Producto tensorial inyectivo

En matemáticas, el producto tensorial inyectivo de dos espacios vectoriales topológicos (TVS) fue introducido por Alexander Grothendieck y fue utilizado por él para definir espacios nucleares . Un producto tensorial inyectivo en general no es necesariamente completo , por lo que su completitud se denomina productos tensoriales inyectivos completos . Los productos tensoriales inyectivos tienen aplicaciones fuera de los espacios nucleares. En particular, como se describe a continuación, hasta el isomorfismo TVS, muchos TVS que se definen para funciones reales o complejas, por ejemplo, el espacio de Schwartz o el espacio de funciones continuamente diferenciables, se pueden extender inmediatamente a funciones valoradas en un TVS localmente convexo de Hausdorff sin necesidad de extender definiciones (como "diferenciable en un punto") de funciones reales/complejas a funciones con valores. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

Preliminares y notación

A lo largo de sean y sean espacios vectoriales topológicos y sea una función lineal. ${\displaystyle X,Y,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle L:X\to Y}$

• ${\displaystyle L:X\to Y}$es un homomorfismo topológico u homomorfismo , si es lineal, continuo y es una función abierta , donde tiene la topología del subespacio inducida por ${\displaystyle L:X\to \operatorname {Im} L}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} L=L(X)}$ ${\displaystyle Y}$
  • Si es un subespacio de entonces tanto la función cociente como la inyección canónica son homomorfismos. En particular, cualquier función lineal puede descomponerse canónicamente de la siguiente manera: donde define una biyección. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\to X/S}$ ${\displaystyle S\to X}$ ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle X\to X/\ker L\mathbin {\overset {L_{0}}{\rightarrow }} \operatorname {Im} L\to Y}$ ${\displaystyle L_{0}(x+\ker L):=L(x)}$
• El conjunto de mapas lineales continuos (resp. mapas bilineales continuos ) se denotará por (resp. ) donde si es el campo escalar entonces podemos escribir en su lugar (resp. ). ${\displaystyle X\to Z}$ ${\displaystyle X\times Y\to Z}$ ${\displaystyle L(X;Z)}$ ${\displaystyle B(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle L(X)}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$
• El conjunto de mapas bilineales continuos por separado (es decir, continuos en cada variable cuando la otra variable es fija) se denotará por donde si es el campo escalar, entonces podemos escribir en su lugar ${\displaystyle X\times Y\to Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y).}$
• Denotaremos el espacio dual continuo de por y el espacio dual algebraico (que es el espacio vectorial de todos los funcionales lineales ya sean continuos o no) por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\#}.}$
  • Para aumentar la claridad de la exposición, utilizamos la convención común de escribir los elementos de con un primo después del símbolo (por ejemplo, denota un elemento de y no, digamos, una derivada y las variables y no necesitan estar relacionadas de ninguna manera). ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle x^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{\prime }}$

Notación para topologías

• ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$denota la topología más burda al realizar cada mapa en continuo y o denota dotado de esta topología . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\sigma \left(X,X^{\prime }\right)}}$ ${\displaystyle X_{\sigma }}$ ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$denota topología débil-* en y o denota dotado de esta topología . ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$
  • Nótese que cada induce un mapa definido por es la topología más burda en X′, lo que hace que todos esos mapas sean continuos. ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle X^{\prime }\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lambda \mapsto \lambda \left(x_{0}\right).}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$
• ${\displaystyle b\left(X,X^{\prime }\right)}$denota la topología de convergencia acotada en ${\displaystyle X}$ y o denota dotado de esta topología . ${\displaystyle X_{b\left(X,X^{\prime }\right)}}$ ${\displaystyle X_{b}}$ ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right)}$denota la topología de convergencia acotada en ${\displaystyle X^{\prime }}$ o la topología dual fuerte en ${\displaystyle X^{\prime }}$ y o denota dotado de esta topología . ${\displaystyle X_{b\left(X^{\prime },X\right)}}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$
  • Como es habitual, si se considera como un espacio vectorial topológico pero no se ha aclarado con qué topología está dotado, se supondrá que la topología es ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right).}$
• ${\displaystyle \tau \left(X,X^{\prime }\right)}$denota la topología de Mackey en o la topología de convergencia uniforme en los subconjuntos débilmente compactos equilibrados convexos de y o denota dotado de esta topología. es la topología TVS localmente convexa más fina en cuyo espacio dual continuo es igual a ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\tau \left(X,X^{\prime }\right)}}$ ${\displaystyle X_{\tau }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau (X,X^{\prime })}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$
• ${\displaystyle \tau \left(X^{\prime },X\right)}$denota la topología de Mackey en o la topología de convergencia uniforme en los subconjuntos débilmente compactos equilibrados convexos de y o denota dotado de esta topología. ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\tau \left(X^{\prime },X\right)}}$ ${\displaystyle X_{\tau }^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$
  • Téngase en cuenta que ^[1] ${\displaystyle \tau \left(X^{\prime },X\right)\subseteq b\left(X^{\prime },X\right)\subseteq \tau \left(X^{\prime },X^{\prime \prime }\right).}$
• ${\displaystyle \varepsilon \left(X,X^{\prime }\right)}$denota la topología de convergencia uniforme en subconjuntos equicontinuos de ${\displaystyle X^{\prime }}$ y o denota dotado de esta topología . ${\displaystyle X_{\varepsilon \left(X,X^{\prime }\right)}}$ ${\displaystyle X_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle X}$
  • Si es un conjunto de aplicaciones lineales , entonces es equicontinuo si y solo si es equicontinuo en el origen; es decir, si y solo si para cada entorno del origen en existe un entorno del origen en tal que para cada ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda (U)\subseteq V}$ ${\displaystyle \lambda \in H.}$
• Un conjunto de aplicaciones lineales de a se llama equicontinuo si para cada entorno del origen en existe un entorno del origen en tal que para todo ^[2] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h(U)\subseteq V}$ ${\displaystyle h\in H.}$

