Funciones vectoriales diferenciables del espacio euclidiano

Función diferenciable en el análisis funcional

En la disciplina matemática del análisis funcional , una función vectorial diferenciable del espacio euclidiano es una función diferenciable valorada en un espacio vectorial topológico (TVS) cuyos dominios son un subconjunto de algún espacio euclidiano de dimensión finita . Es posible generalizar la noción de derivada a funciones cuyo dominio y codominio son subconjuntos de espacios vectoriales topológicos (TVS) arbitrarios de múltiples maneras. Pero cuando el dominio de una función vectorial diferenciable es un subconjunto de un espacio euclidiano de dimensión finita , muchas de estas nociones se vuelven lógicamente equivalentes, lo que resulta en un número mucho más limitado de generalizaciones de la derivada y, además, la diferenciabilidad también se comporta mejor en comparación con el caso general. Este artículo presenta la teoría de funciones continuamente diferenciables en un subconjunto abierto del espacio euclidiano ( ), que es un caso especial importante de diferenciación entre TVS arbitrarios. Esta importancia se debe en parte al hecho de que cada subespacio vectorial de dimensión finita de un espacio vectorial topológico de Hausdorff es isomorfo TVS al espacio euclidiano , de modo que, por ejemplo, este caso especial se puede aplicar a cualquier función cuyo dominio sea un TVS de Hausdorff arbitrario restringiéndolo a subespacios vectoriales de dimensión finita. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle 1\leq n<\infty }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Se supondrá que todos los espacios vectoriales están sobre el campo donde están los números reales o los números complejos. ${\displaystyle \mathbb {F} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Funciones vectoriales continuamente diferenciables

Una función que también puede denotarse por entre dos espacios topológicos se dice que es -veces continuamente diferenciable o si es continua. Una incrustación topológica también puede llamarse -incrustación . ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f^{(0)},}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle C^{0}}$

Curvas

Las curvas diferenciables son un caso especial importante de funciones diferenciables con valores vectoriales (es decir, con valores TVS) que, en particular, se utilizan en la definición de la derivada de Gateaux . Son fundamentales para el análisis de funciones entre dos espacios vectoriales topológicos arbitrarios y, por lo tanto, también para el análisis de funciones con valores TVS a partir de espacios euclidianos , que es el foco de este artículo. ${\displaystyle X\to Y}$

Un mapa continuo de un subconjunto que se valora en un espacio vectorial topológico se dice que es ( una vez o -vez ) diferenciable si para todo es diferenciable en lo que por definición significa que existe el siguiente límite en : donde para que este límite esté bien definido, debe ser un punto de acumulación de Si es diferenciable, entonces se dice que es continuamente diferenciable o si su derivada , que es el mapa inducido es continuo. Usando inducción en el mapa es -veces continuamente diferenciable o si su derivada es continuamente diferenciable, en cuyo caso la -derivada de es el mapa Se llama suave o infinitamente diferenciable si es -veces continuamente diferenciable para cada entero Para se llama -veces diferenciable si es -veces continuo diferenciable y es diferenciable. ${\displaystyle f:I\to X}$ ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle t\in I,}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle f^{\prime }(t):=f^{(1)}(t):=\lim _{\stackrel {r\to t}{t\neq r\in I}}{\frac {f(r)-f(t)}{r-t}}=\lim _{\stackrel {h\to 0}{t\neq t+h\in I}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}}$$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle I.}$ ${\displaystyle f:I\to X}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle f^{\prime }=f^{(1)}:I\to X,}$ ${\displaystyle 1<k\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle f:I\to X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k-1^{\text{th}}}$ ${\displaystyle f^{(k-1)}:I\to X}$ ${\displaystyle k^{\text{th}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{(k)}:=\left(f^{(k-1)}\right)^{\prime }:I\to X.}$ ${\displaystyle C^{\infty },}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle f^{(k-1)}:I\to X}$

Una función continua de un intervalo no vacío y no degenerado en un espacio topológico se llama curva o curva en Un camino en es una curva en cuyo dominio es compacto mientras que un arco o C ⁰ -arco en es un camino en que también es una incrustación topológica . Para cualquier una curva valorada en un espacio vectorial topológico se llama -incrustación si es una incrustación topológica y una curva tal que para cada donde se llama -arco si también es un camino (o equivalentemente, también un -arco) además de ser una -incrustación. ${\displaystyle f:I\to X}$ ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k\in \{1,2,\ldots ,\infty \},}$ ${\displaystyle f:I\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle f^{\prime }(t)\neq 0}$ ${\displaystyle t\in I,}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle C^{k}}$

