Subred (matemáticas)

Generalización del concepto de subsecuencia al caso de redes

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , una subred es una generalización del concepto de subsecuencia al caso de las redes . El análogo de "subsecuencia" para las redes es la noción de "subred". La definición no es completamente sencilla, pero está diseñada para permitir que tantos teoremas sobre subsecuencias se generalicen a las redes como sea posible.

Existen tres definiciones no equivalentes de "subred". La primera definición de subred fue introducida por John L. Kelley en 1955 ^[1] y, posteriormente, Stephen Willard introdujo su propia variante (no equivalente) de la definición de Kelley en 1970. ^[1] Las subredes en el sentido de Willard y las subredes en el sentido de Kelley son las definiciones de "subred" más utilizadas ^{[1], pero} no son equivalentes al concepto de "filtro subordinado", que es el análogo de "subsecuencia" para los filtros (no son equivalentes en el sentido de que existen filtros subordinados en cuya relación filtro/subordinado-filtro no se puede describir en términos de la relación red/subred correspondiente). Una tercera definición de "subred" (no equivalente a las dadas por Kelley o Willard) que es equivalente al concepto de "filtro subordinado" fue introducida independientemente por Smiley (1957), Aarnes y Andenaes (1972), Murdeshwar (1983), y posiblemente otros, aunque no se utiliza con frecuencia. ^[1] ${\displaystyle X=\mathbb {N} }$

En este artículo se analiza la definición de Willard (las demás definiciones se describen en el artículo Filtros en topología#No equivalencia de subredes y filtros subordinados ).

Definiciones

Existen varias definiciones diferentes no equivalentes de "subred" y este artículo utilizará la definición introducida en 1970 por Stephen Willard, ^[1] que es la siguiente: Si y son redes en un conjunto de conjuntos dirigidos y respectivamente, entonces se dice que es una subred de ( en el sentido de Willard o una ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$Willard–subnet ^[1]) si existe unafunción finalmonótona tal que Una funciónesmonótona, preserva el orden y unhomomorfismo de ordensi siempreque entoncesy se llamafinalsi suimagenescofinalen El conjuntoque es cofinal ensignifica que para cadaexiste algúntal queque es decir, para cadaexiste untal que^{[nota 1]} $${\displaystyle h:I\to A}$$ $${\displaystyle s_{i}=x_{h(i)}\quad {\text{ for all }}i\in I.}$$ ${\displaystyle h:I\to A}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle h(i)\leq h(j)}$ ${\displaystyle h(I)}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle h(I)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle b\in h(I)}$ ${\displaystyle b\geq a;}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle h(i)\geq a.}$

Dado que la red es la función y la red es la función, la condición definitoria se puede escribir de manera más sucinta y clara como o donde denota la composición de la función y es simplemente una notación para la función. ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:A\to X}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$ ${\displaystyle s_{\bullet }:I\to X,}$ ${\displaystyle \left(s_{i}\right)_{i\in I}=\left(x_{h(i)}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=x_{h(\bullet )}}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=x_{\bullet }\circ h,}$ ${\displaystyle \,\circ \,}$ ${\displaystyle x_{h(\bullet )}:=\left(x_{h(i)}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\circ h:I\to X.}$

Subredes versus subsecuencias

Es importante destacar que una subred no es simplemente la restricción de una red a un subconjunto dirigido de su dominio. En contraste, por definición, una ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle A.}$Una subsecuencia de una secuencia dadaes una secuencia formada a partir de la secuencia dada eliminando algunos de los elementos sin alterar las posiciones relativas de los elementos restantes. Explícitamente,se dice que una secuencia es unasubsecuenciadesi existe una secuencia estrictamente creciente de números enteros positivostal quepara cada(es decir, tal que). La secuenciase puede identificar canónicamente con la funcióndefinida porPor lo tanto, una secuenciaes una subsecuencia desi y solo si existe una función estrictamente crecientetal que ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots }$ ${\displaystyle \left(s_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle h_{1}<h_{2}<h_{3}<\cdots }$ ${\displaystyle s_{n}=x_{h_{n}}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \left(s_{1},s_{2},\ldots \right)=\left(x_{h_{1}},x_{h_{2}},\ldots \right)}$ ${\displaystyle \left(h_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(h_{1},h_{2},\ldots \right)}$ ${\displaystyle h_{\bullet }:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\mapsto h_{n}.}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle h:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle s_{\bullet }=x_{\bullet }\circ h.}$