Definición

A lo largo de sean y sean espacios vectoriales topológicos con espacios duales continuos y Nótese que casi todos los resultados descritos son independientes de si estos espacios vectoriales están sobre o pero para simplificar la exposición asumiremos que están sobre el campo ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y^{\prime }.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Mapas bilineales continuos como producto tensorial

A pesar de que el producto tensorial es una construcción puramente algebraica (su definición no implica ninguna topología), el espacio vectorial de funcionales bilineales continuos es, sin embargo, siempre un producto tensorial de y (es decir, ) cuando se define de la manera ahora descrita. ^[3] ${\displaystyle X\otimes Y}$ ${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)=X\otimes Y}$ ${\displaystyle \,\otimes \,}$

Para cada sea denotar la forma bilineal en definida por Esta función es siempre continua ^[3] y por lo tanto la asignación que envía a la forma bilineal induce una función canónica cuya imagen está contenida en De hecho, cada forma bilineal continua en pertenece al lapso de la imagen de esta función (es decir, ). El siguiente teorema puede usarse para verificar que junto con la función anterior es un producto tensorial de y ${\displaystyle (x,y)\in X\times Y,}$ ${\displaystyle x\otimes y}$ ${\displaystyle X^{\prime }\times Y^{\prime }}$ $${\displaystyle (x\otimes y)\left(x^{\prime },y^{\prime }\right):=x^{\prime }(x)y^{\prime }(y).}$$ ${\displaystyle x\otimes y:X_{\sigma }^{\prime }\times Y_{\sigma }^{\prime }\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (x,y)\in X\times Y}$ ${\displaystyle x\otimes y}$ $${\displaystyle \cdot \,\otimes \,\cdot \;:\;X\times Y\to {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$$ ${\displaystyle X\otimes Y}$ ${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right).}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }\times Y_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)=\operatorname {span} (X\otimes Y)}$ ${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle \,\otimes \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Teorema  —  Sean y espacios vectoriales y sea una función bilineal. Entonces es un producto tensorial de y si y solo si ^[4] la imagen de abarca todos los de (es decir, ), y los espacios vectoriales y son -linealmente disjuntos , lo que por definición ^[5] significa que para todas las sucesiones de elementos y de la misma longitud finita que satisfacen ${\displaystyle X,Y,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle T:X\times Y\to Z}$ ${\displaystyle (Z,T)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z=\operatorname {span} T(X\times Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in X}$ ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}\in Y}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle 0=T\left(x_{1},y_{1}\right)+\cdots +T\left(x_{n},y_{n}\right),}$

1. Si todos son linealmente independientes entonces todos son y ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle 0,}$
2. Si todos son linealmente independientes entonces todos son ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle 0.}$

De manera equivalente, ^[4] y son -linealmente disjuntos si y solo si para todas las secuencias linealmente independientes en y todas las secuencias linealmente independientes en los vectores son linealmente independientes. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle \left\{T\left(x_{i},y_{j}\right):1\leq i\leq m,1\leq j\leq n\right\}}$