Diferenciabilidad en el espacio euclidiano

La definición dada anteriormente para las curvas ahora se extiende desde funciones definidas en subconjuntos de a funciones definidas en subconjuntos abiertos de espacios euclidianos de dimensión finita . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

En todas partes, sea un subconjunto abierto de donde es un entero. Supóngase que y es una función tal que con un punto de acumulación de Entonces es diferenciable en ^[1] si existen vectores en llamados derivadas parciales de en , tales que donde Si es diferenciable en un punto entonces es continua en ese punto. ^[1] Si es diferenciable en cada punto en algún subconjunto de su dominio entonces se dice que es ( una o -vez ) diferenciable en , donde si el subconjunto no se menciona entonces esto significa que es diferenciable en cada punto en su dominio. Si es diferenciable y si cada una de sus derivadas parciales es una función continua entonces se dice que es ( una o -vez ) continuamente diferenciable o ^[1] Por haber definido lo que significa que una función sea (o veces continuamente diferenciable), digamos que es veces continuamente diferenciable o que es si es continuamente diferenciable y cada una de sus derivadas parciales es Digamos que es suave , o infinitamente diferenciable si es para todo El soporte de una función es la clausura (tomada en su dominio ) del conjunto ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle t=\left(t_{1},\ldots ,t_{n}\right)\in \Omega }$ ${\displaystyle f:\operatorname {domain} f\to Y}$ ${\displaystyle t\in \operatorname {domain} f}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \operatorname {domain} f.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle \lim _{\stackrel {p\to t}{t\neq p\in \operatorname {domain} f}}{\frac {f(p)-f(t)-\sum _{i=1}^{n}\left(p_{i}-t_{i}\right)e_{i}}{\|p-t\|_{2}}}=0{\text{ in }}Y}$$ ${\displaystyle p=\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle C^{1}.}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k+1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{\infty },}$ ${\displaystyle C^{\infty },}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k=0,1,\ldots .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {domain} f}$ ${\displaystyle \{x\in \operatorname {domain} f:f(x)\neq 0\}.}$

Espacios dedoafunciones con valores vectoriales

En esta sección, el espacio de funciones de prueba suaves y su topología LF canónica se generalizan a funciones valoradas en espacios vectoriales topológicos localmente convexos de Hausdorff (TVS) completos . Una vez completada esta tarea, se revela que el espacio vectorial topológico que se construyó podría (hasta el isomorfismo TVS) haberse definido simplemente como el producto tensorial inyectivo completo del espacio habitual de funciones de prueba suaves con ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ){\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega )}$ ${\displaystyle Y.}$

En todas sus partes, sea un espacio vectorial topológico de Hausdorff (TVS), sean y sean: ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle k\in \{0,1,\ldots ,\infty \},}$ ${\displaystyle \Omega }$

1. un subconjunto abierto de donde es un entero, o bien ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle n\geq 1}$
2. un espacio topológico localmente compacto , en cuyo caso sólo puede ser ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 0.}$

