limsup y_{a},}$$

Integral de Riemann

La definición del valor de una integral de Riemann se puede interpretar como un límite de una red de sumas de Riemann donde el conjunto dirigido de la red es el conjunto de todas las particiones del intervalo de integración, parcialmente ordenadas por inclusión.

Espacios métricos

Supongamos que es un espacio métrico (o un espacio pseudométrico ) y está dotado de la topología métrica . Si es un punto y es una red, entonces en si y solo si en donde es una red de números reales . En lenguaje sencillo , esta caracterización dice que una red converge a un punto en un espacio métrico si y solo si la distancia entre la red y el punto converge a cero. Si es un espacio normado (o un espacio semirregulado ), entonces en si y solo si en donde ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle m_{\bullet }=\left(m_{i}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle m_{\bullet }\to m}$ ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle d\left(m,m_{\bullet }\right)\to 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle d\left(m,m_{\bullet }\right):=\left(d\left(m,m_{a}\right)\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle (M,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle m_{\bullet }\to m}$ ${\displaystyle (M,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle \left\|m-m_{\bullet }\right\|\to 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \left\|m-m_{\bullet }\right\|:=\left(\left\|m-m_{a}\right\|\right)_{a\in A}.}$

Si tiene al menos dos puntos, entonces podemos fijar un punto (como con la métrica euclidiana con siendo el origen, por ejemplo) y dirigir el conjunto en sentido inverso según la distancia desde declarando que si y sólo si En otras palabras, la relación es "tiene al menos la misma distancia a que", de modo que "suficientemente grande" con respecto a esta relación significa "suficientemente cerca de ". Dada cualquier función con dominio, su restricción a puede interpretarse canónicamente como una red dirigida por ^[8] ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle c\in M}$ ${\displaystyle M:=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle c:=0}$ ${\displaystyle I:=M\setminus \{c\}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle d(j,c)\leq d(i,c).}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle I:=M\setminus \{c\}}$ ${\displaystyle (I,\leq ).}$

Una red está eventualmente en un subconjunto de un espacio topológico si y solo si existe alguno tal que para cada satisfacción el punto está en Tal red converge en a un punto dado si y solo si en el sentido usual (lo que significa que para cada vecindad de está eventualmente en ). ^[8] ${\displaystyle f:M\setminus \{c\}\to X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n\in M\setminus \{c\}}$ ${\displaystyle m\in M\setminus \{c\}}$ ${\displaystyle d(m,c)\leq d(n,c),}$ ${\displaystyle f(m)}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\in X}$ ${\displaystyle \lim _{m\to c}f(m)\to L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$

La red está frecuentemente en un subconjunto de si y solo si para cada existe algún con tal que está en En consecuencia, un punto es un punto de grupo de la red si y solo si para cada vecindario de la red está frecuentemente en ${\displaystyle f:M\setminus \{c\}\to X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n\in M\setminus \{c\}}$ ${\displaystyle m\in M\setminus \{c\}}$ ${\displaystyle d(m,c)\leq d(n,c)}$ ${\displaystyle f(m)}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle L\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle V.}$

Función de un conjunto bien ordenado a un espacio topológico

Consideremos un conjunto bien ordenado con punto límite y una función de un espacio topológico. Esta función es una red en ${\displaystyle [0,c]}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,t)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle [0,t).}$

Eventualmente está en un subconjunto de si existe un tal que para cada punto está en ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r\in [0,t)}$ ${\displaystyle s\in [r,t)}$ ${\displaystyle f(s)}$ ${\displaystyle V.}$

Así que si y sólo si para cada vecindario de es eventualmente en ${\displaystyle \lim _{x\to t}f(x)\to L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V.}$

La red se encuentra frecuentemente en un subconjunto de si y sólo si para cada existe alguno tal que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r\in [0,t)}$ ${\displaystyle s\in [r,t)}$ ${\displaystyle f(s)\in V.}$

Un punto es un punto de grupo de la red si y solo si para cada vecindario de la red es frecuentemente en ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle V.}$

El primer ejemplo es un caso especial de esto con ${\displaystyle c=\omega .}$

Véase también secuencia indexada ordinal .

Véase también

• Caracterizaciones de la categoría de espacios topológicos
• Filtro (teoría de conjuntos)  : Familia de conjuntos que representan conjuntos "grandes"
• Filtros en topología  – Uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
• Preorden  – Relación binaria reflexiva y transitiva
• Espacio secuencial  – Espacio topológico caracterizado por secuencias
• Ultrafiltro (teoría de conjuntos)  : filtro propio máximoPages displaying short descriptions of redirect targets

Notas

1. Por ejemplo, sea y sea para cada de modo que sea la secuencia cero constante. Sea dirigido por el orden usual y sea para cada Defina dejando ser el techo de La función es un morfismo de orden cuya imagen es cofinal en su codominio y se cumple para cada Esto muestra que es una subred de la secuencia (donde esta subred no es una subsecuencia de porque ni siquiera es una secuencia ya que su dominio es un conjunto incontable ). ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{i}=0}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=(0)_{i\in \mathbb {N} }:\mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle I=\{r\in \mathbb {R} :r>0\}}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle s_{r}=0}$ ${\displaystyle r\in R.}$ ${\displaystyle \varphi :I\to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \varphi (r)=\lceil r\rceil }$ ${\displaystyle r.}$ ${\displaystyle \varphi :I\to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \left(x_{\bullet }\circ \varphi \right)(r)=x_{\varphi (r)}=0=s_{r}}$ ${\displaystyle r\in R.}$ ${\displaystyle \left(s_{r}\right)_{r\in R}=x_{\bullet }\circ \varphi }$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$
2. La secuencia no es una subsecuencia de , aunque es una subred, porque el mapa definido por es un mapa que preserva el orden cuya imagen es y satisface para todos De hecho, esto se debe a que y para cada en otras palabras, cuando se consideran como funciones en la secuencia es solo el mapa identidad en mientras ${\displaystyle \left(s_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }:=(1,1,2,2,3,3,\ldots )}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }:=(1,2,3,\ldots )}$ ${\displaystyle h:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle h(i):=\left\lfloor {\tfrac {i+1}{2}}\right\rfloor }$ ${\displaystyle h(\mathbb {N} )=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle s_{i}=x_{h(i)}}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle x_{i}=i}$ ${\displaystyle s_{i}=h(i)}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} ;}$ ${\displaystyle \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle s_{\bullet }=h.}$

Citas

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9. Willard, Stephen (2012), Topología general, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, pág. 260, ISBN 9780486131788.
10. Joshi, KD (1983), Introducción a la topología general, New Age International, pág. 356, ISBN 9780852264447.
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14. Willard 2004, págs. 71–72.
15. Willard 2004, pág. 76.
16. Aliprantis-Frontera, pág. 32
17. Megginson, pág. 217, pág. 221, Ejercicios 2.53–2.55
18. Cerveza, pág. 2
19. Schechter, Secciones 7.43–7.47

Referencias

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• Howes, Norman R. (23 de junio de 1995). Análisis y topología modernos . Textos de posgrado en matemáticas . Nueva York: Springer-Verlag Science & Business Media. ISBN 978-0-387-97986-1.OCLC 31969970.OL 1272666M  . ​
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