Topología

De aquí en adelante, se supondrá que todos los espacios vectoriales topológicos considerados son localmente convexos. Si es cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo, entonces ^[6] y para cualquier subconjunto equicontinuo y y cualquier entorno en definen donde cada conjunto está acotado en ^[6] lo cual es necesario y suficiente para que la colección de todos forme una topología TVS localmente convexa en ^[7]. Esta topología se denomina -topología y siempre que un espacio vectorial esté dotado de la -topología, esto se indicará colocando como subíndice antes del paréntesis de apertura. Por ejemplo, dotado de la -topología se denotará por Si es Hausdorff, entonces también lo es la -topología. ^[6] ${\displaystyle Z}$ ${\textstyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime };Z\right)~\subseteq ~{\mathcal {B}}\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right)}$ ${\displaystyle G\subseteq X^{\prime }}$ ${\displaystyle H\subseteq Y^{\prime },}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Z,}$ $${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,H,N)=\left\{b\in {\mathcal {B}}\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right)~:~b(G,H)\subseteq N\right\}}$$ ${\displaystyle b(G\times H)}$ ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,H,N)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right).}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right).}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

En el caso especial donde es el campo escalar subyacente, es el producto tensorial y por lo tanto el espacio vectorial topológico se llama producto tensorial inyectivo de y y se denota por Este TVS no es necesariamente completo por lo que se construirá su completitud , denotada por . Cuando todos los espacios son de Hausdorff entonces es completo si y solo si tanto y son completos, ^[8] en cuyo caso la completitud de es un subespacio vectorial de Si y son espacios normados entonces también es donde es un espacio de Banach si y solo si esto es cierto para ambos y ^[9] ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X\otimes Y}$ ${\displaystyle B_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y.}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle B_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Conjuntos equicontinuos

Una razón para converger en subconjuntos equicontinuos (de todas las posibilidades) es el siguiente hecho importante:

Un conjunto de funcionales lineales continuos en un TVS ^{[nota 1]} es equicontinuo si y solo si está contenido en la polar de algún vecindario del origen en ; es decir, ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq U^{\circ }.}$

La topología de un TVS está completamente determinada por los vecindarios abiertos del origen. Este hecho, junto con el teorema bipolar, significa que mediante la operación de tomar la polar de un subconjunto, la colección de todos los subconjuntos equicontinuos de "codifica" toda la información sobre la topología dada de . Específicamente, distintas topologías TVS localmente convexas en producen distintas colecciones de subconjuntos equicontinuos y, a la inversa, dada cualquier colección de conjuntos equicontinuos, la topología original del TVS puede recuperarse tomando la polar de cada conjunto (equicontinuo) en la colección. Por lo tanto, a través de esta identificación, la convergencia uniforme en la colección de subconjuntos equicontinuos es esencialmente convergencia uniforme en la propia topología del TVS; esto permite relacionar directamente la topología inyectiva con las topologías dadas de y Además, la topología de un espacio de Hausdorff localmente convexo es idéntica a la topología de convergencia uniforme en los subconjuntos equicontinuos de ^[10] ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$

Por esta razón, el artículo ahora enumera algunas propiedades de los conjuntos equicontinuos que son relevantes para tratar el producto tensorial inyectivo. A lo largo de y son cualquier espacio localmente convexo y es una colección de aplicaciones lineales de en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

• Si es equicontinuo entonces las topologías de subespacios que heredan de las siguientes topologías son idénticas: ^[11] ${\displaystyle H\subseteq L(X;Y)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$
  1. la topología de convergencia precompacta;
  2. la topología de convergencia compacta;
  3. la topología de convergencia puntual;
  4. la topología de convergencia puntual en un subconjunto denso dado de ${\displaystyle X.}$
• Un conjunto equicontinuo está acotado en la topología de convergencia acotada (es decir, acotado en ). ^[11] Por lo tanto, en particular, también estará acotado en toda topología TVS que sea más burda que la topología de convergencia acotada. ${\displaystyle H\subseteq L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$ ${\displaystyle H}$
• Si es un espacio en forma de barril y es localmente convexo, entonces para cualquier subconjunto los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H\subseteq L(X;Y),}$
  1. ${\displaystyle H}$es equicontinuo;
  2. ${\displaystyle H}$está acotado en la topología de convergencia puntual (es decir, acotado en ); ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$
  3. ${\displaystyle H}$está acotado en la topología de convergencia acotada (es decir, acotado en ). ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$

En particular, para demostrar que un conjunto es equicontinuo basta demostrar que está acotado en la topología de convergencia puntual. ^[12] ${\displaystyle H}$

• Si es un espacio de Baire entonces cualquier subconjunto que esté acotado en él es necesariamente equicontinuo. ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$
• Si es separable , es metrizable y es un subconjunto denso de entonces la topología de convergencia puntual en hace metrizable de modo que, en particular, la topología del subespacio que hereda cualquier subconjunto equicontinuo es metrizable. ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle H\subseteq L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$

Para subconjuntos equicontinuos del espacio dual continuo (donde ahora es el campo escalar subyacente de ), se cumple lo siguiente: ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

