Diferenciación en espacios de Fréchet

En matemáticas , en particular en análisis funcional y análisis no lineal , es posible definir la derivada de una función entre dos espacios de Fréchet . Esta noción de diferenciación, como derivada de Gateaux entre espacios de Fréchet, es significativamente más débil que la derivada en un espacio de Banach , incluso entre espacios vectoriales topológicos generales . Sin embargo, es la noción más débil de diferenciación para la que se cumplen muchos de los teoremas familiares del cálculo . En particular, la regla de la cadena es verdadera. Con algunas restricciones adicionales sobre los espacios de Fréchet y las funciones involucradas, existe un análogo del teorema de la función inversa llamado teorema de la función inversa de Nash-Moser , que tiene amplias aplicaciones en el análisis no lineal y la geometría diferencial .

Detalles matemáticos

Formalmente, la definición de diferenciación es idéntica a la derivada de Gateaux . En concreto, sean y espacios de Fréchet, un conjunto abierto y una función. La derivada direccional de en la dirección se define por si existe el límite. Se dice que es continuamente diferenciable, o si existe el límite para todos y la aplicación es una aplicación continua . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle F:U\to Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle v\in X}$ $${\displaystyle DF(u)v=\lim _{\tau \to 0}{\frac {F(u+v\tau )-F(u)}{\tau }}}$$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle v\in X}$ $${\displaystyle DF:U\times X\to Y}$$

Las derivadas de orden superior se definen inductivamente mediante Se dice que una función es si es continua. Es o suave si es para cada $${\displaystyle D^{k+1}F(u)\left\{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k+1}\right\}=\lim _{\tau \to 0}{\frac {D^{k}F(u+\tau v_{k+1})\left\{v_{1},\ldots ,v_{k}\right\}-D^{k}F(u)\left\{v_{1},\ldots ,v_{k}\right\}}{\tau }}.}$$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle D^{k}F:U\times X\times X\times \cdots \times X\to Y}$ ${\displaystyle C^{\infty },}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k.}$

Propiedades

Sean y espacios de Fréchet. Supongamos que es un subconjunto abierto de es un subconjunto abierto de y son un par de funciones. Entonces se cumplen las siguientes propiedades: ${\displaystyle X,Y,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle F:U\to V,}$ ${\displaystyle G:V\to Z}$ ${\displaystyle C^{1}}$

• Teorema fundamental del cálculo . Si el segmento de línea dease encuentra completamente dentrode entonces ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle U,}$ $${\displaystyle F(b)-F(a)=\int _{0}^{1}DF(a+(b-a)t)\cdot (b-a)dt.}$$
• La regla de la cadena . Para todos y ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle D(G\circ F)(u)x=DG(F(u))DF(u)x}$$
• Linealidad .es lineal en ^{[ cita requerida ]} De manera más general, siesentonceses multilineal en el's. ${\displaystyle DF(u)x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C^{k},}$ ${\displaystyle DF(u)\left\{x_{1},\ldots ,x_{k}\right\}}$ ${\displaystyle x}$
• Teorema de Taylor con resto . Supóngase que el segmento de recta entre y se encuentra completamente dentro de Si es entonces donde el término resto está dado por ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle u+h}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C^{k}}$ $${\displaystyle F(u+h)=F(u)+DF(u)h+{\frac {1}{2!}}D^{2}F(u)\{h,h\}+\cdots +{\frac {1}{(k-1)!}}D^{k-1}F(u)\{h,h,\ldots ,h\}+R_{k}}$$ $${\displaystyle R_{k}(u,h)={\frac {1}{(k-1)!}}\int _{0}^{1}(1-t)^{k-1}D^{k}F(u+th)\{h,h,\ldots ,h\}dt}$$
• Conmutatividad de las derivadas direccionales . Si es entonces para cada permutación σ de ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C^{k},}$ $${\displaystyle D^{k}F(u)\left\{h_{1},\ldots ,h_{k}\right\}=D^{k}F(u)\left\{h_{\sigma (1)},\ldots ,h_{\sigma (k)}\right\}}$$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,k\}.}$

Las pruebas de muchas de estas propiedades se basan fundamentalmente en el hecho de que es posible definir la integral de Riemann de curvas continuas en un espacio de Fréchet.

Mapeos suaves

Sorprendentemente, una aplicación entre subconjuntos abiertos de espacios de Fréchet es suave (infinitamente a menudo diferenciable) si aplica curvas suaves a curvas suaves; véase Análisis conveniente . Además, las curvas suaves en espacios de funciones suaves son simplemente funciones suaves de una variable más.

Consecuencias en geometría diferencial

La existencia de una regla de la cadena permite definir una variedad modelada sobre un espacio de Fréchet: una variedad de Fréchet . Además, la linealidad de la derivada implica que existe un análogo del fibrado tangente para las variedades de Fréchet.

Los espacios de Fréchet domesticados

Con frecuencia, los espacios de Fréchet que surgen en aplicaciones prácticas de la derivada disfrutan de una propiedad adicional: son mansos . En términos generales, un espacio de Fréchet manso es uno que es casi un espacio de Banach . En los espacios mansos, es posible definir una clase preferida de aplicaciones, conocidas como aplicaciones mansas. En la categoría de espacios mansos bajo aplicaciones mansas, la topología subyacente es lo suficientemente fuerte como para soportar una teoría completa de topología diferencial . Dentro de este contexto, se mantienen muchas más técnicas del cálculo. En particular, existen versiones de los teoremas de función inversa e implícita.

Véase también

• Funciones vectoriales diferenciables del espacio euclidiano  – Función diferenciable en análisis funcionalPages displaying short descriptions of redirect targets
• Función vectorial de dimensión infinita  : función cuyos valores se encuentran en un espacio vectorial de dimensión infinita.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback

Referencias

• Hamilton, RS (1982). "El teorema de la función inversa de Nash y Moser". Bull. Amer. Math. Soc . 7 (1): 65–222. doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15004-2 . MR  0656198.