Las subsecuencias son subredes

Cada subsecuencia es una subred porque si es una subsecuencia de entonces el mapa definido por es un mapa que preserva el orden cuya imagen es cofinal en su codominio y satisface para todos ${\displaystyle \left(x_{h_{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle h:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\mapsto h_{n}}$ ${\displaystyle x_{h_{n}}=x_{h(n)}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$

Secuencia y subred pero no subsecuencia

La secuencia no es una subsecuencia de aunque es una subred porque el mapa definido por es un mapa que preserva el orden cuya imagen es y satisface para todos ^{[nota 2]} ${\displaystyle \left(s_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }:=(1,1,2,2,3,3,\ldots )}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }:=(1,2,3,\ldots )}$ ${\displaystyle h:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle h(i):=\left\lfloor {\tfrac {i+1}{2}}\right\rfloor }$ ${\displaystyle h(\mathbb {N} )=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle s_{i}=x_{h(i)}}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} .}$

Si bien una secuencia es una red, una secuencia tiene subredes que no son subsecuencias. La diferencia clave es que las subredes pueden usar el mismo punto en la red varias veces y el conjunto de indexación de la subred puede tener una cardinalidad mucho mayor . Usando la definición más general donde no requerimos monotonía, una secuencia es una subred de una secuencia dada, si y solo si se puede obtener de alguna subsecuencia repitiendo sus términos y reordenándolos. ^[2]

Subred de una secuencia que no es una secuencia

Una subred de una secuencia no es necesariamente una secuencia. ^[3] Por ejemplo, sea dirigida por el orden usual y defina siendo el techo de Entonces es una función que preserva el orden (porque es una función no decreciente) cuya imagen es un subconjunto cofinal de su codominio. Sea cualquier secuencia (como una secuencia constante, por ejemplo) y sea para cada (en otras palabras, sea ). Esta red no es una secuencia ya que su dominio es un conjunto incontable . Sin embargo, es una subred de la secuencia ya que (por definición) se cumple para cada Por lo tanto es una subred de que no es una secuencia. ${\displaystyle I=\{r\in \mathbb {R} :r>0\}}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle h:I\to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle h(r)=\lceil r\rceil }$ ${\displaystyle r.}$ ${\displaystyle h:(I,\leq )\to (\mathbb {N} ,\leq )}$ ${\displaystyle h(I)=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }:\mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle s_{r}:=x_{h(r)}}$ ${\displaystyle r\in I}$ ${\displaystyle s_{\bullet }:=x_{\bullet }\circ h}$ ${\displaystyle \left(s_{r}\right)_{r\in I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left(s_{r}\right)_{r\in I}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle s_{r}=x_{h(r)}}$ ${\displaystyle r\in I.}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$

Además, la secuencia también es una subred de ya que el mapa de inclusión (que envía ) es un mapa que preserva el orden cuya imagen es un subconjunto cofinal de su codominio y es válida para todos . Por lo tanto, y son (simultáneamente) subredes entre sí. ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle \left(s_{r}\right)_{r\in I}}$ ${\displaystyle \iota :\mathbb {N} \to I}$ ${\displaystyle n\mapsto n}$ ${\displaystyle \iota (\mathbb {N} )=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{n}=s_{\iota (n)}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle \left(s_{r}\right)_{r\in I}}$

Subredes inducidas por subconjuntos

Supongamos que es un conjunto infinito y es una secuencia. Entonces es una red en que también es una subred de (tomamos como el mapa de inclusión ). Esta subred a su vez induce una subsecuencia al definir como el valor más pequeño en (es decir, sea y sea para cada entero ). De esta manera, cada subconjunto infinito de induce una subred canónica que puede escribirse como una subsecuencia. Sin embargo, como se demuestra a continuación, no toda subred de una secuencia es una subsecuencia. ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle h:I\to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle i\mapsto i}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \left(x_{h_{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle h_{n}}$ ${\displaystyle n^{\text{th}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle h_{1}:=\inf I}$ ${\displaystyle h_{n}:=\inf\{i\in I:i>h_{n-1}\}}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {N} }$