• El cierre débil de un conjunto equicontinuo de funcionales lineales en es un subespacio compacto de ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }.}$
• Si es separable entonces cada subconjunto equicontinuo débilmente cerrado de es un espacio compacto metrizable cuando se le da la topología débil (es decir, la topología del subespacio heredada de ). ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$
• Si es un espacio normable, entonces un subconjunto es equicontinuo si y sólo si está fuertemente acotado (es decir, acotado en ). ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq X^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$
• Si es un espacio en forma de barril , entonces para cualquier subconjunto los siguientes son equivalentes: ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq X^{\prime },}$
  1. ${\displaystyle H}$es equicontinuo;
  2. ${\displaystyle H}$es relativamente compacto en la topología dual débil;
  3. ${\displaystyle H}$está débilmente delimitado;
  4. ${\displaystyle H}$Está fuertemente delimitado.

Mencionamos algunas propiedades básicas importantes adicionales relevantes para el producto tensorial inyectivo:

• Supóngase que es una función bilineal donde es un espacio de Fréchet , es metrizable y es localmente convexo. Si es continua por separado, entonces es continua. ^[13] ${\displaystyle B:X_{1}\times X_{2}\to Y}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B}$

Identificación canónica de aplicaciones bilineales continuas por separado con aplicaciones lineales

La igualdad de conjuntos siempre se cumple, es decir, si es una función lineal, entonces es continua si y sólo si es continua, donde aquí tiene su topología original. ^[14] ${\displaystyle L\left(X_{\sigma }^{\prime };Y_{\sigma }\right)=L\left(X_{\tau }^{\prime };Y\right)}$ ${\displaystyle u:X^{\prime }\to Y}$ ${\displaystyle u:X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime }\to Y_{\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)}}$ ${\displaystyle u:X_{\tau \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime }\to Y}$ ${\displaystyle Y}$

También existe un isomorfismo de espacio vectorial canónico ^[14] Para definirlo, para cada forma bilineal continua separada definida en y cada sea definido por Debido a que es canónicamente isomorfo en el espacio vectorial a (a través del valor del mapa canónico en ), se identificará como un elemento de que se denotará por Esto define un mapa dado por y, por lo tanto, el isomorfismo canónico se define, por supuesto, por $${\displaystyle J:{\mathcal {B}}\left(X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime },Y_{\sigma \left(Y^{\prime },Y\right)}^{\prime }\right)\to L\left(X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Y_{\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)}\right).}$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime }\times Y_{\sigma \left(Y^{\prime },Y\right)}^{\prime }}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime },}$ ${\displaystyle B_{x^{\prime }}\in \left(Y_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$ $${\displaystyle B_{x^{\prime }}\left(y^{\prime }\right):=B\left(x^{\prime },y^{\prime }\right).}$$ ${\displaystyle \left(Y_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\mapsto }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle B_{x^{\prime }}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle {\tilde {B}}_{x^{\prime }}\in Y.}$ ${\displaystyle {\tilde {B}}:X^{\prime }\to Y}$ ${\displaystyle x^{\prime }\mapsto {\tilde {B}}_{x^{\prime }}}$ ${\displaystyle J(B):={\tilde {B}}.}$

Cuando se da la topología de convergencia uniforme en subconjuntos equicontinuos del mapa canónico se convierte en un isomorfismo TVS ^[14] En particular, puede ser canónicamente TVS-incrustado en ; además la imagen en de bajo el mapa canónico consiste exactamente en el espacio de mapas lineales continuos cuya imagen es de dimensión finita. ^[9] ${\displaystyle L\left(X_{\sigma }^{\sigma };Y_{\sigma }\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ $${\displaystyle J:{\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)\to L_{\varepsilon }\left(X_{\tau }^{\prime };Y\right).}$$ ${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y=B_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle L_{\varepsilon }\left(X_{\tau }^{\prime };Y\right)}$ ${\displaystyle L\left(X_{\sigma }^{\prime };Y_{\sigma }\right)}$ ${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y=B_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime }\to Y}$

La inclusión siempre se cumple. Si está normado entonces es de hecho un subespacio vectorial topológico de Y si además es de Banach entonces también lo es (incluso si no es completo). ^[9] ${\displaystyle L\left(X_{\tau }^{\prime };Y\right)\subseteq L\left(X_{b}^{\prime };Y\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L_{\varepsilon }\left(X_{\tau }^{\prime };Y\right)}$ ${\displaystyle L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right).}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right)}$ ${\displaystyle X}$