Espacio dedoafunciones

Para cualquier sea el espacio vectorial de todos los mapas con valores definidos en y sea el subespacio vectorial de que consiste en todos los mapas en que tienen soporte compacto. Sea y sea Dé la topología de convergencia uniforme de las funciones junto con sus derivadas de orden en los subconjuntos compactos de ^[1] Supóngase que es una secuencia de subconjuntos abiertos relativamente compactos de cuya unión es y que satisfacen para todos Supóngase que es una base de vecindades del origen en Entonces para cualquier entero los conjuntos: forman una base de vecindades del origen para como y varían de todas las formas posibles. Si es una unión numerable de subconjuntos compactos y es un espacio de Fréchet , entonces también lo es Nótese que es convexo siempre que es convexo. Si es metrizable (resp. completo , localmente convexo , Hausdorff ) entonces también lo es ^{[1] [2]} Si es una base de seminormas continuas para entonces una base de seminormas continuas en es: como y varían de todas las formas posibles. ^[1] ${\displaystyle k=0,1,\ldots ,\infty ,}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega )}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;\mathbb {F} )}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega )}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega ;\mathbb {F} ).}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle <k+1}$ ${\displaystyle \Omega .}$ ${\displaystyle \Omega _{1}\subseteq \Omega _{2}\subseteq \cdots }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\overline {\Omega _{i}}}\subseteq \Omega _{i+1}}$ ${\displaystyle i.}$ ${\displaystyle \left(V_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle \ell <k+1,}$ $${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i,\ell ,\alpha }:=\left\{f\in C^{k}(\Omega ;Y):\left(\partial /\partial p\right)^{q}f(p)\in U_{\alpha }{\text{ for all }}p\in \Omega _{i}{\text{ and all }}q\in \mathbb {N} ^{n},|q|\leq \ell \right\}}$$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle \ell ,}$ ${\displaystyle \alpha \in A}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C^{(}\Omega ;Y).}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i,l,\alpha }}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y).}$ ${\displaystyle (p_{\alpha })_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}$ $${\displaystyle \mu _{i,l,\alpha }(f):=\sup _{y\in \Omega _{i}}\left(\sum _{|q|\leq l}p_{\alpha }\left(\left(\partial /\partial p\right)^{q}f(p)\right)\right)}$$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle \ell ,}$ ${\displaystyle \alpha \in A}$

Espacio dedoaFunciones con soporte en un subconjunto compacto

Ahora se duplica y se generaliza la definición de la topología del espacio de funciones de prueba . Para cualquier subconjunto compacto, denotemos el conjunto de todos en cuyo soporte se encuentra (en particular, si entonces el dominio de es en lugar de ) y denostemos la topología de subespacio inducida por ^[1] Si es un espacio compacto y es un espacio de Banach, entonces se convierte en un espacio de Banach normado por ^[2] Sea que denotemos Para cualesquiera dos subconjuntos compactos la inclusión es una incrustación de TVS y que la unión de todos como varía sobre los subconjuntos compactos de es ${\displaystyle K\subseteq \Omega ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(K;Y)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y).}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C^{0}(K;Y)}$ ${\displaystyle \|f\|:=\sup _{\omega \in \Omega }\|f(\omega )\|.}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;\mathbb {F} ).}$ ${\displaystyle K\subseteq L\subseteq \Omega ,}$ $${\displaystyle \operatorname {In} _{K}^{L}:C^{k}(K;Y)\to C^{k}(L;Y)}$$ ${\displaystyle C^{k}(K;Y),}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega ;Y).}$

Espacio de soporte compactodoafunciones

Para cualquier subconjunto compacto sea la función de inclusión y dote con la topología más fuerte que hace que todas sean continuas, lo que se conoce como la topología final inducida por estas funciones. Los espacios y funciones forman un sistema directo (dirigido por los subconjuntos compactos de ) cuyo límite en la categoría de TVS es junto con las inyecciones ^[1] Los espacios y funciones también forman un sistema directo (dirigido por el orden total ) cuyo límite en la categoría de TVS es junto con las inyecciones ^[1] Cada incrustación es una incrustación de TVS. Un subconjunto de es una vecindad del origen en si y solo si es una vecindad del origen en para cada compacto Esta topología límite directa (es decir, la topología final) en se conoce como la topología LF canónica . ${\displaystyle K\subseteq \Omega ,}$ $${\displaystyle \operatorname {In} _{K}:C^{k}(K;Y)\to C_{c}^{k}(\Omega ;Y)}$$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{K}}$ ${\displaystyle C^{k}(K;Y)}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{K_{1}}^{K_{2}}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{K}.}$ ${\displaystyle C^{k}\left({\overline {\Omega _{i}}};Y\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\overline {\Omega _{i}}}^{\overline {\Omega _{j}}}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\overline {\Omega _{i}}}.}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{K}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle S\cap C^{k}(K;Y)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;Y)}$ ${\displaystyle K\subseteq \Omega .}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$

Si es un espacio localmente convexo de Hausdorff, es un TVS y es una función lineal, entonces es continua si y solo si para todo compacto la restricción de a es continua. ^[1] La afirmación sigue siendo verdadera si "todo compacto " se reemplaza por "todo ". ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle u:C_{c}^{k}(\Omega ;Y)\to T}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle K\subseteq \Omega ,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle C^{k}(K;Y)}$ ${\displaystyle K\subseteq \Omega }$ ${\displaystyle K:={\overline {\Omega }}_{i}}$