Aplicaciones

La definición generaliza algunos teoremas clave sobre subsecuencias:

• Una red converge a si y sólo si cada subred de converge a ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x.}$
• Una red tiene un punto de clúster si y solo si tiene una subred que converge a ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y_{\bullet }}$ ${\displaystyle y}$
• Un espacio topológico es compacto si y sólo si cada red en él tiene una subred convergente (ver red para una prueba). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Tomando como mapa identidad en la definición de "subred" y requiriendo que sea un subconjunto cofinal de conduce al concepto de subred cofinal , que resulta inadecuado ya que, por ejemplo, el segundo teorema anterior falla para el tablón de Tichonoff si nos restringimos a subredes cofinales. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

Agrupamiento y cierre

Si es una red en un subconjunto y si es un punto de clúster de entonces En otras palabras, cada punto de clúster de una red en un subconjunto pertenece al cierre de ese conjunto. ${\displaystyle s_{\bullet }}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}S.}$

Si es una red en entonces el conjunto de todos los puntos del grupo de en es igual a ^[3] donde para cada ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \bigcap _{a\in A}\operatorname {cl} _{X}\left(x_{\geq a}\right)}$$ ${\displaystyle x_{\geq a}:=\left\{x_{b}:b\geq a,b\in A\right\}}$ ${\displaystyle a\in A.}$

Convergencia versus agrupamiento

Si una red converge a un punto entonces es necesariamente un punto de agrupación de esa red. ^[3] La inversa no está garantizada en general. Es decir, es posible que sea un punto de agrupación de una red pero que no converja a Sin embargo, si se agrupa en entonces existe una subred de que converge a Esta subred se puede construir explícitamente a partir de y el filtro de vecindad en de la siguiente manera: convertir en un conjunto dirigido declarando que entonces y es una subred de ya que el mapa es una función monótona cuya imagen es un subconjunto cofinal de y ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle (A,\leq )}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle I:=\left\{(a,U)\in A\times {\mathcal {N}}_{x}:x_{a}\in U\right\}}$$ $${\displaystyle (a,U)\leq (b,V)\quad {\text{ if and only if }}\quad a\leq b\;{\text{ and }}\;U\supseteq V;}$$ ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{(a,U)\in I}\to x{\text{ in }}X}$ ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{(a,U)\in I}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\alpha :\;&&I&&\;\to \;&A\\[0.3ex]&&(a,U)&&\;\mapsto \;&a\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle \alpha (I)=A}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle x_{\alpha (\bullet )}:=\left(x_{\alpha (i)}\right)_{i\in I}=\left(x_{\alpha (a,U)}\right)_{(a,U)\in I}=\left(x_{a}\right)_{(a,U)\in I}.}$

Por lo tanto, un punto es un punto de clúster de una red dada si y solo si tiene una subred que converge a ^[3] ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x.}$

Véase también

• Filtro (teoría de conjuntos)  : Familia de conjuntos que representan conjuntos "grandes"
• Filtros en topología#Subredes  – Uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.

Notas

1. Algunos autores utilizan una definición más general de subred. En esta definición, se requiere que el mapa satisfaga la condición: Para cada existe un tal que siempre que Tal mapa es final pero no necesariamente monótono. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b_{0}\in B}$ ${\displaystyle h(b)\geq a}$ ${\displaystyle b\geq b_{0}.}$
2. De hecho, esto se debe a que y para cada en otras palabras, cuando se considera como funciones en la secuencia es solo el mapa identidad en mientras ${\displaystyle x_{i}=i}$ ${\displaystyle s_{i}=h(i)}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} ;}$ ${\displaystyle \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle s_{\bullet }=h.}$

Citas

1. Schechter 1996, págs. 157-168.
2. Gähler, Werner (1977). Grundstrukturen der Analysis I . Akademie-Verlag, Berlín., Satz 2.8.3, pág. 81
3. Willard 2004, págs. 73–77.

Referencias

• Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3885380064.
• Kelley, John L. (1991). Topología general . Springer. ISBN 3540901256.
• Runde, Volker (2005). Una muestra de la topología . Saltador. ISBN 978-0387-25790-7.
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4.OCLC 175294365  .
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7.OCLC 115240  .