Propiedades

El mapa canónico es siempre continuo ^[15] y la topología ε es siempre más burda que la topología π ^[16] , que a su vez es más burda que la topología inductiva (la topología TVS localmente convexa más fina que hace que sea continua por separado). El espacio es de Hausdorff si y solo si tanto y son de Hausdorff. ^[15] ${\displaystyle \cdot \otimes \cdot :X\times Y\to {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X\times Y\to X\otimes Y}$ ${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Si y están normados entonces es normable en cuyo caso para todos ^[17] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle \theta \in X\otimes Y,}$ ${\displaystyle \|\theta \|_{\varepsilon }\leq \|\theta \|_{\pi }.}$

Supóngase que y son dos aplicaciones lineales entre espacios localmente convexos. Si ambos y son continuos, entonces también lo es su producto tensorial ^[18]. Además: ${\displaystyle u:X_{1}\to Y_{1}}$ ${\displaystyle v:X_{2}\to Y_{2}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u\otimes v:X_{1}\otimes _{\varepsilon }X_{2}\to Y_{1}\otimes _{\varepsilon }Y_{2}.}$

• Si y son ambas incrustaciones de TVS , entonces también lo es ^[19]. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }v:X_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X_{2}\to Y_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{2}.}$
• Si (resp. ) es un subespacio lineal de (resp. ) entonces es canónicamente isomorfo a un subespacio lineal de y es canónicamente isomorfo a un subespacio lineal de ^[20] ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle Y_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle Y_{2}}$ ${\displaystyle X_{1}\otimes _{\varepsilon }Y_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}\otimes _{\varepsilon }Y_{2}}$ ${\displaystyle X_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{2}.}$
• Hay ejemplos de y tales que tanto y son homomorfismos sobreyectivos pero no es un homomorfismo. ^[21] ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }v:X_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X_{2}\to Y_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{2}}$
• Si los cuatro espacios están normalizados entonces ^[17] ${\displaystyle \|u\otimes v\|_{\varepsilon }=\|u\|\|v\|.}$

Relación con el producto tensorial proyectivo y los espacios nucleares

La topología proyectiva o -topología es la topología localmente convexa más fina que hace continua la función canónica definida al enviarla a la forma bilineal. Cuando se dota de esta topología entonces se denotará por y se llamará producto tensorial proyectivo de y ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)=X\otimes Y}$ ${\displaystyle X\times Y\to B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle (x,y)\in X\times Y}$ ${\displaystyle x\otimes y.}$ ${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)=X\otimes Y}$ ${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

La siguiente definición fue utilizada por Grothendieck para definir los espacios nucleares. ^[22]

Definición 0 : Sea un espacio vectorial topológico localmente convexo. Entonces es nuclear si para cualquier espacio localmente convexo la incrustación del espacio vectorial canónico es una incrustación de sistemas vectoriales de transición cuya imagen es densa en el codominio. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y\to {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$

Identificaciones canónicas de aplicaciones lineales y bilineales

En esta sección describimos las identificaciones canónicas entre espacios de aplicaciones lineales y bilineales. Estas identificaciones se utilizarán para definir subespacios y topologías importantes (en particular, aquellas relacionadas con operadores nucleares y espacios nucleares ).

Espacios duales del producto tensorial inyectivo y su completitud

Supongamos que denota la incrustación por TVS de en su completitud y sea su transpuesta , que es un isomorfismo de espacio vectorial. Esto identifica el espacio dual continuo de como idéntico al espacio dual continuo de $${\displaystyle \operatorname {In} :X\otimes _{\varepsilon }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$$ ${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y}$ $${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :\left(X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y\right)_{b}^{\prime }\to \left(X\otimes _{\varepsilon }Y\right)_{b}^{\prime }}$$ ${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.}$

El mapa identidad es continuo (por definición de la π-topología ) por lo que existe una única extensión lineal continua Si y son espacios de Hilbert , entonces es inyectivo y el dual de es canónicamente isométrico isomorfo al espacio vectorial de operadores nucleares de en (con la norma de traza). $${\displaystyle \operatorname {Id} _{X\otimes Y}:X\otimes _{\pi }Y\to X\otimes _{\varepsilon }Y}$$ $${\displaystyle {\hat {I}}:X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\hat {I}}:X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle L^{1}\left(X;Y^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Producto tensorial inyectivo de espacios de Hilbert

Hay un mapa canónico que envía al mapa lineal definido por donde se puede demostrar que la definición de no depende de la elección particular de representación de El mapa es continuo y cuando es completo, tiene una extensión continua $${\displaystyle K:X\otimes Y\to L\left(X^{\prime };Y\right)}$$ ${\displaystyle z=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}}$ ${\displaystyle K(z):X^{\prime }\to Y}$ $${\displaystyle K(z)\left(x^{\prime }\right):=\sum _{i=1}^{n}x^{\prime }(x_{i})y_{i}\in Y,}$$ ${\displaystyle K(z):X\to Y}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}}$ ${\displaystyle z.}$ $${\displaystyle K:X\otimes _{\varepsilon }Y\to L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right)}$$ ${\displaystyle L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right)}$ $${\displaystyle {\hat {K}}:X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y\to L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right).}$$