Propiedades

Teorema ^[1]  —  Sea un entero positivo y sea un subconjunto abierto de Dado para cualquier sea definido por y sea definido por Entonces es un isomorfismo sobreyectivo de TVS. Además, su restricción es un isomorfismo de TVS (donde tiene su topología LF canónica). ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}.}$ ${\displaystyle \phi \in C^{k}(\Omega \times \Delta ),}$ ${\displaystyle y\in \Delta }$ ${\displaystyle \phi _{y}:\Omega \to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \phi _{y}(x)=\phi (x,y)}$ ${\displaystyle I_{k}(\phi ):\Delta \to C^{k}(\Omega )}$ ${\displaystyle I_{k}(\phi )(y):=\phi _{y}.}$ $${\displaystyle I_{\infty }:C^{\infty }(\Omega \times \Delta )\to C^{\infty }(\Delta ;C^{\infty }(\Omega ))}$$ $${\displaystyle I_{\infty }{\big \vert }_{C_{c}^{\infty }\left(\Omega \times \Delta \right)}:C_{c}^{\infty }(\Omega \times \Delta )\to C_{c}^{\infty }\left(\Delta ;C_{c}^{\infty }(\Omega )\right)}$$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }\left(\Omega \times \Delta \right)}$

Teorema ^[1]  —  Sea un espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff y para cada forma lineal continua y cada sea definido por Entonces es una función lineal continua; y además, su restricción también es continua (donde tiene la topología LF canónica). ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y^{\prime }\in Y}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(\Omega ;Y),}$ ${\displaystyle J_{y^{\prime }}(f):\Omega \to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle J_{y^{\prime }}(f)(p)=y^{\prime }(f(p)).}$ $${\displaystyle J_{y^{\prime }}:C^{\infty }(\Omega ;Y)\to C^{\infty }(\Omega )}$$ $${\displaystyle J_{y^{\prime }}{\big \vert }_{C_{c}^{\infty }(\Omega ;Y)}:C_{c}^{\infty }(\Omega ;Y)\to C^{\infty }(\Omega )}$$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega ;Y)}$

Identificación como producto tensorial

Supongamos de ahora en adelante que es Hausdorff. Dada una función y un vector , denotemos la función definida por Esto define una función bilineal en el espacio de funciones cuya imagen está contenida en un subespacio vectorial de dimensión finita de esta función bilineal convierte este subespacio en un producto tensorial de y que denotaremos por ^[1] Además, si denota el subespacio vectorial de que consiste en todas las funciones con soporte compacto, entonces es un producto tensorial de y ^[1] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(\Omega )}$ ${\displaystyle y\in Y,}$ ${\displaystyle f\otimes y}$ ${\displaystyle f\otimes y:\Omega \to Y}$ ${\displaystyle (f\otimes y)(p)=f(p)y.}$ ${\displaystyle \otimes :C^{k}(\Omega )\times Y\to C^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle Y;}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega )}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega )\otimes Y.}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega )\otimes Y}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega )\otimes Y}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega )\otimes Y}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega )}$ ${\displaystyle Y.}$

Si es localmente compacto entonces es denso en mientras que si es un subconjunto abierto de entonces es denso en ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{c}^{0}(\Omega )\otimes Y}$ ${\displaystyle C^{0}(\Omega ;X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )\otimes Y}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;X).}$

Teorema  —  Si es un espacio localmente convexo de Hausdorff completo, entonces es canónicamente isomorfo al producto tensorial inyectivo ^[2] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}$ ${\displaystyle C^{k}(\Omega ){\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y.}$

Véase también

• Espacio vectorial conveniente  : espacios vectoriales localmente convexos que satisfacen una condición de completitud muy levePages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Arco arrugado
• Diferenciación en espacios de Fréchet
• Derivada de Fréchet  – Derivada definida en espacios normados
• Derivada de Gateaux  – Generalización del concepto de derivada direccional
• Función vectorial de dimensión infinita  : función cuyos valores se encuentran en un espacio vectorial de dimensión infinita.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Producto tensorial inyectivo

Notas

Citas

1. Trèves 2006, págs. 412–419.
2. Trèves 2006, págs. 446–451.

Referencias

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