Diferenciación en espacios de Fréchet

En matemáticas , en particular en análisis funcional y análisis no lineal , es posible definir la derivada de una función entre dos espacios de Fréchet . Esta noción de diferenciación, al ser derivada de Gateaux entre espacios de Fréchet, es significativamente más débil que la derivada en un espacio de Banach , incluso entre espacios vectoriales topológicos generales . Sin embargo, es la noción más débil de diferenciación para la que se aplican muchos de los teoremas familiares del cálculo . En particular, la regla de la cadena es cierta. Con algunas restricciones adicionales sobre los espacios de Fréchet y las funciones involucradas, existe un análogo del teorema de la función inversa llamado teorema de la función inversa de Nash-Moser , que tiene amplias aplicaciones en análisis no lineal y geometría diferencial .

Detalles matemáticos

Formalmente, la definición de diferenciación es idéntica a la derivada de Gateaux . Específicamente, sean espacios de Fréchet, sean un conjunto abierto y sean una función. La derivada direccional de en la dirección se define por si existe el límite. Se dice que es continuamente diferenciable, o si el límite existe para todos y el mapeo es un mapa continuo . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle F:U\to Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle v\in X}$ $${\displaystyle DF(u)v=\lim _{\tau \to 0}{\frac {F(u+v\tau )-F(u)}{\tau }}}$$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle v\in X}$ $${\displaystyle DF:U\times X\to Y}$$

Las derivadas de orden superior se definen inductivamente mediante Se dice que una función es si es o suave si es para cada $${\displaystyle D^{k+1}F(u)\left\{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k+1}\right\}=\lim _{\tau \to 0}{\frac {D^{k}F(u+\tau v_{k+1})\left\{v_{1},\ldots ,v_{k}\right\}-D^{k}F(u)\left\{v_{1},\ldots ,v_{k}\right\}}{\tau }}.}$$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle D^{k}F:U\times X\times X\times \cdots \times X\to Y}$ ${\displaystyle C^{\infty },}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k.}$

Propiedades

Sean y sean espacios de Fréchet. Supongamos que es un subconjunto abierto de y son un par de funciones. Entonces se cumplen las siguientes propiedades: ${\displaystyle X,Y,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle F:U\to V,}$ ${\displaystyle G:V\to Z}$ ${\displaystyle C^{1}}$

• Teorema fundamental del cálculo . Si el segmento de línea dease encuentra completamente dentro, entonces ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle U,}$ $${\displaystyle F(b)-F(a)=\int _{0}^{1}DF(a+(b-a)t)\cdot (b-a)dt.}$$
• La regla de la cadena . para todos y ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle D(G\circ F)(u)x=DG(F(u))DF(u)x}$$
• Linealidad .es lineal en ^{[ cita necesaria ]} Más generalmente, siesentonceses multilineal en's. ${\displaystyle DF(u)x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C^{k},}$ ${\displaystyle DF(u)\left\{x_{1},\ldots ,x_{k}\right\}}$ ${\displaystyle x}$
• Teorema de Taylor con resto . Supongamos que el segmento de línea entre y se encuentra completamente dentro de If es entonces donde el término restante está dado por ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle u+h}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C^{k}}$ $${\displaystyle F(u+h)=F(u)+DF(u)h+{\frac {1}{2!}}D^{2}F(u)\{h,h\}+\cdots +{\frac {1}{(k-1)!}}D^{k-1}F(u)\{h,h,\ldots ,h\}+R_{k}}$$ $${\displaystyle R_{k}(u,h)={\frac {1}{(k-1)!}}\int _{0}^{1}(1-t)^{k-1}D^{k}F(u+th)\{h,h,\ldots ,h\}dt}$$
• Conmutatividad de derivadas direccionales . Si es entonces para cada permutación σ de ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C^{k},}$ $${\displaystyle D^{k}F(u)\left\{h_{1},\ldots ,h_{k}\right\}=D^{k}F(u)\left\{h_{\sigma (1)},\ldots ,h_{\sigma (k)}\right\}}$$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,k\}.}$

Las demostraciones de muchas de estas propiedades se basan fundamentalmente en el hecho de que es posible definir la integral de Riemann de curvas continuas en un espacio de Fréchet.

Mapeos fluidos

Sorprendentemente, un mapeo entre un subconjunto abierto de espacios de Fréchet es suave (infinitamente diferenciable) si mapea curvas suaves a curvas suaves; ver Análisis conveniente . Además, las curvas suaves en espacios de funciones suaves son simplemente funciones suaves de una variable más.

Consecuencias en la geometría diferencial

La existencia de una regla de la cadena permite la definición de una variedad modelada en un espacio de Frèchet: una variedad de Fréchet . Además, la linealidad de la derivada implica que existe un análogo del fibrado tangente para las variedades de Fréchet.

Domar espacios de Fréchet

Con frecuencia los espacios de Fréchet que surgen en aplicaciones prácticas de la derivada disfrutan de una propiedad adicional: son mansos . En términos generales, un espacio de Fréchet manso es aquel que es casi un espacio de Banach . En espacios domesticados, es posible definir una clase preferida de asignaciones, conocidas como mapas domesticados. En la categoría de espacios domesticados bajo mapas domesticados, la topología subyacente es lo suficientemente fuerte como para respaldar una teoría completa de topología diferencial . En este contexto, se mantienen muchas más técnicas del cálculo. En particular, existen versiones de los teoremas de la función inversa e implícita.

Ver también

• Funciones diferenciables con valores vectoriales del espacio euclidiano  : función diferenciable en análisis funcionalPages displaying short descriptions of redirect targets
• Función vectorial de dimensión infinita  : función cuyos valores se encuentran en un espacio vectorial de dimensión infinitaPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Referencias

• Hamilton, RS (1982). "El teorema de la función inversa de Nash y Moser". Toro. América. Matemáticas. Soc . 7 (1): 65–222. doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15004-2 . SEÑOR  0656198.