Cuando y son espacios de Hilbert , entonces es una incrustación de TVS y una isometría (cuando a los espacios se les dan sus normas habituales) cuyo rango es el espacio de todos los operadores lineales compactos de en (que es un subespacio vectorial cerrado de Por lo tanto, es idéntico al espacio de operadores compactos de en (nótese el primo en ). El espacio de operadores lineales compactos entre dos espacios de Banach cualesquiera (que incluye espacios de Hilbert ) y es un subconjunto cerrado de ^[23] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\hat {K}}:X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y\to L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{b}\left(X^{\prime };Y\right).}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y).}$

Además, el mapa canónico es inyectivo cuando y son espacios de Hilbert. ^[23] ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Formas integrales y operadores

Formas integrales bilineales

Denotemos la función identidad por y denotemos su transpuesta , que es una inyección continua. Recordemos que se identifica canónicamente con el espacio de funciones bilineales continuas en De esta manera, el espacio dual continuo de se puede identificar canónicamente como un subespacio vectorial de denotado por Los elementos de se denominan formas integrales ( bilineales ) en El siguiente teorema justifica la palabra integral . $${\displaystyle \operatorname {Id} :X\otimes _{\pi }Y\to X\otimes _{\varepsilon }Y}$$ $${\displaystyle {}^{t}\operatorname {Id} :\left(X\otimes _{\varepsilon }Y\right)_{b}^{\prime }\to \left(X\otimes _{\pi }Y\right)_{b}^{\prime }}$$ ${\displaystyle \left(X\otimes _{\pi }Y\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle B(X,Y),}$ ${\displaystyle X\times Y.}$ ${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle B(X,Y),}$ ${\displaystyle J(X,Y).}$ ${\displaystyle J(X,Y)}$ ${\displaystyle X\times Y.}$

Teorema ^{[24] [25]}  —  El dualdeconsiste exactamente en aquellas formas bilineales continuas v enque pueden representarse en forma de una función dondeyson algunos subconjuntos cerrados y equicontinuos deyrespectivamente, y es una medida de Radon positivaen el conjunto compactocon masa total . Además, sies un subconjunto equicontinuo deentonces los elementospueden representarse confijos yque recorren un subconjunto acotado por norma del espacio de medidas de Radon en ${\displaystyle J(X,Y)}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$ $${\displaystyle b\in B(X,Y)\mapsto v(b)=\int _{S\times T}b{\big \vert }_{S\times T}\left(x^{\prime },y^{\prime }\right)\operatorname {d} \mu \left(x^{\prime },y^{\prime }\right)}$$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle Y_{\sigma }^{\prime },}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S\times T}$ ${\displaystyle \leq 1.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle J(X,Y)}$ ${\displaystyle v\in A}$ ${\displaystyle S\times T}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S\times T.}$

Operadores lineales integrales

Dado un mapa lineal, se puede definir una forma bilineal canónica llamada forma bilineal asociada en por Un mapa continuo se llama integral si su forma bilineal asociada es una forma bilineal integral. ^[26] Un mapa integral es de la forma, para cada y para subconjuntos adecuados débilmente cerrados y equicontinuos y de y respectivamente, y alguna medida positiva de Radon de masa total ${\displaystyle \Lambda :X\to Y,}$ ${\displaystyle B_{\Lambda }\in Bi\left(X,Y^{\prime }\right),}$ ${\displaystyle X\times Y^{\prime },}$ $${\displaystyle B_{\Lambda }\left(x,y^{\prime }\right):=\left(y^{\prime }\circ \Lambda \right)(x).}$$ ${\displaystyle \Lambda :X\to Y}$ ${\displaystyle \Lambda :X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y^{\prime }\in Y^{\prime }:}$ $${\displaystyle \left\langle y^{\prime },\Lambda (x)\right\rangle =\int _{A^{\prime }\times B^{\prime \prime }}\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \left\langle y^{\prime \prime },y^{\prime }\right\rangle \operatorname {d} \mu \left(x^{\prime },y^{\prime \prime }\right)}$$ ${\displaystyle A^{\prime }}$ ${\displaystyle B^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y^{\prime \prime },}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \leq 1.}$

Mapa canónico enyo(incógnita;Y)

Hay un mapa canónico que envía al mapa lineal definido por donde se puede demostrar que la definición de no depende de la elección particular de representación de ${\displaystyle K:X^{\prime }\otimes Y\to L(X;Y)}$ ${\textstyle z=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\prime }\otimes y_{i}}$ ${\displaystyle K(z):X\to Y}$ ${\textstyle K(z)(x):=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\prime }(x)y_{i}\in Y,}$ ${\displaystyle K(z):X\to Y}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\prime }\otimes y_{i}}$ ${\displaystyle z.}$

Ejemplos

Espacio de familias sumables

A lo largo de esta sección fijamos un conjunto arbitrario (posiblemente incontable ) de TVS y dejamos que sea el conjunto dirigido de todos los subconjuntos finitos de dirigido por inclusión. ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \subseteq .}$

Sea una familia de elementos en un TVS y para cada subconjunto finito sea Llamamos sumable en si el límite de la red converge en a algún elemento (cualquier elemento de este tipo se llama su suma ). El conjunto de todas estas familias sumables es un subespacio vectorial de denotado por ${\displaystyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq A,}$ ${\textstyle x_{H}:=\sum _{i\in H}x_{i}.}$ ${\displaystyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \lim _{H\in {\mathcal {F}}(A)}x_{H}}$ ${\displaystyle \left(x_{H}\right)_{H\in {\mathcal {F}}(A)}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{A}}$ ${\displaystyle S.}$

Ahora definimos una topología en de una manera muy natural. Esta topología resulta ser la topología inyectiva tomada de y transferida a través de un isomorfismo de espacio vectorial canónico (el obvio). Esto es algo que ocurre con frecuencia cuando se estudian los productos tensoriales inyectivos y proyectivos de espacios de funciones/secuencias y sistemas de sucesiones temporales: la "forma natural" en la que uno definiría (desde cero) una topología en dicho producto tensorial es con frecuencia equivalente a la topología del producto tensorial inyectivo o proyectivo . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle l^{1}(A){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$ ${\displaystyle S}$

Sea una base de vecindades convexas balanceadas de 0 en y para cada sea su funcional de Minkowski . Para cualquier tal y cualquier sea donde define una seminorma en La familia de seminormas genera una topología que convierte en un espacio localmente convexo. El espacio vectorial dotado de esta topología se denotará por ^[27] El caso especial donde es el campo escalar se denotará por ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\in {\mathfrak {U}},}$ ${\displaystyle \mu _{U}:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x=\left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}\in S,}$ $${\displaystyle q_{U}(x):=\sup _{x^{\prime }\in U^{\circ }}\sum _{\alpha \in A}\left|\left\langle x^{\prime },x_{\alpha }\right\rangle \right|}$$ ${\displaystyle q_{U}}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle \left\{q_{U}:U\in {\mathfrak {U}}\right\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle l^{1}(A,X).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle l^{1}(A).}$

Existe una incrustación canónica de espacios vectoriales definida mediante la linealización del mapa bilineal definido por ^[27] ${\displaystyle l^{1}(A)\otimes X\to l^{1}(A,E)}$ ${\displaystyle l^{1}(A)\times X\to l^{1}(A,E)}$ ${\displaystyle \left(\left(r_{\alpha }\right)_{\alpha \in A},x\right)\mapsto \left(r_{\alpha }x\right)_{\alpha \in A}.}$

Teorema : ^[27]  —  La incrustación canónica (de espacios vectoriales)se convierte en una incrustación de espacios vectoriales topológicoscuandose da la topología inyectiva y además, su rango es denso en su codominio. Sies una completitud deentonces la extensión continuade esta incrustaciónes un isomorfismo de los SVT. Así, en particular, sies completa entonceses canónicamente isomorfa a ${\displaystyle l^{1}(A)\otimes X\to l^{1}(A,E)}$ ${\displaystyle l^{1}(A)\otimes _{\varepsilon }X\to l^{1}(A,E)}$ ${\displaystyle l^{1}(A)\otimes X}$ ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle l^{1}(A){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X\to l^{1}\left(A,{\hat {X}}\right)}$ ${\displaystyle l^{1}(A)\otimes _{\varepsilon }X\to l^{1}\left(A,X\right)\subseteq l^{1}\left(A,{\hat {X}}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle l^{1}(A){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$ ${\displaystyle l^{1}(A,E).}$

Espacio de funciones vectoriales continuamente diferenciables

En todas sus partes, sea un subconjunto abierto de donde es un entero y sea un espacio vectorial topológico localmente convexo (TVS). ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle Y}$

Definición ^[28] Supóngase que y es una función tal que con un punto límite de Digamos que es diferenciable en si existen vectores en llamados derivadas parciales de , tales que donde ${\displaystyle p^{0}=\left(p_{1}^{0},\ldots ,p_{n}^{0}\right)\in \Omega }$ ${\displaystyle f:\operatorname {Dom} f\to Y}$ ${\displaystyle p^{0}\in \operatorname {Dom} f}$ ${\displaystyle p^{0}}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} f.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p^{0}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \lim _{\stackrel {p\to p^{0},}{p\in \operatorname {domain} f}}{\frac {f(p)-f\left(p^{0}\right)-\sum _{i=1}^{n}(p_{i}-p_{i}^{0})e_{i}}{\left\|p-p^{0}\right\|_{2}}}=0{\text{ in }}Y}$$ ${\displaystyle p=(p_{1},\ldots ,p_{n}).}$

Naturalmente, se puede extender la noción de función continuamente diferenciable a funciones con valores definidos en Para cualquier sea el espacio vectorial de todos los mapas con valores definidos en y sea el subespacio vectorial de que consiste en todos los mapas en que tienen soporte compacto. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Omega .}$ ${\displaystyle k=0,1,\ldots ,\infty ,}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}$

Se pueden definir topologías en y de la misma manera que se definen las topologías en y para el espacio de distribuciones y funciones de prueba (véase el artículo: Funciones vectoriales diferenciables del espacio euclidiano ). Todo este trabajo de extensión de la definición de diferenciabilidad y de varias topologías resulta ser exactamente equivalente a tomar simplemente el producto tensorial inyectivo completo: ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega )}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega )}$

Teorema ^[29]  —  Sies un espacio localmente convexo de Hausdorff completo, entonceses canónicamente isomorfo al producto tensorial inyectivo ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.}$

Espacios de aplicaciones continuas a partir de un espacio compacto

Si es un espacio normado y si es un conjunto compacto, entonces la -norma en es igual a ^[29] Si y son dos espacios compactos, entonces donde esta función canónica es un isomorfismo de los espacios de Banach. ^[29] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle C(K)\otimes Y}$ ${\textstyle \|f\|_{\varepsilon }=\sup _{x\in K}\|f(x)\|.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle C(H\times K)\cong C(H){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }C(K),}$

Espacios de sucesiones que convergen a 0

Si es un espacio normado, entonces sea el espacio de todas las secuencias en que convergen al origen y dé a este espacio la norma Sea Entonces para cualquier espacio de Banach es canónicamente isométrico isomorfo a [ ^29] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle l_{\infty }(Y)}$ ${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left\|\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\right\|:=\sup _{i\in \mathbb {N} }\left\|y_{i}\right\|.}$ ${\displaystyle l_{\infty }}$ ${\displaystyle l_{\infty }\left(\mathbb {C} \right).}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle l_{\infty }{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle l_{\infty }(Y).}$

Espacio de funciones de Schwartz

Ahora generalizaremos el espacio de Schwartz a funciones valoradas en un TVS. Sea el espacio de todos tales que para todos los pares de polinomios y en variables, es un subconjunto acotado de Para generalizar la topología del espacio de Schwartz a damos la topología de convergencia uniforme sobre de las funciones como y varían sobre todos los pares posibles de polinomios en variables. ^[29] ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left\{P(x)Q\left(\partial /\partial x\right)f(x):x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right),}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle P(x)Q\left(\partial /\partial x\right)f(x),}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n}$

Teorema ^[29]  —  Si es un espacio localmente convexo completo, entonces es canónicamente isomorfo a ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.}$

Véase también

• Espacio auxiliar normado
• Topología final  : la mejor topología que hace que algunas funciones sean continuas
• Producto tensorial inductivo  : operación binaria en espacios vectoriales topológicosPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Mapa integral  – Función matemáticaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Operador nuclear  – Operador lineal relacionado con los espacios vectoriales topológicos
• Espacio nuclear  : una generalización de los espacios euclidianos de dimensión finita diferentes de los espacios de Hilbert
• Producto tensorial proyectivo  : producto tensorial definido en dos espacios vectoriales topológicosPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Producto tensorial topológico  – Construcciones de productos tensoriales para espacios vectoriales topológicos

Notas

1. Esto es cierto incluso si no se supone que sea Hausdorff o localmente convexo. ${\displaystyle X}$

Referencias

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2. Trèves 2006, págs. 338–345.
3. Trèves 2006, págs. 431–432.
4. Trèves 2006, págs. 403–404.
5. Trèves 2006, pág. 403.
6. Trèves 2006, pág. 428.
7. Trèves 2006, págs. 427–428.
8. Trèves 2006, pág. 430.
9. Trèves 2006, págs.
10. Trèves 2006, págs. 368–370.
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22. Schaefer y Wolff 1999, pág. 170.
23. Trèves 2006, pág. 494.
24. Schaefer y Wolff 1999, pág. 168.
25. Trèves 2006, págs. 500–502.
26. Trèves 2006, págs. 502–505.
27. Schaefer y Wolff 1999, págs. 179-184.
28. Trèves 2006, págs. 412–419.
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Enlaces externos

• El espacio nuclear en el NCATLAB